数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
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/ D7 @9 n2 s+ m6 k! T1.    席位分配：

, P/ [$ o9 p$ C  J4 z: h- ua)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

' @7 m! J4 R( V( Rb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
: h7 C6 o1 d' R
* X8 K, b$ t7 k5 n! x: hc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

# U# G! Y1 U, ^2 |; q- e
8 A6 I8 t" F; ?1 r6 @, k2.    双层玻璃窗的功效：

! v# A, k# m' ]# ?& r5 wa)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
! |0 Y; y+ D: q( w* I3 x# v
% }' m, n: V  ~1 D/ gb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

7 m9 N3 v- P2 \& A7 Q, W. Pc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

, D5 g0 v3 W' O6 a! Re)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
+ O; z! ?4 K4 X9 v- B& v. P9 t
- \5 D3 J( J* ^/ t" v; R
+ }2 P' z1 C9 ?/ e3.    划艇比赛的成绩：
6 g% R& P2 Q& q4 o9 |) n6 N6 x2 V
8 y, q  _" m$ sa)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；

c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

* @, V' N9 i) f8 @$ v! l! gd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

& ^) U# Z- T3 e8 ^/ J0 T; f) g: f" ue)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
( W5 K: }: F  B) s
) V0 p; w. ?9 N3 o$ ]9 K
# u  T, M4 `7 u4.    录像机计数器的用途：机理分析

9 L2 z' k' G( Q- Ra)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
, y+ j6 I% |: p/ D3 V
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
. V) H( w6 J7 Y# d" O$ o$ ^: e
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


2 s" a/ J: ^( }5.    实物交换：
# ^( X9 ~1 ~+ e' [
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

' |# i  [" b# L  [$ lb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

' V2 X) H# k; v' hc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
) |9 K& _5 W9 B, P. q

6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

9 E6 F9 {; ^  c# U3 f0 z+ tb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。
3 v6 T' _( F& F7 s! k$ E
- O" S/ {  a8 b$ t7 @( ?
7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

) G+ V6 [7 y& L1 u  X' wb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
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c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
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  }, Q4 W$ w/ O, K9 p$ J! g
# }6 [/ x6 ]; v! Y/ p- P9 {8 W% b总结：

: l; n( u* K2 e% d" C2 B1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
4 N- `% ^6 b" s0 I2 q) {) z
) ?6 Q* b$ [6 e0 C' n2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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6 @, J# H; A2 V3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

0 f$ {8 f* V: P4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

( A# |8 U0 O/ S$ v! F- |2 |; M5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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' U$ s0 L0 M& \" h* ^& ^( a) F4 y6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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