数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
) G; D7 \) {: B$ J% v* R5 t/ _& K1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
4 U3 `8 P0 ]5 k2 ?静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
/ k; V1 u' R$ w' R5 h2 `/ \4. 按建模的目的分： ：
9 @! l$ N7 B0 Q预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
( u2 W% ^: h% \/ i$ h! G往也和建模的目的对应
7 g, J$ S& h& o2 S) n% D$ Z5 V9 D3 R( `4 G5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
- b$ E# u1 ]  K) ?; N/ L1 Q1 、蒙特卡罗算法
6 q- D: |2 B6 e6 A5 j. }该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 @. v& R: H) P+ H9 k$ E以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
% U; Q: U% Z: e, ]比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
0 N' b* c" ]& |* f8 |7 _6 e3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! I5 u* f4 j. Y! i' _- f# I$ ]建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
1 [6 O' I9 a  c3 d+ p% k这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
, d( l6 v5 V* x& ]' k- d论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
! E0 I0 J4 C6 d. S5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
, x+ n% R  N: u6 N+ s当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
. c" S, R2 |% |) `1 J一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
7 m, f& b* T( M1 n) z如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
8 M' m5 V, N+ l8 ]如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
, m1 x7 x6 P1 W( \10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
  Y9 ?8 m& f# M) U/ a7 p的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
" K. R: {- ]! E6 R行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
) d: D3 L3 \# b/ z, g个条件可用：
2 j2 a& |! o5 N8 h# v9 I①数据样本点个数 6 个以上
5 w7 J4 p; j# F0 G4 U7 L②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
0 X2 X1 d# Q8 l2 A: t其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
9 d4 f; Q/ Q# D4 Z0 t$ L% U$ A- G找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
0 V1 Z0 e; e' W+ N/ @0 k化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
% e& i" w4 T# w3 z②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. ?+ e. g2 r( \' s( T+ R+ F4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
0 t6 v7 d4 G( R5 `, K一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
) u7 g. |5 ^0 U4 q/ I$ F+ Y. `3 o（较好）。
- q9 z  x- X7 Q1 m6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* L/ W4 D* @3 ^2 R预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. m( h* z0 }+ M: I8 Z+ M预测波动数据的函数。
9 g: E; ~& }4 y7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
1 y3 {0 e$ \& Z1 [; D9 b8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
' Z% A9 p- L/ R2 p  G9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
# h' E5 L3 Q7 e2 M0 E, J4 ?  a/ N拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
( C, S& D* t. r- M. P  L; v在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 d+ S7 v& K* Y1 @4 r# r5 P. T逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ M9 m* G8 S8 o$ \8 R" a, S& \11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
( z7 [. s# R) Z# q" Z9 ]* T, C优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
! q4 [3 w! Y1 c14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
5 P& ^/ o: s3 f9 |: _$ M6 |其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
% n: P, t5 O* k) W% T4 y0 }4 \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
/ @7 ]7 e8 f* c7 O: p解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
7 ~' D- _, E, f8 i# \8 A- d15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
/ M. P8 ]% E2 @' n该方法做评价比一般的方法好。
( d8 ^0 `) A' u* A16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
$ M. b4 s6 l5 z7 C# e% h此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
) l$ n& V6 V/ V6 ]模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ l6 q% l5 `9 c6 X9 j& ^7 {* A优解。
! W$ i3 H, e+ ]. }1 m+ u% Z* H18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
( h  X: c2 B% L: K1 D! R9 R非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
- v, D( b  Q  A) [- X8 R  Y算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
& n3 Q9 U2 O4 l( `: L0 i19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
4 _, L5 E) h8 f; V' q离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
8 Y( _4 C8 a7 `+ G4 q4 b20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
" C0 S8 p! \. s* q) x, x排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; C8 W7 ~$ l, I% M% e- u" F5 U8 b计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 c4 b, j0 q& v, a" y般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
: g5 M/ X2 @4 n例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
* y- w) V3 J5 x* W" N' D22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
  u. P: m- J( c0 m- G+ f& M射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
; k( M4 d  \/ X. z* y3 p  \23、 、 多元分析
" j7 r# V" n) S# b$ r3 T/ M1、聚类分析、
9 q# ]" y2 v- L9 q4 U0 m6 V/ ~0 A2、因子分析
  G* y# \* k9 x8 o# L/ u3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
6 W, G$ e4 B% \7 `8 V4 A各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
) r9 n# G# {" E7 W3 S. G从而达到降维的目的。
% C$ C6 Q  H% L5 `# d4、判别分析
5、典型相关分析
" z3 e" z, v" P6 L- L6、对应分析
- Y4 R& o5 I% ~# U5 `: Q7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
2 N* r7 F  F  a. @2 D24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
# Y, H; g8 K* l9 N. ^; d2、关联性聚类
3 b- V8 a, C5 u2 A3、层次聚类
/ _- n: L5 [' J& T0 N5 I4、密度聚类
, o+ W& K$ |' `8 i$ r5、其他聚类
! g  v9 d( y: N* M) t6、贝叶斯判别（较好）
, Q+ _' Q4 Q; h; N  v) {4 }7、费舍尔判别（较好）
2 h% U7 ], {0 B# \9 @  R8、模糊识别
, ^/ h) y- }" x+ B25 、关联与因果
7 e. E: x5 H/ r6 c- b1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
! ?- m8 e9 Q% W8 f! \) d5 \& t4 q4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% ], q2 W! N0 D1 _: [3 ^5、典型相关分析
& ~( O( b3 o; n4 P（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
+ a# {8 m) a$ g, n1 p6 N6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
( g9 T1 Q- y. N9 ^# c数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
% e4 G$ _) e# K  d  ~- u0 @) q  ~26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 D* Q: U1 P( X' v9 U+ G- t8 A
& I% z& q' X! O* j
$ p# n) L' z$ D0 `- }0 p. F