7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

' [+ V$ @1 L, n6 C: D& m, ~1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
- Z: F! X/ u& [1 _7 M, Z+ ?: {
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
6 V/ K$ J7 ]2 U5 C, A9 F
: ]! j% X- p0 A  pc)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
% t0 s7 z7 K5 b
7 b. W/ u, g" m. |

2 a# w+ ~% D) g% U2.    双层玻璃窗的功效：
$ c  B% s3 m6 B# a( M
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

5 N& [. h) j$ `+ X% \  T: Xd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
6 x4 g$ w# n% _5 K
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
, O* R6 A0 g' P+ X
3 `2 ^2 E' c9 A
/ c( O8 b4 v/ h6 M( V
3.    划艇比赛的成绩：
, y/ }2 }. ^6 I+ g& E3 H
, @# D/ g" ^  n' U" M" `a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

; c( c4 b0 ~$ |' r6 i1 Ub)     属于统计，数学模型拟合类型；

( ^( d' S+ l6 {/ Zc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
1 Z! _0 r- x8 ~& |! g9 \
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
. E! {2 T, x6 X/ N* o. H
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
, ~, O- w; M# I, h
" o7 P" D; a6 D8 t- L" Z, M
3 `' O) S- r$ C: x  K
4.    录像机计数器的用途：机理分析
1 |1 N  ]- k# s5 Q* K0 S
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
3 L  T2 ]* f# u" j+ |' `# z) G4 R
9 N" S: q6 v: |2 C  w: q: B问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

- A4 W, P, s& a, e& b4 z' ab)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
2 b& @' g  d, q5 D
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

0 W. X( g3 ^1 A4 w! q) g, b
& Y3 k) _+ s: F; g2 v8 a* V& W
5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

2 d) F4 ~. q. C& p) k5 r& ]c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
; ^/ l; J" j* U# q

1 k3 ~. @- _1 q8 i: j
6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
  n  i- S4 d- N5 A, F; e; E% n5 y6 A
# c8 ?$ K$ C( v8 f- T$ ?7 x, qb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。


- M* {5 }  u+ E/ l7 w/ N: l
7.    起帆远航：
( C0 T- o% C1 Z' @
6 |8 ?5 l0 B$ q- T( h' s8 na)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

$ O3 j- f- D8 S; Ub)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
/ ~: A  z' G! b( E& ], M) n
: N- @0 B$ M3 x  }9 nc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：

7 S3 U) y4 O, K! ?+ s1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
- [2 z1 e6 k2 X. Z$ ^5 f1 u* Q' [( m
, d8 N0 o& L+ S) h" z2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
, ]* t  J6 B3 u  M1 k' N; [) G
+ T/ ]; C0 u1 I5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

' x5 O* N/ G' n: v6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

2 ^6 X; F6 w: _7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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