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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛--第四轮模型建立 6 t" L* Q6 X3 n+ E; f% t" c5 d. _
y/ _; L0 a0 s0 F
0 X C0 Z1 C1 G3 T3 T. ^第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 --第四轮解析之模型建立与求解
! |5 P* s2 {1 V. N7 V8 s3 a3 c) ?
3.1 问题一模型建立与求解 . t) V% x+ }: y V3 _
3.1.1 新洛伦兹模型构建
6 f; e' J4 K$ q# h8 k& `假设基于统计分布表示的收入分配的密度函数是 f ( x)，其中 x 表示收入，对应的分布函数为 F ( x)，则 p = F ( x)表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等于 x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为L(p)，则应有 ; B& L8 \: O% N8 |6 I: S) T
1 x L ( p )=mò0 tf (t ) dt , p = F ( x) file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps1.png : X. v" x8 T+ e7 [+ X2 N2 B! I$ x
L ( p)称之为收入分配的洛伦兹曲线。收入分配的洛伦兹曲线 L ( p)在收入分配分析中具有重要地位，它表示人口份额等于 p 的低收入端拥有的总收入份额,因此 L ( p)是定义于[0,1]区间上的函数。按经济意义,它应满足如下条件: * |4 y' ^4 }" O# U
L(0,t)=0， L(1,t)=1， L￠( p,t)30， L￠￠( p,t)30
( x; V8 }- Y! X" X4 `即 L( p,t)在[0,1]上是凸增函数。 : V& D; e+ G& T2 v9 ?
在分析与测算洛伦兹曲线的实际工作中,在只有分组数据可用的条件下,可以先估计收入分配的密度函数,从而得到相应的洛伦兹曲线,或直接估算洛伦兹曲线。国内外学者所提出的模型可以概括为三大类：几何计算法、分布函数法和曲线拟合法。几何分析法，是根据分组数据刻画洛伦兹曲线，利用这一方法不能得到洛伦兹曲线的表达式，只能用来计算基尼系数，但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线，所估计的基尼系数要小于实际值，尤其在数据点较少时，误差较大；分布函数法，是基于对指标的概率密度函数或概率分布函数的假设，估计其分布参数，然后对洛伦兹曲线进行估计，这类方法较为复杂，同时由于计算收入分配的概率密度的复杂性,很难提出合适的概率函数；曲线拟合法首先假设收入分配服从某一特殊的统计分布函数形式，如对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布、威布尔分布等，再据此为洛伦兹曲线选择适当的参数方程直接进行拟合、确定参数，由此估计出洛伦兹曲线。 , P/ |) }$ e) o1 {% U/ e
为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数，本文通过分析洛伦兹曲线的特性，构建新的洛伦兹曲线模型，对洛伦兹曲线直接进行拟合。根据洛伦兹曲线应满足的性质入手，在查找相关文献的基础上，总结前人所做研究，构建 出满足洛伦兹曲线的新模型 L ( p,t ) 。 Chotikapanich（1993）提出较早的洛伦兹模型：
: p; K( n8 i; a% Y" d+ n6
4 m* v4 y1 v2 X1 M' e
4 z% F& I0 \! h
4 I2 i. s* N8 \0 Y | | |
4 v" a$ ^. c8 @9 N
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: c, h0 o& p9 y7 X% F8 ~
| 9 g2 i* F( k! ?
| | | 9 A0 ~4 [) Q6 M: f* B
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. \/ N' R/ g! F! q1 L( J
Sarabia 等提出了基于经典帕累托分布的洛伦兹模型，其基本形式为： ; R/ `5 e3 k3 g6 c0 N
L ( p ) [size=10.5000pt]= 1 [size=10.5000pt]- (1 [size=10.5000pt]- p) b , b [size=10.5000pt]Î[0,1] | |
# V9 y1 p2 E: Z# H# ] ]
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3 L) |' U' e8 O c" j. T+ Z
| 5 h( q. h( q2 f& U( k
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- [! I& W2 _; ~2 U
从（1）式出发，他们有提出了一族广义帕累托族的洛伦兹曲线模型，具体形式为： 9 u% P5 ^! u3 k8 D2 G [( I7 T
L ( p )= pa(1-(1- p)b),a30,bÎ(0,1] | ; H# S( W- O% y* ?: t% M2 e. H
|
/ O: P5 p1 \. [& y# z
| | * u4 r( g* M6 `+ R9 x# `+ v( R! o
|
" W, e; n4 Y' U2 j+ Y
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7 j) h4 X2 C, w, e
|
- n f, J6 u z- x& i4 O. L& d$ P2 E
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/ F D0 n* V* c% ]9 T! ~1 n) _1 |
|
* H9 k+ J5 A3 E" ~6 g
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+ s( L# y; s' d
| 2 E/ m: j: E# S9 ~+ D* y7 N
|
" k+ G( q, ?, A; _! y) h! i
|
% \+ }* d1 l- h3 s: h. W( M) y
| & H6 U: a' S( ^0 W0 T! L
|
8 Q7 D! k. V1 M
| - n9 {% |' v W5 Z: v9 {
| L ( p )= pa(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] |
; h+ @/ m. b; F( P5 A, k
| + q( T; `! y" p/ A# v
| / ^6 r$ P0 a2 u$ b* V
| | 8 C8 E8 M1 {+ r: I0 f8 {
| L ( p )=(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] |
6 J! V$ ^& F' _
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% S. U& O4 L! G- b6 S+ b
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: q( j W0 `( K; u& x( ]
| | ( p& J- D! }/ z& M( N# g: {
| 4 d G: R1 Q, K, B, P
| / K/ W) d7 N( {, E" W& g( y
| 6 s% \3 o6 S; L2 A7 N
| $ }+ q. b0 a# K. G3 T1 G
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+ B. U8 K9 |9 Y6 I8 j& q
| * Q; O. ^& k8 y
| 8 X; Y7 O1 h% x# Q ^; G& ~
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2 e* [* D* `: c a0 L# q
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9 u; y8 k3 f- o$ B* E; {6 g& r
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7 a5 h$ W; m& @0 F5 A6 D" |
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8 j! Z/ k, I& v% r# p
| 1 m+ _( z6 V9 i: G* Y
| | 9 b4 n* B4 {& H' s8 L6 w
| 6 j- v8 q( e# F3 s
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' a5 g3 p) s" F* d
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+ [8 L/ A/ X7 V' v* w
| 6 m; g, |: N! S# ^* P3 F
| & Q2 T+ K) M1 G5 w: l
| | | | , b Î (0,1], l Î ( -￥, 0) è (0, ln b | |
# {- ?. ?6 U% {7 r
| 9 a6 f C+ t4 d4 t3 }
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7 z& J9 o, {+ G+ o3 g& T' | V L
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9 D4 C x) T5 ]# `; t; l
| & S7 E& w" j# S* B; U
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$ J, T% n* K2 B; f
| | + w. E( K; q& d6 M v
| * T( X+ i% Q) e; a5 y7 Q
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: H7 W7 {, s4 x/ X2 I! s
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' s* x9 O/ l y# x, q
| ( s. I3 U M8 ^2 J/ ]
| # C1 p& x8 h* T$ N, e+ Y/ s9 R
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$ z3 H* ^3 o0 ]. [
| | : T3 ]1 J/ L( }* @3 Y2 r
| 7 u' P8 l3 f g E" x
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- H3 s/ V, k8 M7 Y0 o1 `
| | | 3 ^8 d: L# H, p% v* @
| # B4 X; y5 ~6 u* S1 h$ ~
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0 V, o( u/ W1 y( J0 v/ ~5 s% d" Y
| | , V- r. b0 E; E# t1 E
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( m8 T4 J$ R. T3 B4 ^) _$ m3 u! y
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( e! E: P0 y. k- I' B
| 2 F. m# L; ]) t7 V7 ]% W
| $ Z+ p o: n/ L3 d: C+ g
| " }- h. [9 `4 l3 d, |6 d& r
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l9 p! f6 P' j2 b9 E
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& l0 S7 Z, U! }) l# X, @# f" m2 P
| ; G$ [9 W8 U" h' ^ x* R) M
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2 j" F& `" t1 c" Y6 L3 }6 y
| | | | |
, A. ~! o5 M/ I8 Q0 G) w
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3 n" E% y' {' ?4 u! g
| | 7 n; e) i. U% L" ~7 o
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) y" s" ]% m9 r/ A. U: ^$ C
| ! O8 R3 i9 W3 N3 D
| 8 O5 ^* W5 |: P- m9 s( h
| 5 o8 w& f& n, |$ N Z0 W& ]" ]
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0 d' \( L3 l5 S% A* o
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2 \6 M1 i2 h9 ?
| | # f$ M, I) S: O! R* k- I i
| * |* ~3 Y* @' r! Y& G
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2 O6 U/ q: e8 p7 _1 `3 i( \$ E
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2 v& {6 g) v+ G6 Y6 g
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- `- p1 i( f5 W# NOgwang 和 Rao（2000）曾提出用两种混合的方法建立洛伦兹模型：加权积（weighted product）及洛伦兹模型的凸组合（convex combination）。并且得到凸组合模型（8）满足洛伦兹曲线性质：
. l2 _9 ^3 l& U5 V4 f3 \$ J" w' D) g | ) o4 U e: o; T( H3 {4 y
| , U7 X9 y; x7 @
| | : ]2 ?7 G* O, m7 ^9 ~8 h* Z- ^
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1 N8 \/ t9 n0 R0 S- H
| | 2 f+ s$ P) ?4 `* n! @
| | | | |
: k( j- q+ |5 t9 B' V3 L# q" Z9 a& d
| | . x* e8 {# w6 c, j
| | |
1 e0 c3 `2 m* O, h5 w# r
| |
" b% m/ K. p! Z& ^1 ]' Q
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更一般化的经典洛伦兹曲线模型为王祖祥（2007）提出的如下的二元参数模 ( r0 D+ ?* B; o2 U- H) k
型：
( u3 l$ C% X W) |# z/ z | ( p ) [size=12.5000pt]= 1 [size=12.5000pt]- (1 [size=12.5000pt]- p ) b e[size=14.0000pt]-g p | | |
; ^( w# U$ g! z/ I# X! u1 h' f（9）式所表示的二元参数模型作为一个洛伦兹曲线的参数估计模型使用时
7 S; ]- Q y3 I a. w比基于帕累托的广义洛伦兹模型具有更好的性质。
8 J8 W* ?- Y5 q0 f# Q) U) i现在的研究成果已经证明：假定 L ( p) 为洛伦兹曲线，则对于任意的a 3 0 和 : T4 ~8 I ^8 K9 | Y
| | Z/ [ e' h4 L3 v g
| % s- e. I0 n* Z2 Z4 J8 s9 G# R& p
| |
, l1 l. F" ]% G% a. k/ d
| % \% g3 O. {' E" Y4 }, @/ }$ z
| | | | + ~+ U8 O+ ~0 r: p) ?: \
|
% j0 x) q8 e* K. f; @7 }% |& }
| | " C% b0 J5 u/ _. C
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4 m" |3 y3 v( r" e; \& O
| 都有 L' ' '( p)30，则当a30，h31 / 2 | | ' C1 |, O) ~2 {' ~# v0 L
| ) S; L; B2 x& [+ h
|
3 g0 }' R# H/ O
| 且a + h 31时，L ( p) 也是洛伦兹曲线。 |
- w# b" e, ?' g) Z9 T4 d
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# ~% d/ r3 c. Q, [5 ?* n+ Z
国内外的专家学者在研究洛伦兹模型方面做了大量的工作，王祖祥、 ! K+ T# S* w: y# Q+ `( G
Sarabia 等提出了一系列的洛伦兹曲线模型，除上面提到的公式（9），如： 0 W `$ Y8 d( N5 A9 m8 G
% w! a3 T) K6 f4 t. z! z$ c' E( b$ Q* i* b. P* l M( X* t
7
& T/ i& Q* W7 b8 n% N* h2 B/ w; a" @5 {
L ( p ) [size=11.5000pt]= pa | % C' ?/ r+ v& |# S
| |
i4 K) A: O4 t3 } W* ^+ E
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0 h! z: N* h" T" E7 F4 x
| 5 e7 \+ q- v0 p4 o
|
' E6 y; w4 ]9 {2 }6 F
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1 ~$ U3 g8 v' p. a
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( l- |) l3 F6 s- }: ]: K, B7 D
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8 Y* j6 L/ k+ M" b
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# C1 I* R( t4 C7 ^1 n9 c
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* \; ] y a% Y# N
| 3 M1 [0 P$ Z- \0 P
|
5 E, m6 `5 l, d' f$ ]3 M1 ^
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) p7 T" }: y6 |. \. x/ p N
| | 2 U. b% A; `% y1 K! q! [
| |
; @; l! _% a8 H2 y1 `' w' ], n
|
8 Y; F$ m) K: |( H0 [; ~
|
) A4 P+ L/ T3 G/ S* I0 }% Y+ m( v
|
/ I2 f" Y, y9 F4 Q' {% p
| . O' {0 M3 d4 _& F. N' v, u3 n6 ?' H. K
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+ {7 z0 P# @0 z- l: u% K% c
| 3 q/ U4 O8 i1 W. V: f% m/ U* R
|
& M' N# e5 m' ]# p+ y l- p
| & Q2 X" ]- z! O
| | % ]" W3 i1 C) K& g* H$ J8 P- \, k
| |
6 ^. U0 c& i+ F. h I
| i8 `6 w7 s7 x V! N
|
1 m% w- K4 T- ^$ i$ d
| 1 V! [' _8 k4 u( X, @. H
| 5 }) U$ e9 ~! v8 s6 f) v5 q$ @6 H
|
2 n2 X/ K- Z# C/ z. Z2 J7 U
| : V4 x' g2 ]5 |" g. e" e
| 4 Q! @' e5 y) J) ^: ^/ W
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+ D! f3 b6 ^; d$ ~* c
|
1 F! x- m6 L3 X: Y
| | ( a: i0 u1 n1 [. K) J! }* h+ j
| 1 ^. B# _; e) j; e% u( ?
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6 B V1 S- V6 d4 W! d
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/ u6 ^$ ^: c' r
| ; {; s2 x4 q* I6 G4 L
| 2 T4 b1 u: Y6 M
| |
4 q, l. `) k$ u+ k; Z, J/ g
| + N- W2 @! _: t8 a5 [' Q! x
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, z5 [9 Q# ?* G) C
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g" r4 {$ G1 _, @ ^4 @/ k1 Q& B$ m
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* f( ?2 t0 j% F9 \0 u% }" w2 C
| 5 `1 V1 y' @9 G
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" {+ D% I" X' T0 Y/ a* z" Z9 W/ l
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+ G/ X1 m: F; x+ @$ e4 Q
| | | % g9 G8 X! k! b! a( J
| 5 ]$ k! y: k+ d- g1 p w
| ; n! q1 H4 E6 g, y! L7 G. s
| |
1 E' O: A, l8 w1 \0 g
| / P2 l0 b0 I0 n5 O8 X6 T& h
| + f, V5 `) m: ]$ X
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0 Q3 h7 b5 p8 y) F6 Q3 ?$ J
| | | 4 h/ L% ^1 K, ^8 T
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( f' y: A6 S* _; }* G- f
|
% ?4 i, I, Y0 @/ U6 U
| | . x4 }- u, D0 k- Z% ]9 Q0 r
| |
; v$ E" u, L: e% i
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9 D2 I I/ I- Z$ D# U
| 8 d0 y. Z M- Q5 u4 s8 u7 y
| 5 }! r2 _: B' @0 y }2 y$ D
|
7 G- i* G+ K, e
|
& v' T" O' x4 x1 Z
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0 v) S0 k( K9 E; ^# S/ o! }; J3 J
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( A/ S2 i- L! K5 X
| | * S* H& O# j1 `. V# W! J6 A
|
, c" X3 t3 ^) K, F% \) j1 Z; ^
| ( O* n1 v/ n' i, ^3 c) ]
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+ @( _2 u# o6 T* `! D2 J3 g8 K
| # i8 g- T6 K0 ~) e( H8 P% c- |
| ! h4 v: r1 y! A* l( t5 j
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S: o, R/ {+ L u. t( ^5 n
| L ( p ) [size=12.0000pt]= [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p ) b ]a [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p)h ]l |
+ u# e+ b, P7 m0 n. J% b$ l
|
7 R$ F$ I+ ]2 \% _. t8 j
|
9 y8 L9 S; ~& \- h
|
( t+ i% j$ d1 _3 O
| 4 n$ S3 X3 V; j9 d: a
| |
0 S! D0 s5 U* R' R F
| L ( p ) [size=12.0000pt]= p | | | | | |
$ H$ g7 {! K9 v- v G' D* e6 i9 D0 F4 @
| | | | | | % V/ o. m) U* v8 D8 F, e9 \
| 9 |2 ~& {# Q+ k+ F" u
| / M' R8 c, k* O* ~! \0 ~, a: F- {
|
E" R6 K( m4 l# {) @
|
2 U% q: a p3 G9 P8 f. S
| | % o$ X, J" b. L
| 5 |6 Q# Y0 Y* u R" L3 E8 E
| | | . m; K, [& P1 I
| ! z( F, h) K# ^- K% J% L
|
在研究现有文献基础上，按照洛伦兹曲线应满足的性质以及推导定理，本文构建了基于指数成份的洛伦兹模型 L( p,t ) ，形式如下：
4 `6 D! P4 v. e. ]* k2 R. w/ bL ( p )=[1-(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] | |
7 ~! \1 C1 Z4 a& a
|
( k# ?9 ~# ]% T( }- |' }* ?
|
) ^" z$ @9 N' @% H/ }) x
| 其中， 0 ￡ a + b ￡1， 0 ￡ g + h ￡1。 |
+ i3 P7 L& I7 _2 g6 O
|
" ~ q! i6 f6 `- z2 x: o# E5 e3 V8 i
| | " ?$ F" u5 _: J" }# h
| 2 H1 r, v0 q0 L; H9 D
| |
" D5 T# ?% e% K4 O C
|
3 U8 {/ u7 t4 E8 `4 _& i+ ]; s v
| | Z t+ b/ ^8 c2 P! T+ X. U
|
7 N, o3 z b; w# t$ l& i( J
|
* J. E7 b" m# Y& i0 uL'( p )=[a(1- p )a-1 e -bp][1-(1- p )g e-hp]+
* M5 U, E) D: p5 l: B[1 - (1 - p )a e - b p ][g (1 - p )g -1 e -h p + h p (1 - p )g e-h p ] 5 C& }, N4 K$ s, H
在满足条件 a + b 3 0 ， g + h 3 0 的情况下，当 p Î[0,1] 时，满足 8 N2 T4 v0 D9 ]5 q
L'( p )30。
, g. x$ a4 `, _0 B) ^L' '( p )=[a(1-a)(1- p )a-1 e -bp-ab p (1- p )a-1 e -bp+b(1- p )a e-bp
* G; j+ s+ |( _: G) [$ D- ab p (1- p )a-1 e -bp-b2 p 2(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] 9 L9 D% ~+ j7 t
+ 2[a (1 - p )a -1 e - b p + b p (1 - p )a e - b p ][g (1 - p ) g -1 e-h p
4 p& _; {1 u! ~& ]4 Q& E3 E+ h p (1- p )g e -hp][g(1-g)(1- p )g-1 e-hp
( P: O$ `: X- P) u! B, i' i0 V4 \! ?- gh p (1- p )g-1 e -hp+h(1- p )g e-hp
4 V+ ^, }* K& |1 b& S- gh p (1- p )g-1 e -hp-h2 p 2(1- p )g e -hp][1-(1- p )a e-bp]
. t0 Q2 O3 C; o5 I- p, E7 ^= [(a + b ) - (a + b ) 2 - b 2 p 2 (1 - p )](1 - p )a -1 e-b p
# y$ S% U; A) r2 a3 ^ g! v. |, X+ [(g + h ) - (g + h ) 2 - h2 p 2 (1 - p )](1 - p ) g -1 e-h p
+ k. c; ^& s2 o& b" x' c当满足条件a + b ￡1，g + h ￡1的情况下，当 p Î[0,1]时，L'' ( p) 3 0 。 5 b; }. k; I4 L: i
综上所述，新构建的洛伦兹模型模型（14）式满足洛伦兹曲线的定义及性质， ' J; m4 V4 n# j+ o4 }% V
8 + X. ^6 A/ t) p5 n
% X( j( f* L A6 w2 ]5 @' C
) y9 H3 Z. |6 w& ?8 c% J可以用来拟合题目中给出的数据，并且与现有经典洛伦兹模型做出比较。
2 u; J# J, H2 d# L' W0 d0 {& m. R3.1.2 模型的计算与比较 9 z6 y0 s& t; e3 `# f; K
有关收入与人口的数据一般情况下可以得到收入人口分布的分组数据，这种数据的完整形式为(pi ,xi file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps2.pngm)，i=1,2, ,n或者(pi,Li)，i=1,2, ,n，其中xi是收 . J5 E, u# a" t, \
入区间点，满足 0 ￡ x1 < x2 < , D9 F) l1 D) {# | m" ^4 v
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-9-26 11:26
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