7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

# E& y) N1 o4 t& K3 `" Y! ?1.    席位分配：
$ u5 Y% r& k/ ~: Z: h; c
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

7 }( a, C/ R1 ~c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
* d% l4 p/ v+ t7 V# \  X5 i% B
% z% p4 e3 r( ]: `

" D5 b2 V+ ?" Z% \0 i9 _2.    双层玻璃窗的功效：
: T6 p, t) M+ ?) F9 ?
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
8 U1 i0 A! @  @5 c4 h* W  K' n
& d- n1 S; R9 p$ n7 P1 Vb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
; T- R$ ?* C1 @1 X, ^8 |$ Z6 K
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
- B$ p! e  V( s- m1 L
8 Q% s0 h, A, [8 j& Qe)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

5 Y: S. s, O  P' \# F( P! O

# g5 t" `: |. G7 e9 ]) N3.    划艇比赛的成绩：
% }" o' b3 ]1 W& S# F
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；
; F( Z0 ]2 Z/ f1 X' e* m
4 B" l- E" p: ?  @c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
9 Y1 A/ x4 S) |6 @% K2 T
d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
% f. J  V- W! A# Y
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
: ?9 m) `+ }+ S. n& p' M8 v7 R

4 c9 q+ e  `2 B  ?  B1 s6 u  ]
4.    录像机计数器的用途：机理分析

7 J% R  T6 W3 d, Ja)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

# o( h3 g: T3 Bb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
) @3 K! l, t( ]; z9 _& z0 |. @& S: v
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

$ t* z* q, K  Ad)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


6 B* \6 j1 i3 a+ J
! L* J/ F$ X' @0 e, v5.    实物交换：

! b& `& P' |( {( H/ xa)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

6 d) w+ I& X3 b8 w& wb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

7 D9 Q1 i" l. ^  d& R" I* ~% c/ Rc)      根据不同假设，进行不同建模处理。

3 U5 B0 y6 L1 {% C' m
9 z2 j; v5 C- I! e% G% f
9 M  d# d/ y, Q) Q7 a6.    传送带的效率：物理实际模型

* S1 S7 Q* l1 b* Za)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
! B. N" v6 t- ~& \
5 Q% o2 |/ `$ _+ y, jb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。



7.    起帆远航：

# n6 N0 D) T3 t9 {8 [" b+ o; fa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

  ~' K0 d, O; Y" a" }" Hb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

7 P+ v. I5 u; X/ u  L, Fc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
" s2 A  x0 i$ E7 r+ t

5 w1 @  |' d" N4 `2 j+ X7 u: f/ g总结：
( n+ j% ^# ]5 c
$ v6 ~  w: ?) A7 |: Q1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
! b7 Y, R, y" J
) A! B# U  d4 R6 \: P; c9 u2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
6 y# W+ u+ C) `+ _3 |3 b
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
& b, ]7 Z; H/ W$ L$ G
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

0 T; X! }5 P9 Y8 O6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

& ~  ^5 G5 V# q$ [0 l; I. ?( v2 f7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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