数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
  o; @  P: _. h  G4 `- h1 E3 Q' u- _1. 按模型的数学方法分：
) p: ?6 v6 \* P几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
% N. |. G  G2 I/ u性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
- x9 N. O( m7 f" T预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
" N& i3 ?% d' f: n* Q比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
+ ^6 _: s% B6 Z1 U2 D2 _5 O# g数学建模十大算法
4 G  Q. d$ R8 `3 j" q! P7 O% I1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
7 \# O& t4 b+ _$ d( u& Y: D通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
3 J2 b2 T( F9 e. [, B4 、图论算法
0 Z9 [. ~; G2 d  w这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
5 h( G+ s1 {% O# K0 e- B这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
2 D+ T3 w2 J9 `2 t' f5 H2 |9 i帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ [, I: E* T" {; O7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
1 I' c% ]! m+ O" w: v+ f# E! v一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
; A% h; L# X$ I8 B4 v8 T. \( n很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
2 x) a: T# N. q' Z& }1 q1 L( Q9 、数值分析算法
# G7 m; U0 S- q* R  q  r如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
+ n/ L) ]$ |- }# B- A  j6 ?1 @的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
2 f  Z7 c7 ?3 h; u. ?1 ~/ I+ L算法简介
/ t" H' ?' I% P5 c1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
4 i  k! z7 J3 J- T2 b4 W3 M7 i解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
. k2 b6 w6 q% t1 ]②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
: }( y4 p. H/ R" e7 |5 p微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
- ]' ^6 U. S7 e" \3 、回归分析预测 （ 一般） ）
4 M/ Q* L0 z$ g2 R3 B+ d3 M2 n求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
, S" N. _( b/ L3 _化； 样本点的个数有要求：
7 N( C& m. P. p& ^+ Z! N①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
" H* z5 U3 l( Y* W6 @% y  Y一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
$ v2 G+ c. m7 l7 Z0 X& a（较好）。
/ ~8 e8 q5 S! j$ J3 M6、 、 小波分析预测（高大上）
8 ?$ E# a7 w* ^# q4 u" S$ ]数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
: q8 r5 J) \2 G$ O' {预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
; ]7 {0 u# f; _. i, \  {2 Y大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% r+ C% }5 H4 C2 X! W9 S8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
0 X+ Y1 P/ q/ X( R) e拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 c# P- e4 r! u2 M/ v+ m10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ @8 j9 `+ V2 T7 p11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
& T8 t% Z) O' C% c12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
% e$ ]* G- f4 X5 ?' E: B: a$ ^- `; _+ v秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
* V& l! ]0 o+ X* D似。
+ F- f8 Y4 W; z( `14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  {9 ^8 ~8 }7 J: N' X, w! ^其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
/ B- p1 q8 k7 I) J评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
5 b) g' N* l0 ]% d0 v. m解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
! ?. Z3 U1 `1 P: n! v/ O# @/ e该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
' E. v. j; d0 _% p! N+ @6 `$ {量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
2 C! i5 k: ?' L+ _素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
5 R8 m: Q# p  s! V; ?3 g模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
3 ^8 ^( r% L9 U3 ?18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
, ]" }( i/ n9 x: T智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
$ k1 v8 ~2 N4 ?算法、神经网络、粒子群等
1 m# W; f8 K% C. i9 O其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 h- c! _5 W9 W5 n19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
/ L: V# E0 Q" C20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
5 `! Z. M  ~3 b' w- K# f' v即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
! ~* L- m( E, {* i$ N8 r2 _有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
4 w4 X. P8 {$ J- U. Y计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 h: X3 R0 e/ M般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
$ G/ H7 b$ V! A( \% O  Q9 FMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
( ~" V/ x# `. x2 ?9 M& U例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
3 @0 F0 K8 z1 ~( R  z2 V0 M# [0 B支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
/ K# I: v' P0 p: N- R  |1 s8 k射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
; B. E+ E3 s% ?23、 、 多元分析
, B" L% k) H7 k7 Z  `1、聚类分析、
2、因子分析
% @% L" K" c8 I+ B' u; j3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
& Z: ~3 [3 P1 y# t2 L$ e9 _各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
" g0 R. ]/ B) _' N1 C, D; ]! c从而达到降维的目的。
9 J7 j; U  V! Y  Q; ?* Z7 v! y4、判别分析
5、典型相关分析
/ L- p$ A7 `3 z1 S" e) ?6、对应分析
7、多维标度法（一般）
+ M) O( O* O& L; C8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
: M( W, n7 b6 }5 k9 ]9 ?) \1 H主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
+ P# N3 m7 U+ B0 u2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
9 g7 O- ^. S3 @) z5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
; S6 p% W/ O$ I/ y' g1 ]  {7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
4 K- |% R" C5 s1 B25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
  J5 z3 G4 n: K1 I4 C: n  P, ?3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
" x' d; K2 Q; r! L# S! @1 _* X5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ Y& j) u/ q7 \1 {! [6、标准化回归分析
. c# q- a/ V, \若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
4 P& |0 `6 w7 ~数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
% @0 R' s0 K+ l" \2 T. R8、格兰杰因果检验
$ D' {# ^, Z" U8 P( g( u% d计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
" u; x1 K* g- ]" @! }/ m7 R9、优势分析
2 d, ?# z- R$ d7 e4 _# H26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 N' b2 t  j$ O. z; }量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

% ^* O' J# F" u' i) g) i