数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
* x( x0 s/ ]. t7 `: q6 R
4 f3 m$ p& J! c9 o6 A1.    席位分配：
3 Q  v+ x9 D4 ^' h9 y3 A
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
) ?9 h% r! \& f. \. B
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


( h7 f, A/ g* R2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
$ D. S; O0 F+ A; J$ }. j
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

: ]: e0 m- b' ~: w6 w$ Gc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
  s+ G% A5 o' s. q
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


$ N, V! B% @2 [9 |/ o4 W6 h3.    划艇比赛的成绩：
) C8 A' l/ M% y! o
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
' V, [: B6 n) C( R6 K  e. L
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
; [$ z7 }5 {: T1 }: ?6 S
! v6 L3 g+ L5 y, s3 \3 m* R, Fc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

8 `0 M3 o8 I) |; _5 r, ^7 ]d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

+ o3 F8 ]3 v3 H( Z' @0 [e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
: t7 j2 C& e6 |  y) F1 `  K" i

4.    录像机计数器的用途：机理分析
5 L4 D. v+ y9 W6 {5 s) J; R
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
; @; w2 Z" J9 E- e1 C$ v
4 @* \) |* r( q. c* E2 f问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
0 ~9 j; ]9 z' ^* X% l" {
/ {! U0 G6 j* Z" C; V; {) rb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
) ^2 G( S0 y* j" w) p
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

6 V$ C& F% M+ i6 g" Mb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
3 ~) p0 l; K$ Z6 |8 O' U/ [- @
) }! [3 N; H& a/ j
- v6 \5 N1 N! U9 G) ]* R1 x$ V6.    传送带的效率：物理实际模型
: c9 S' W) Y8 g- e6 j/ B% B
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
9 H. b! Z$ J+ K; T$ `: a  W
% i. {  V# Z9 f. O. ub)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
" g. K5 S( L8 x
c)      模型建立，提出提高效率的途径。

% N: p2 |" O* t6 K8 j
7.    起帆远航：
% Q. `; c3 u6 M
8 H* X- R: j7 W- p& j/ ia)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
* p1 h* ~$ L5 `7 T  p5 y/ Q. a& O
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
/ f& o1 {/ M/ V' U. d
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
) B, v1 B0 E) t9 b/ Q# x

总结：
# ?* p8 {: H0 y! K
1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

+ b. J4 c1 l* {& `- l2 k3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
/ m2 d% g( f) R
/ k0 ^0 R( A5 Q6 M4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
8 Y& g4 B7 \& T9 i
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

8 k$ |& E2 @8 s6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

( B2 q* {7 G+ ~; N8 y以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
: ^. r# R4 i8 v; g) E' P' u
* s9 X* x7 I% z. B5 S
; q& N! H+ [0 W" F( `