数值计算一个极限可能吗？

elim

题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
3 {/ a0 O! l4 _& E
+ B- c4 c/ \& I; r7 H0 l  \9 b这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。

" I% K" K* e: \2 T' b对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。
- v. H) k# K% ?$ W
  s% I- u. v2 B( E" ?8 D
: J( |$ Z" i0 g2 C

elim

( c0 F3 w' n  ~5 C从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
2 g3 j  g5 W" Y
7 k: v% J/ v  q5 ]/ ~. N\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
/ n4 q- n: B& `/ p, X5 u
- i( f1 P9 O9 e5 L1 ^! X, w" S7 X9 u\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
7 n8 x  M. |! l5 ^4 x
' {& I4 F- L6 A! v" C\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
  l' {( f, X3 ~* g( `+ S: H6 W
好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
' B* n, W  `+ `8 e) S8 p& U0 S- P: _
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