机器学习笔记十：各种熵总结（一）

重光兰衣

机器学习笔记十：各种熵总结（一）
7 V, C4 @/ q9 E  e8 j, N一.什么是熵
" D$ t2 D2 V) Z* l: J; Y( ]8 u& l8 y0 cⅠ.信息量
9 X! P' X; I9 S首先考虑一个离散的随机变量x,当我们观察到这个变量的一个具体值的时候,我们接收到多少信息呢?
我们暂时把信息看做在学习x的值时候的”惊讶程度”(这样非常便于理解且有意义).当我们知道一件必然会发生的事情发生了,比如往下掉的苹果.我们并不惊讶,因为反正这件事情会发生,因此可以认为我们没有接收到信息.但是要是一件平时觉得不可能发生的事情发生了,那么我们接收到的信息要大得多.因此,我们对于信息内容的度量就将依赖于概率分布p(x).
9 J% }2 y# o5 M: M# U因此,我们想要寻找一个函数h(x)来表示信息的多少且是关于概率分布的单调函数.我们定义:

" ]4 G6 ~( M3 d- x( p& m
% M! B3 b4 X. F: f我们把这个公式叫做信息量的公式，前面的负号确保了信息一定是正数或者是0.(低概率事件带来高的信息量).
0 t7 k% }9 A! ^% t* [: m5 b函数如下图所示
1 z5 z  A# y8 I) G) ~" h
' j9 k' r4 j( ~- i% \有时候有人也叫做自信息（self-information），一个意思啦。可以推广一下下。
联合自信息量：
+ D. j8 a/ L. p2 z条件自信息量：
通俗一点来说的话，就是概率论中很简单的推广就行了。有概率基础的话，这个很容易理解。这里因为实际上面使用二维的更多一点就以二维为例子，推广到多维的话也是可以的。

% z- ^8 n% I5 s% d" `, H. iⅡ.熵
/ V1 U; O/ ]' H* v' k& t熵(entropy):上面的Ⅰ(x)是指在某个概率分布之下,某个概率值对应的信息量的公式.那么我们要知道这整个概率分布对应的信息量的平均值.这个平均值就叫做随机变量x的熵
9 b  U6 [4 r+ i$ x如下面公式：
+ [0 A' k# b1 l  b0 Q
  P0 ~" p. F2 I+ l这个公式的意思就是，随机变量x是服从p这个分布的，也就是在在p分布下面的平均自信息。也就得到了信息熵。信息熵的本质可以看做是某个分布的自信息的期望。
! q3 S1 q3 `3 l2 T5 _2 U, k这里举个例子感受一下:设X服从0-1分布,即
$ a: T7 j, `. O) x' {8 [( y则熵为：
上面的计算是对于一个离散型的随机变量（分布）来做的，无非就是把所有的概率都得到，分别求出自信息然后相加就行了。很简单，别想得太多。
代码：
, @" F% M- a9 K7 L# t结果为：

从图中可以知道：

1.当p=0或者p=1的时候,随机变量可以认为是没有不确定性.
9 S+ @9 B4 a: M9 ^  Z2.当p=0.5的时候,H(p)=1,随机变量的不确定性最大.
那么“仿照”之前的信息量的公式，可以推广一下下啦。
6 V1 }1 v+ o2 S8 H8 L: z假设一个概率分布有两个随机变量决定。其中x有n种取值，y有m种取值。那么可以得到一个nxm的联合概率分布的表。那么有：
! a9 U5 [/ b8 a, k3 u3 R1 b复合熵（联合熵）：
9 Z& [/ Q- e. e6 A, x

同样，复合熵的公式还可以推广到连续变量和多个变量的情况。这里就不写了。

条件熵：

$ K; S+ X% a7 I上面这个公式可能有点难以理解，不知道这个公式是怎么来的。举一个例子来说明一下：
9 _+ ?3 F1 ?+ T如果以x表示学生体重，以y表示身高，以 p(x∣y)表示身高为某个特定的y时的体重为x的概率，把熵公式用到这个特殊情况得到是熵显然应当是
9 M/ b0 {" H) m+ ~  |$ S7 d上面得到的计算公式是针对y为一个特殊值y时求得的熵。考虑到y会出现各种可能值，如果问已知学生身高时（不特指某一身高，而是泛指身高已经知道）的体重的熵（不确定程度），它应当是把前面的公式依各种y的出现概率做加权平均，那么就可以得到上面的条件熵的公式。

Ⅲ.变形总结
进过上面的之后，应该对于信息量和信息熵的几个公式有了了解。然后那几个公式还可以变形为一些常用的公式。这里总结一下
首先要先介绍一下条件分布的乘法定理：
& ?4 a* e# R  t3 S

, h% ?1 a5 `! `然后把之前条件熵式子使用上面这个公式改写一下，可以写为：

当熵和条件熵中的概率由数据估计(特别是极大似然估计)得到的时候,所对应的熵与条件熵分别称为经验熵(empirical entropy)和经验条件熵(empirical conditional entropy)

上面的式子表明，只要你能够得到联合分布和y的分布就能够求出条件熵了。事实上，还能够更加简化成为常见的形式：
) e& A. O( X0 A这里利用上面的公式（以离散型为例子）直接推导，有

) M- Q$ b/ @" W( L  \1 i
证明：
这个公式把复合熵、条件熵以及熵联系到一起了。它们也显示了熵的对称性。
1 n& m! B7 T; ?' t  b; A+ [0 c