数值计算一个极限可能吗？

elim

  S' i% q2 J1 V& [( |8 k- k题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
/ q0 Q$ [/ v; [. F/ H
2 L* i' [2 N/ x3 P5 i2 j& k: D这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
, n, ^; M' O1 c8 j  l6 Y. k
, x2 b9 |  K$ @! R对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。


2 j7 M/ B5 v5 y4 v8 X* |

elim

8 y# N. l1 u& }0 t8 s* u+ z! H) f从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
' U+ l- r/ G, b  n% h
: h! |! U$ Y  \8 v9 B\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
. s$ I& G9 D7 F, c) F5 u
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
- W$ [9 F3 t: r3 \
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
( M& d% C8 s% `' J6 l8 G
2 p9 {+ N( o! _$ k: j# A4 |好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?


9 R, J! T) P  ?: C. E