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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛--第四轮模型建立 l4 N8 P/ d0 T
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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 --第四轮解析之模型建立与求解
6 y% S# z$ ], {; a1 g9 b- }3 H+ R
3 S5 `4 l0 ^* [! W3.1 问题一模型建立与求解 4 h+ W( i a! f
3.1.1 新洛伦兹模型构建
: |8 @% }* e. o0 V- I" o" h9 U/ v假设基于统计分布表示的收入分配的密度函数是 f ( x)，其中 x 表示收入，对应的分布函数为 F ( x)，则 p = F ( x)表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等于 x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为L(p)，则应有
' O+ R e4 Y+ s6 h: F5 M1 x L ( p )=mò0 tf (t ) dt , p = F ( x) file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps1.png
' A( G5 B5 b' W. K1 VL ( p)称之为收入分配的洛伦兹曲线。收入分配的洛伦兹曲线 L ( p)在收入分配分析中具有重要地位，它表示人口份额等于 p 的低收入端拥有的总收入份额,因此 L ( p)是定义于[0,1]区间上的函数。按经济意义,它应满足如下条件: + @5 G# }& r; b
L(0,t)=0， L(1,t)=1， L￠( p,t)30， L￠￠( p,t)30 , M/ _$ z9 k7 n- A/ b0 v
即 L( p,t)在[0,1]上是凸增函数。 1 Z. |" s% T$ Q Z& Z* m
在分析与测算洛伦兹曲线的实际工作中,在只有分组数据可用的条件下,可以先估计收入分配的密度函数,从而得到相应的洛伦兹曲线,或直接估算洛伦兹曲线。国内外学者所提出的模型可以概括为三大类：几何计算法、分布函数法和曲线拟合法。几何分析法，是根据分组数据刻画洛伦兹曲线，利用这一方法不能得到洛伦兹曲线的表达式，只能用来计算基尼系数，但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线，所估计的基尼系数要小于实际值，尤其在数据点较少时，误差较大；分布函数法，是基于对指标的概率密度函数或概率分布函数的假设，估计其分布参数，然后对洛伦兹曲线进行估计，这类方法较为复杂，同时由于计算收入分配的概率密度的复杂性,很难提出合适的概率函数；曲线拟合法首先假设收入分配服从某一特殊的统计分布函数形式，如对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布、威布尔分布等，再据此为洛伦兹曲线选择适当的参数方程直接进行拟合、确定参数，由此估计出洛伦兹曲线。
) \0 y0 `- Y) f) R. b! R为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数，本文通过分析洛伦兹曲线的特性，构建新的洛伦兹曲线模型，对洛伦兹曲线直接进行拟合。根据洛伦兹曲线应满足的性质入手，在查找相关文献的基础上，总结前人所做研究，构建 出满足洛伦兹曲线的新模型 L ( p,t ) 。 Chotikapanich（1993）提出较早的洛伦兹模型：
; C2 {) ?1 R5 ^0 B# A% f# G, |6
6 n: q$ o* x7 X0 g
& b( p0 u: l' o' l, M3 e3 J& \) V0 e7 u# h# W
| | | # W* C# W( `# Y( }' m( ~" n
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- j2 ]1 i9 w, Q0 i0 ~% g
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/ G3 E, |2 a0 B) \) f
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6 j1 P3 d1 H! d1 T. e2 W7 r) E& e
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# M* e" X+ d) Y" A
Sarabia 等提出了基于经典帕累托分布的洛伦兹模型，其基本形式为： ; y5 u: C/ n6 j: v | \
L ( p ) [size=10.5000pt]= 1 [size=10.5000pt]- (1 [size=10.5000pt]- p) b , b [size=10.5000pt]Î[0,1] | | 4 q4 P0 t. f" f- V; L3 c; `
| e/ |' A% |8 j0 }, J
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% U3 s1 }. J* I N
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/ A3 s% c2 {9 ?4 x) Q( d7 b
从（1）式出发，他们有提出了一族广义帕累托族的洛伦兹曲线模型，具体形式为：
; J: N5 \( F. M, w. r, BL ( p )= pa(1-(1- p)b),a30,bÎ(0,1] | 6 F1 U4 X' z: @6 N$ f
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! q' |) E n: }1 w! Z% s
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! m% c$ ^7 b$ d* S- M0 z% ?
| 4 @, z& U( B' B% }6 I: l) U9 S
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1 N& @+ i& `8 a
| ' n& \+ _% |, J. B7 P* G- d
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4 |3 Q$ Z/ T6 w" e. ^) t
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( Q5 S1 A, I6 n$ @
| # e4 \ _+ Z- p6 _4 u. b3 e
| 2 B+ b" n) Z$ H% J, ~+ |5 q
| 6 d, p) L& N4 j% S% [' o
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" N" f% t0 q' x& @, M, A' x# J5 u
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. p7 e0 I4 k) W R
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6 W' Q- d5 p2 L6 P1 G/ L( Z9 F
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/ E" ]3 a7 v' o8 y' ?6 ]
| L ( p )= pa(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] | 2 u6 p# \8 k3 l$ v
| , y9 A! r U4 G7 @& |& B
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- u( n1 G) @2 g# L* z" L* C
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5 P4 G, ]' l: D* S3 j5 L% }
| L ( p )=(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] |
2 T! J' X9 c+ B0 `# [2 M( U# O
| ; h1 x& v% L; c; K. \) q* b
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# C7 l- Y+ N7 D) K9 w4 }! p
| | : b- L# e& H1 B: k) ]$ {4 q
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2 @3 F% _2 V4 o, U: I& R9 ]
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9 u' Z. i: N4 U% s7 p! x5 M9 C! k
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2 Z% h( ^/ O A I! g
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| % n# T4 @: F2 B: }/ d' m; ? E
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' F2 {$ v7 a4 V$ ?7 \
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| + m+ O O8 e. ]+ i" n* ~' m" `
| % d7 h6 _6 h) N/ r6 F( }2 w
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5 f8 b" m1 k0 x: p3 j- E
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' _: v* I1 A p9 n0 l) c/ @ l) F
| 7 A# M, C& r' C" Y5 G) Y# h
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8 C7 N. m2 `6 l7 K4 W: v
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, p E8 ]" M0 Q a
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( ~3 D% a7 I% |2 L* z) c
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1 h4 U. a0 {7 N! w: k8 T3 O9 \
| - j9 g6 O1 B2 X" ~0 t( t: T+ q
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6 R! q9 n8 }1 n5 w* e* K
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0 M, o0 o/ K1 F* i+ _& V
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/ _6 S8 [2 P! A8 r! y, {
| | - W. ~2 S9 x& F: B- r
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- U2 r) C( r2 q% ^0 p7 L
| / L9 u1 \6 C. C h, ]
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6 I/ r2 v" S" R1 [
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| " U7 B6 _ G2 Z7 H6 |
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& u' M3 N; l7 v' m, O
| 8 @* ]0 V( y' A0 Q
| ) y5 r6 c$ A" l3 X8 F+ ?
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| : J8 O6 M; z% i" |, n0 J0 G
| * B7 H; M! A' M0 Q8 z+ R
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5 n8 x) A6 [! u0 v B
| 1 y$ y8 ]; l( g2 m8 X
| # @' g, `& ^8 s" I8 x' Z( k$ C
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" T& K3 t9 b; `( C$ X! }+ X
| 0 D) K8 y9 [* Q7 R9 Q
| 5 o- ^' o3 C1 H2 _8 V% Y4 f' R
| 4 S" G9 E! d5 x6 Y8 E% y; C
| | ! v% g4 M3 u; u. H" x3 K
| 4 }0 t) Q1 o, v; Z
| . ]- o( J% @* n; Y+ F' @( p
| | | | | 0 q# q: v- \0 e2 Z; U7 U+ |
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' U+ i- K/ G8 E/ d. g
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5 X, {/ b7 y5 d# n3 _
| ( `/ [7 W9 K: m) _
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; u6 E' G8 {; P( ], w3 b; v7 f0 W
| & N$ t& V. Y/ n+ a- ?% |
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# ^4 q6 h) H. \, \% d# m- Z
| l. u, z! D) }8 X" p H4 N
| | 6 y1 ~! \% I# m, [3 g
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2 f, ]. Z$ Y! v8 |/ X
| : u/ L; ]4 V2 e0 ]( M* j% ^
| + T% a2 m. {6 S7 x: n7 G8 k" d
| | 7 r+ m' u$ e3 n$ }" {. N4 Q
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+ j1 e3 G; o1 d2 T X
Ogwang 和 Rao（2000）曾提出用两种混合的方法建立洛伦兹模型：加权积（weighted product）及洛伦兹模型的凸组合（convex combination）。并且得到凸组合模型（8）满足洛伦兹曲线性质：
2 G# V: T: ~: w | 4 k! `* n& t! v5 T
| 9 F/ w* ]) |& z, T* l
| | % u9 ?( w8 E0 }" L7 o- k% A, S
| | 2 k+ I5 Q9 r3 F1 ^
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% S& ~' w4 ]- U% }9 F8 B
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/ }5 o2 U: D" P9 C) n
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' G0 y' K) l/ S& K
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! J" W9 d% r7 m+ ~0 P0 ~
| | " I! N+ X+ e2 U- Z, ~
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更一般化的经典洛伦兹曲线模型为王祖祥（2007）提出的如下的二元参数模
" l+ e2 B8 M" Y* j$ k型： ' J' P% g: z+ f0 v
| ( p ) [size=12.5000pt]= 1 [size=12.5000pt]- (1 [size=12.5000pt]- p ) b e[size=14.0000pt]-g p | | |
' H% U# @* g% }) ]# E; b（9）式所表示的二元参数模型作为一个洛伦兹曲线的参数估计模型使用时
! g# ]0 K% X/ h% h$ o比基于帕累托的广义洛伦兹模型具有更好的性质。
. l) {- V" n I. ] {2 C现在的研究成果已经证明：假定 L ( p) 为洛伦兹曲线，则对于任意的a 3 0 和
, ~. o1 ~9 {3 r& _! R6 y | | , B1 F2 p0 L, C# f( j
| - }+ n1 ^7 F. r8 B* [ q
| | # N& V' Q2 Q: L7 @+ r5 a
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! P% t4 q, r6 ?+ `
| | | | * C8 j( Q0 x! H0 G! r
| 8 M7 r+ ]0 z b* [
| | 1 m+ f9 d% {$ Y! R2 |" D2 g
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+ U& U( \8 [( C( x
| 都有 L' ' '( p)30，则当a30，h31 / 2 | |
5 f. L: ]. c$ g/ L3 u
| 2 f/ b/ J& A* o H
| % D- [$ _% Z/ K; t
| 且a + h 31时，L ( p) 也是洛伦兹曲线。 |
; Z' _/ n: S4 }; y
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( C" d) s* C4 O7 F8 n1 X& v0 A国内外的专家学者在研究洛伦兹模型方面做了大量的工作，王祖祥、
/ k2 s) O# @6 g, t6 OSarabia 等提出了一系列的洛伦兹曲线模型，除上面提到的公式（9），如：
. N" G' D/ X: w5 E% G
/ v* V3 w( q) W+ V
0 s' o8 |6 Y" N# y/ j7 ) H" h8 U0 N/ u9 z2 O9 X
% L4 f2 H# h) r9 L6 z
L ( p ) [size=11.5000pt]= pa |
( b# o1 G5 T; O$ U
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% m1 w) _; |* l8 U3 a3 D8 T
| | + r5 O( b+ z5 ?- o3 B0 e7 P6 y* s
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$ |. `3 w9 u$ X8 h% f$ T0 e
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) M( z( }9 u* Z7 O+ F2 G0 G( F
| % `2 O2 M; u" B
| # w/ [. P' c1 J7 d* B
| 6 d. e6 a% r# ~( z
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* a1 t# w+ v+ _( U9 H
| & y! N/ `* N' n8 f# z* B( I
| - `; ?- V6 \9 p8 n" ?6 H2 m
| L7 z3 c) ^0 t1 @
| 5 V E! E1 p# S. D/ R2 g7 J7 O
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1 T. z- Q) v3 r) e% s/ C2 U
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: Z$ {) ? k, t' g
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) F9 |2 y; `6 k0 x
| " [5 Z6 _2 Q1 |( `0 Z$ d$ ~ E
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! Z" j& t1 e, O4 ?2 F; |9 z0 p3 p
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' q6 X) A) U9 S$ t
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7 s" G/ i" z$ }% i1 I& o8 q4 [
| . {. z3 l. Z0 j8 x( L
| ' A; f! ^8 g# X# g' @2 z
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: G {8 a" p, q% y
| | ! l# D/ B& U+ w# S G4 z; V3 K
| | # O" T) L0 j+ {, ~
| 3 `+ t) v8 e6 X* `, ^; t8 v; g+ m
| 4 e: ^! X- K1 D
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0 M0 W3 G& ~* T! j
| & t# y" D/ \7 w7 Y1 J! W8 k
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9 ~9 U4 U+ P. ]6 m, |2 r9 P {6 x
| P9 a7 {9 w4 m8 x8 ~" c
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| $ S& p- p( Y4 ?, ^# B+ ?$ M
| * [; ^! K% [, I: K* @9 ~
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X4 x" g8 l0 R0 x
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1 u! ]* W0 X- {: A: h3 |
| ' V' @" {, H! n0 k, |
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$ s& ], S2 i, _! `3 b$ L
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& f' w& S, s+ W6 z; _/ h
| : m3 U! t6 a0 N T
| 1 \4 W9 p( L6 E7 w/ O' ?- G" P
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0 Q Q+ v, j) p: t1 z0 I
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3 O( _* h, `; h' w% q$ p
| % |. [0 f1 D1 [5 Z4 l, D
| | ) c- F: d5 G/ _5 F6 X- E
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0 j2 T* K& t* Y5 d! H7 R% S
| " c2 [: m, S+ E
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9 R) _* j: n; f% H, Y# n! m, v; T
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' n! L$ |0 e5 _* I T5 e7 x0 `
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; h1 g, A, t) Z; H7 ~7 A
| 2 d& [$ N3 O8 u, ~2 U4 Q* j
| | + P( `3 f5 t% ~: D! L
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- |/ l% s5 j# v1 {: b5 o( p- J2 k
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: T' M z+ y" C3 {, j/ E3 e
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5 m$ g; R! K. l7 t9 q
| , V! |$ g6 M9 n9 g+ |
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0 V! [- P1 L# Q+ @8 r
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/ m* s& P- N' j
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. o# V8 o* h/ D
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. V% Z2 ^/ P9 n! k( h0 T; V
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4 r! a( A) Q6 K( Q
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' M2 u! K2 e* _
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| L ( p ) [size=12.0000pt]= [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p ) b ]a [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p)h ]l |
- E# P7 S# v5 L y
| . @7 a& ^2 M. O4 }$ E0 L
| 5 Z2 K. [4 g: h2 ?! a- `7 O
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% m' P3 k5 \( V( c
| 2 \9 o e1 R }- @4 z
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0 D1 y4 j# |2 c4 x+ l* s3 N% H+ h
| L ( p ) [size=12.0000pt]= p | | | | | |
6 q8 c2 u, q; C* D' o D
| | | | | | ; o8 E& s8 k, x5 P$ V5 m$ {. I
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& U" z8 \9 Q% o5 G$ x, M, j
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7 S5 w9 A! e- \" {/ ?& v5 f- z
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' R$ @$ v4 c4 J4 [2 y; h
| # j6 k0 F$ H2 d- f
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* g9 N$ q1 N# I# @
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/ K' o2 P) E q" j
| | | : q1 L$ R p5 ?
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! g6 t4 W3 T( i& E" a* ?- k0 @' i; Q2 {
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在研究现有文献基础上，按照洛伦兹曲线应满足的性质以及推导定理，本文构建了基于指数成份的洛伦兹模型 L( p,t ) ，形式如下：
7 e) d) P& i: ?& @$ FL ( p )=[1-(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] | | 0 C9 j4 G0 S5 v! u
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Z+ b; a0 g8 W1 w0 N6 b2 r
|
+ n: o. C! F, [7 x* _+ ^7 @
| 其中， 0 ￡ a + b ￡1， 0 ￡ g + h ￡1。 | / B2 M. f {2 [! Y6 s
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) p6 I9 u# c, C
| | 4 ?, q f0 U3 d3 P
| , c7 w$ z- m3 v$ U* {
| |
; W, B/ q8 P. I
|
o" D. W+ @# y/ l- ?8 A
| | 0 }6 X: x6 H B8 G& S
|
, m' \9 ?3 K8 B# M5 @
|
; T4 _4 H O0 nL'( p )=[a(1- p )a-1 e -bp][1-(1- p )g e-hp]+ # h. w5 q- R8 `! L
[1 - (1 - p )a e - b p ][g (1 - p )g -1 e -h p + h p (1 - p )g e-h p ]
+ y& u; c1 \/ H: j8 P" j( Z/ S6 \在满足条件 a + b 3 0 ， g + h 3 0 的情况下，当 p Î[0,1] 时，满足
- W# J' S9 z0 s0 m3 ]L'( p )30。 9 B% X F) j/ w6 h: s
L' '( p )=[a(1-a)(1- p )a-1 e -bp-ab p (1- p )a-1 e -bp+b(1- p )a e-bp 0 T/ P7 U& H: j+ d9 Z% M
- ab p (1- p )a-1 e -bp-b2 p 2(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] ; i5 l' P# @' } Z6 r
+ 2[a (1 - p )a -1 e - b p + b p (1 - p )a e - b p ][g (1 - p ) g -1 e-h p
; E/ O; Q/ _9 H$ k) b6 _+ h p (1- p )g e -hp][g(1-g)(1- p )g-1 e-hp
4 ^4 e3 i4 ^2 }% a W- K* h( J S: I, M- gh p (1- p )g-1 e -hp+h(1- p )g e-hp
% G8 z( P* t0 J5 B- gh p (1- p )g-1 e -hp-h2 p 2(1- p )g e -hp][1-(1- p )a e-bp]
% q0 B: W8 y2 K, i' {= [(a + b ) - (a + b ) 2 - b 2 p 2 (1 - p )](1 - p )a -1 e-b p 0 V0 U8 g7 K! L( z8 N
+ [(g + h ) - (g + h ) 2 - h2 p 2 (1 - p )](1 - p ) g -1 e-h p ' X# P! q( \9 Q$ v- K& }
当满足条件a + b ￡1，g + h ￡1的情况下，当 p Î[0,1]时，L'' ( p) 3 0 。 1 T* R$ j( R, N* Y6 F
综上所述，新构建的洛伦兹模型模型（14）式满足洛伦兹曲线的定义及性质，
8 D' G6 C0 {% R0 e8 & t2 [8 X6 i, Q7 S" k, R
* D2 ^' \: B4 ~3 Q$ E8 m/ s2 |8 e4 Z3 _6 x6 ?7 M
可以用来拟合题目中给出的数据，并且与现有经典洛伦兹模型做出比较。 ) ?' S$ r4 A7 ~+ p
3.1.2 模型的计算与比较 0 l2 M+ Q+ e4 l+ k( Q4 k' B) k. i
有关收入与人口的数据一般情况下可以得到收入人口分布的分组数据，这种数据的完整形式为(pi ,xi file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps2.pngm)，i=1,2, ,n或者(pi,Li)，i=1,2, ,n，其中xi是收
% A+ Q1 @" _; i: l' i- T入区间点，满足 0 ￡ x1 < x2 <
3 \7 P' J! |" m) B5 e" x! U7 e) C2 G |
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-9-26 11:26
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