全国大学生数学建模竞赛

浅夏110

全国大学生数学建模竞赛

1 E  S2 b; r" h- k2 |

# N0 V# Z& N; J  V; F; R0 w


/ r- ?1 H2 ?5 z+ T% t

0 ?4 [4 u. @( o9 `# R+ y

目录

一、任务分析

二、题目一求解

题目分析：

模型建立：

模型求解：

3.1读数据，绘图

3.2探测器之间的距离计算

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

3.4提取小圆圆心位置坐标

三、题目二求解

0 o" M7 `- q( c. P1 j

---

一、任务分析

历年赛题

任务：CT标定，CT图像重建

知识：图像处理

标定模板为椭圆与球。CT测量所得数据为512*180的二维矩阵。

行数512:接收点个数，列数180:CT旋转次数。所成的二维矩阵并不是真实物体的成像，而是不断旋转的水平投影的叠加。

每个角度都有一个大小为512的投影向量，一共180个角度的叠加。

二、题目一求解

求解：CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离、CT系统使用的X射线的180个方向

题目分析：

标定 CT 系统的安装误差

模型建立：

（1）探测器之间的距离

模型求解：3.1读数据，绘图

表格一数据读取

• 
  $ _7 g' M' O1 Q9 x" I( {2 d7 U
  A=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls');
    V0 _( R2 ?5 y* D
  
• 
  " M8 c4 p$ y- O5 M" Z2 o$ E$ @
  imshow(A)
  
    d, z- I" e, v* O& ^
  

$ f& d) v, m7 h4 z  @8 l1 d

表格二数据读取

• 
  " ?+ E+ Q4 b; V" r( J- P
  B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  : `  @, {# I5 E( I3 C
  
• 
  
  X=1:size(B,2);
  
    R; h2 t9 E6 t/ Q9 K$ u
• 
  . B; m/ x: I6 l: l6 j* k4 d. o8 K
  Y=1:size(B,1);
  ( |6 B3 B' Z$ U" V7 c5 q
  
• 
  
  figure(1)
  & W  a6 ]) [3 [& q
  
• 
  
  $ R- y, {( k5 Z5 cmesh(X,Y,B)
  4 }8 \9 d/ f/ B9 @1 x/ H
  
  ) y7 B6 g8 g0 U6 }. }! }; C. K6 y

3.2探测器之间的距离计算

• 
  
  : r& N& K& B; d0 l, o# T$ q$ ]B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  - V6 D% y9 t+ D
  
• 
  - |7 `* u! p5 i  o
  
  + ]! Z. B) Y( j% q- J
  
• 
  % W0 u6 W7 ?" _, X& y
  . o# P  A' g$ l1 b, |figure
  
  8 Y7 [9 u0 g$ L/ r2 \
• 
  
  lenb = (1:length(B));
    A' W5 u( m" @& b) r
  
• 
  
  4 f. r6 C6 I0 e; ?
  9 l3 T, Y3 v$ S# s" y- G
  
• 
    R1 O" `7 A1 b% F. G( u5 ^2 ^
  ( Z, l; n6 B# p1 d' l* K# Wsubplot(221)
  0 N$ F# n5 n" t4 }- v# ~6 A
  
• 
  5 k7 Y# u* c- C
  ( M; h( b% Q  Xscatter(lenb( B(:,1)~=0 ),B( B(:,1) ~= 0 ,1),20,'filled')
  
  + J- ^# K& m6 }3 {+ p; H' h
• 
  / O5 w+ J4 ^( D. K+ f$ w
  title('1')
  
  
• 
  ! N* V1 F+ R: ~" J! O$ }9 x" Y
  
  1 o: j7 n; U: B
  
• 
  
  ) y$ L# [$ M% s5 b+ {- f$ R& esubplot(222)
  1 h3 a$ w( Z" o- D
  
• 
  ) P3 _; Z5 k6 }
  scatter(lenb( B(:,6)~=0 ),B( B(:,6) ~= 0 ,6),20,'filled')
  7 \% U. ~& d8 H" U1 d7 }. M, Y0 E
  
• 
  
  title('6')
  8 z8 G" Q) ?" |$ j$ S* {& v
  ' ~( s, Q5 J) F3 P5 i+ M; A4 J
• 
  + L; v6 p5 D3 D) E8 ^* m
  
  - _6 T9 X2 A2 n
  
• 
  
  1 k9 Q& v- A2 Y( D4 I5 t% Xsubplot(223)
  - D6 G: j6 D" ^  `% {
  
• 
  - y) i8 U4 p: S; ^
  + Z+ \2 }4 @. |, P* |% h4 escatter(lenb( B(:,11)~=0 ),B( B(:,11) ~= 0 ,11),20,'filled')
  
  
• 
  
  ; W2 D, }. x- [' v7 S' Otitle('11')
  & V0 E3 ^, W: J1 z! s
  
• 
  
  
  
  
• 
  
  subplot(224)
  
  # _9 H$ l7 H( v, x, b& x
• 
  
  / O- [6 p9 x" |( `! Wscatter(lenb( B(:,60)~=0 ),B( B(:,60) ~= 0 ,60),20,'filled')
  # f, j. c% X8 v: L2 {
  
• 
  7 K: d1 ^; B2 H
  : p7 c) R. F( D; ttitle('60重合')
  
  
  

图1:球投影29个点。图6:球投影29个点。 图11:球投影28个点。

解得，探测器之间的距离和小圆直径的不等关系式:  

由图即可解得近似解：

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

模板：小球与椭圆，小球投影为小圆。系统：CT系统。

模板与系统相对运动，一动一静。以系统为参照物，系统看做静止物体，则模板为运动物体。取第一个探测器为坐标原点，建立坐标系，解算

根据特殊点解得、与

点A:

点B:

点C：

解得

3.4提取小圆圆心位置坐标

分离段：取极值

重合段：边缘提取后，取平均值作为中心

得到180个小圆圆心，解得180个角度。

3.5参数修正

3.5.1 进一步确定旋转角度的范围

8 u5 H! _1 I  ^! @7 k2 l

3.5.2 修正旋转中心坐标

/ r/ g3 `  d$ o# Z

! S7 T. e) h! t+ I& i- C3 U; s8 @