7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：
2 d' B8 `* o% j0 z% X
a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

- R. r1 \) x2 ~$ ~b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
/ b5 w0 Z$ n/ S/ X: C! w
3 Y) P/ O, y- ~2 `: x1 m$ |; J
$ \0 r: a1 _/ |5 U
+ g0 u, |2 ?0 x+ ?% }2 ?" n, l2.    双层玻璃窗的功效：
. w1 @) y' ?3 Q# e( ]: R- ^
/ Q. v& Q. ?# I9 Ja)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

' w! J6 R- S7 }& L; y8 O+ h6 O" g* Pb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
+ Y2 R8 Z/ Q9 X" }" i8 Y0 l! U6 X' o6 ?2 F
4 X. G) P, z" |4 L2 T6 nc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

- P6 C) M+ q! a, fd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

9 }6 B4 t5 L/ x, a# G1 Ye)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

# i( z- G0 R; Z6 F
, R6 x' E6 K0 s7 D, D
3.    划艇比赛的成绩：
6 j" p* _7 r. K% j( ?& \
a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
, V, P5 s) T& R% N! ~$ e3 [, ^
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

0 j/ Y+ F' t8 [c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

6 Y# D- c. n/ r/ W8 fd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
% d* f+ [* x5 L
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     



$ ]3 N! e; L2 f: M- G  C6 {( V! h4.    录像机计数器的用途：机理分析
7 X8 e) U0 B1 F+ d) R- w
7 y- w& Q& |7 }) a4 M- J1 Pa)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
6 P' [6 y, r9 k2 t7 U' L
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

' V8 B, G7 ]" jd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
1 P0 k( d) L$ M" ^0 n, X


. h+ p5 H: `  O3 @9 N) Q& l5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
1 J% I$ ]0 S# U2 G  A/ w4 W4 b
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

: k) g( @- ?7 T! }$ Y# b

1 w) [: Z/ W; \6 A6.    传送带的效率：物理实际模型
8 t. x$ _; o/ E6 B7 `+ t
6 q. X# r* X! N% f5 Ja)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
/ r  ^! v5 ]& h( m5 M, I4 t" D
: A# W0 z# e6 z: N8 ^- |- M4 bc)      模型建立，提出提高效率的途径。
1 I* f5 Z* Q5 e  v) M


1 E7 l" s6 h/ h7.    起帆远航：
$ W" P2 g/ K2 d' D" y
a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
/ |: d' G+ d; ^( C- E1 m! y
9 P/ C6 |! m+ S4 o, f) B! {b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

9 h' t$ \; _$ K; L" _c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
# h5 G+ @; @/ _0 f% w+ y5 R( h
. Z6 }1 h& F3 o
; _; t( q1 J8 v4 i. |! y! l: ?$ q总结：

( `6 N) @) k9 S/ o8 r  J$ a5 n1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
, o3 F& @( f8 q! q
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
  x7 g0 c8 G) `1 g3 d$ b
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
1 o$ ?5 w" G0 D/ k* a
  l; R4 s: d5 k, x6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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