数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
9 M: p5 \# F* F- U. g3 V2 _几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! k% x# }7 J8 f( t3 g# v5 ]9 B# }型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
  a8 j- T/ z! x+ R: ^$ _# I性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4 l# F6 v- S( |9 [! F+ |4. 按建模的目的分： ：
& k! d5 V2 [2 M7 k6 ^0 k5 t; e9 \预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
( h- A+ M; [: w/ |5. 按对模型结构的了解程度分： ：
2 E. J/ K0 w7 }4 O有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 I; D8 @, _5 X  E比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
+ c3 D) _' I7 O8 C6 I6. 按比赛命题方向分：
0 R  s" X  c7 E( a国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
6 Z6 j" S( e/ N, J运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
3 p/ r* H# X' z% v9 m1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
6 K/ k# m& b; ^. ?" y比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
) F2 [2 M: z- k) A* O5 C3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
$ o9 g& |+ Y1 {5 ]" ?7 a建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
' H# t# F" c- p% S5 K( u5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
) v* c! M' E5 n5 r8 C; x这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
& b+ u' ?$ l' W( L! H这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
9 b/ U  L7 ^6 C1 k( ^' H7 V7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
6 ]# P* N* V% r9 h% Q1 u7 Q9 、数值分析算法
. k# z5 i; y* Y" z0 ?. `9 L如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 y, L4 r# z0 [10 、图象处理算法
6 b* z$ C; v- Q, \& @赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, `" |* o# M* ]2 F& i的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
. d) d; m5 }; {1 q0 ^; \. x行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  w/ V* O4 v' V4 T# P! y9 @; x解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
- p% n/ u& y2 Q) M& s' H% ]①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
; f9 u% o  z. n2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
" @4 z6 h- ?  O+ V找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 Y. s; a- Q1 I3 D3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
" q# ^% {( z3 j1 A4 K化； 样本点的个数有要求：
. W; F$ U6 M- P1 J& G" w8 @①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
$ t& k4 {8 I- U" b& Q& L" P6 M9 D②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
: s8 S+ f# z0 S# i* |互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
4 L; K  b1 J1 W4 q- y预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
+ U# V3 z2 F' P- @7 K  P% x（较好）。
" `* f3 ]% _. c% `# Q, W6、 、 小波分析预测（高大上）
6 F! U2 a) |1 M$ }数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
" w! S! w1 h# J. D办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
3 w% t1 D4 n! }1 }适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
4 B- c* \, B: E  m4 }" D9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
/ x# M. |4 o+ w, q拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
! [4 k* G& E; W( }9 s4 }* l逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
! ~$ {2 x& ^  V3 d6 Q# [10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
4 ]- Y+ x  {. J. ^* e7 w4 R. e$ J11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
+ {7 A' o* [9 u% z# N% h12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
4 S" X" L4 V. N13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
" O1 c  \3 [6 v9 t法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
" p% o+ A8 h  d8 x14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
3 J- }5 L( e  l* X4 a" S- j5 o其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
$ |7 y2 X- T. [) y' E7 O评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
2 L. Q. ~. n) [, I" ]+ `5 p* @: Z解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
$ Y; p( n7 H, }/ N0 S  B的最差值。
1 z0 M) e. H3 U( }9 A15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
+ P" F) j8 s$ Z7 }该方法做评价比一般的方法好。
) u/ o0 u) k5 Z16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
2 z$ d7 V+ k/ X: G& u协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# a; w9 f# `, B  }: f素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 |" B( Q+ ~' n1 h& {8 Y: v( n此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
% G8 I% K. O& ~- b' J模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 A9 J& R& }2 f  g" w* T2 B, }19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
; y9 u% }2 K& E离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
3 W- P) c5 X+ ]/ m% s排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
5 m6 A4 W* i) z, E& u0 [4 V' |* ^即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
3 O! i! a* A7 N* i有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 {8 l$ g* o5 p& S般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
2 }! f4 C5 H/ s% S1 \21 、图像处理 （ 较好） ）
0 B, F5 l+ ^+ y# Z" K" M0 RMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* P" Q. _8 r7 p+ T# @例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
: ]/ G- \: s  M/ c; @0 H支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
$ z7 y& E9 f" `9 e. ?23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
2 E& w& d3 Y# O7 y' G* t  F5 j0 r各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
. l- e% Z3 u/ k0 X- R从而达到降维的目的。
( Y! q2 c6 M/ G% p6 {4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
  o' J9 `5 n; _7、多维标度法（一般）
! [9 t% T* \- s! J% \* p4 r8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
2 C/ w# `) _$ i3 e主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
- @# E) v8 Z" Y9 W" x3 M3 o1 b2、关联性聚类
3、层次聚类
  A6 d2 @$ T) r8 {4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
" ?8 U8 E  b7 `3 J( j2 U1、灰色关联分析方法
& F9 o8 K0 i9 ~# ~' u- n2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
4 p0 c% g" k) B! ^" g3、Person 相关（样本点的个数比较多）
2 A# k% H( m$ {6 u4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
9 F& {0 u9 r6 s( w  O一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
# ~, z& ^+ Q- C# ^5 m4 s8 A# }6、标准化回归分析
( a4 p. Y8 B5 Y  r6 p& N0 H& u若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
+ \7 n0 |9 Q9 u2 g* W7、生存分析（事件史分析）（较好）
3 L8 m& B+ e2 X( B数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
: V- W- A/ f% @* y量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。