数学模型的分类

浅夏110

数学模型的分类
4 e* ]6 q9 ?# Y% Y" D# s# C, j1. 按模型的数学方法分：
6 S% i0 P, P. c2 U" O+ i1 s几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
3 b4 v. x- S7 e; m+ k8 p# R" |性模型和非线性模型等。
1 N- c5 ~6 q8 ^& E. ?, `3. 按模型的应用领域分：
; c, v7 y9 Y% N2 S5 y3 I1 {6 S人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
6 e! A$ \0 v" O9 ]3 ]往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
+ w+ H( U$ U. h1 z5 f6. 按比赛命题方向分：
/ x4 z; T  ^) b4 V# x国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
3 E3 ~# g) l0 u* }运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
4 [: T' L# j3 m" t4 y4 v1 、蒙特卡罗算法
2 {; G, |+ ?2 t8 K! B6 }该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
0 ]1 @5 x. K% d# q( N3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 u# |9 n* e/ u1 @' I) w4 、图论算法
4 t& k  l, C7 G这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) V$ c; U! S/ I% V/ R, ~5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* a' v9 f4 G1 y% N( k6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
3 l% G8 `" p0 H/ a帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
2 A' a3 h4 q! ~& E7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
1 I4 T  ^. b5 C! m  y4 I据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
6 ]5 K- V* V9 O7 z7 v' r9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* P& J) c* L9 n# k* z10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& _0 {  L8 f1 ?/ @的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
- g# H. k$ Q) w( O. Q行处理
+ K/ ?* v$ i2 f6 ^7 M* j算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
3 ~2 d' ?7 e  u个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
: g9 A% c/ |2 k②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  T# \2 \! l+ {0 ~0 ?% o' P微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
2 S5 R0 H) B/ ~3 、回归分析预测 （ 一般） ）
; @7 j6 d& ?1 Q: M; w( W) M+ x; G求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
" E' C' G) \/ I& ?) ?) _①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
/ X# }1 {1 D; U0 C' x- x: y7 J4 |②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
. ]' S$ o0 f; b2 c2 h/ ?4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
! r( r  l" r8 P8 d. u. T: ]7 M$ [; t（较好）。
: N* D% H* z+ X. l6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* K5 ^/ M1 u2 I预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
7 W& R* D$ ?! s& y  y, I8 l大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& r+ y) L; [3 v- x. i- s7 r$ c- j办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
8 A4 Z1 S. S  U# _5 W10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' X  k  R0 y; f9 [$ B5 C# _评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
" y" w9 V1 \" i优化问题，对各省发展状况进行评判
  ?9 x& i8 m/ B' m13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
; j1 G( L/ ~. `2 `9 }. m7 R秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 c/ b; b2 l. i法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
5 Q  O3 v8 z9 @( p4 y# m; y' H14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
. j2 [: ]+ g. C* P; K其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
1 @( J/ G) h  E) m0 l, n, t解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
& \/ o6 e+ H- j) L1 e8 _来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
0 @$ @; R" a# n, o, c7 P方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
* |# `/ l, I' h9 [此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# B$ ^8 V1 @+ m模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
, B" l+ k- M9 T. O优解。
$ q9 h/ A( @5 h$ L- w18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
" L% `& t. |( [' O; @非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
" |! F+ r3 y- H: k& m0 {8 O' ^智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 d& e: h% M- J: r- m+ _6 u19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
) ]' w$ O! E# {6 R# ~离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
- J6 [2 L1 _0 f  `! I/ _( n20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
; X7 I7 E  F' W1 X- W有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
' E0 e, U7 i9 V计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
" y- x" y2 x- ]21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
0 L4 I4 ~( P8 I  h支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 P$ z7 i6 {' }射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
7 T6 X2 Q+ y" `  @23、 、 多元分析
1、聚类分析、
% B9 p8 y: ]0 u1 f, B2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
/ ?/ Y- Z' u7 q7 n各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
2 q  T5 i" o: U6 S/ h& o  {) z从而达到降维的目的。
5 p  r" k- Q* Y! D4、判别分析
- w+ u. O: a5 a3 R. S5、典型相关分析
, L& P% [- y$ J! d* ^: S/ l6、对应分析
2 V; L5 F  W0 O' Y+ z7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
3 b1 C8 y  n0 m5 F9 X% g: G  Q24 、分类与判别
/ q' @$ u$ v) C3 o5 H& Z主要包括以下几种方法，
! ?+ m3 G0 n& {! ]6 k8 G1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
, \4 g# y; a0 }$ R6、贝叶斯判别（较好）
4 y- k. f, C8 I7 b2 t  y/ B$ r8 W7、费舍尔判别（较好）
, o4 y- E3 T. Z8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
! \8 x; o- @4 @1 R2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
' _" K' z' F$ o; |. j3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
  v7 @. J* M! g: x/ q; E若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
+ h: l" X) n$ `8、格兰杰因果检验
+ `0 B8 s9 W1 ^计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
  T4 p1 _4 v& P3 T, M8 z* N* K2 u9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
  u. E5 g$ [6 O率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

" F% `6 C. q. i  b& N" B
6 E3 y$ J5 Y  m3 j3 v# y4 T* b8 V