数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
. k  j# v" B; Y# O
1.    席位分配：
3 ^, C: v1 l3 s) N6 d
& |2 ~' }5 j' ]a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

- }4 D/ p9 }2 `6 d* n) @- J9 C6 tb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
6 h1 U/ [, G) ^4 N8 X4 Z7 @9 @3 y
. W5 l! J5 a8 D' P4 b- Dc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
+ G% O- s% A+ ]6 K- B

2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
- \: G  d4 c4 B- @; _3 Q2 ?
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
; w' ?' \3 W3 j/ ]
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

# S1 ~. `( M0 a: E6 K9 u: qe)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
9 ?+ X1 n+ G1 K( j! l$ M
' P+ \; R, ]: o$ F
3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；
: W# H( q" ~6 i- E* k5 X8 Z, o
8 k; S. k5 W2 bc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
0 ^2 e7 M7 F8 e, M% R
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

9 p; x( l! _9 S! ce)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


9 P! C+ b: h' {- F4.    录像机计数器的用途：机理分析

a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
% F1 D! a* o% z' l9 R
问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

8 f! D7 T8 v$ e- t" H9 I3 e% ]+ |; Gc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

+ h- Z6 p0 P- a4 |: W* vd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

. H) W- T1 Y/ w
# k9 l6 \' D- c$ b+ \% ]- y5.    实物交换：

) k! s, @1 Y7 Y! ma)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

. A& Q) `! d1 X# F8 \b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


5 A8 I8 x; y8 h# R3 ?+ [" X4 U6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

# I: ~' n9 A% }  ]- A& _- Y5 g  Ib)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
. F: F! B1 x% H7 s# g
c)      模型建立，提出提高效率的途径。
# W" z" k" f4 ~3 a2 g
+ a: u/ r  n" c) S4 y3 d
7.    起帆远航：
' K0 v& p& B- o% [2 p- e
' z% g  P1 r7 p1 Y  W( l  ^a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
2 I. |$ d" Y2 }
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
: H! `1 Y% z! w% q4 g
3 O5 V  Y) f$ |
总结：
+ {5 i9 u! R2 @% W. \
! z# x8 W5 J4 J( X: f! ^1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

' ]4 S1 K: o6 Q7 F5 N2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

$ E+ Z+ [4 a6 n* ?- `4 T! ^3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
6 n8 _* C) _9 t* Z* F4 H
9 A, l0 j& w  ?+ v; V# i4 N# A6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

2 v6 e3 z, d2 z7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

$ P' {9 R+ s" h" }! _  h以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。

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