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TA的每日心情 | 慵懒 2020-7-12 09:52 |
|---|
签到天数: 116 天 [LV.6]常住居民II 管理员
 群组: 2018教师培训(呼和浩 群组: 2017-05-04 量化投资实 群组: 2017“草原杯”夏令营 群组: 2018美赛冲刺培训 群组: 2017 田老师国赛冲刺课 |
应用场景: H1 w4 L7 S2 G* H4 |
* l& c% G8 d! R: J, O2 B) I' r( t- M
简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
' V" y, e3 ]# t; c+ _9 ]0 \P.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。$ ]) q. y+ n! I) x* D, a1 ~
! M3 ^ R% I M/ ?0 d3 a具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:7 J2 X$ R9 A3 `: y6 s3 }; c5 J7 [
7 a6 R+ R* e7 k" J6 d2 D: a0 d8 o建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx F, C8 l6 y- x9 Z3 _! N
11 J P" S9 E, q8 A: T) j: X) |) r$ m
' x: J5 r! A$ |# j4 h
,x
: E. I: `' N4 v) H) C$ B5 ]. u2$ v/ a, e! [+ L
, a# {5 A, }+ I9 g ,...,x & d" c' @. H8 I, K
m
. v; N, J& u) j
# z/ _! r8 h( n3 }0 N( H/ ^ 之间的回归模型(经验公式); z4 s7 R5 v/ \! J
对回归模型的可信度进行检验;: H, H* u6 Z- u. C$ J( Q- c
判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x 6 |# R3 ^) B5 ~; H
i
- o7 b: [+ ~( E " m& M7 N2 v" P
(i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;+ [0 \+ d9 a% l. Y3 m
诊断回归模型是否适合这组数据;
! W6 V. ^ K5 A V利用回归模型对y yy进行预报或控制。& X/ c* U5 I' S; E7 a
1. 建立回归模型 m. E& o2 V" U* m& B* H& h3 E- ~
3 [/ f2 W; x C% R
1.1 筛选变量& P7 U+ \* S: {/ v5 I
# m2 u, j2 h$ b: i% `( D% i! q
1.1.1 确定样本空间
/ n3 D2 ]) R' k( t6 G8 ~2 h! z$ X* _$ B0 I W( p5 I0 g8 O
m mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,
; U8 W) y0 T& S4 s, W+ C; `(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n
2 a- p8 I2 \: L: [(x
( _7 s# }. x2 N1 z& f% R2 Vi1
7 c' C0 F. i3 Q
7 y c$ I$ }; d! L/ U0 z% S, m ,x
# l( l8 }+ T$ Z$ }, o. g9 ni2% F, }. K. t6 {0 w* V) c" X3 T
& |" j+ J2 m- y( }" {- Y
,...,x
3 t" b. g l. D/ _2 m: f. xim
4 U8 o# T3 \+ X5 }' c- q
" [! U) g. K1 G- [/ L& ^ ),i=1,2,...,n7 E6 ], j; p* `, Y. a
) j, P( N) o1 R! a
所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。
" X* n/ E b$ M5 `7 J. e9 Y- i
7 j$ |0 |% k% f) h, e! l1.1.2 对数据进行标准化处理! z+ b' O! `/ C* R! K1 l
6 P6 V8 W& x z8 u
(1)数据的中心化处理0 Y% P4 a! L4 q& u
实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx ) q+ S: J4 I4 l' n6 e {' K
ij+ x1 h7 d! B5 s. o: q5 D: T; L
∗
4 y9 Z9 o. J; d/ V3 H
. W8 y x9 c" X) P$ u9 R =x
) z u/ Z7 [' C# t& zij
$ e g& a( x) @! m* Q2 z n
2 S. U* @+ t% N1 S5 A( R6 n − . ] Z, A5 u/ k2 V& S* V5 B' Z- O
x 4 X _) N- ?5 I! F9 j
j# [+ ?( A! C6 c( k
; L8 \0 x& g2 b
0 r! U- \+ ]' F
b- C* C# e% s- V! c( K- S1 I. k ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m! i: q! G, b1 w, b
( i. K/ Z% S6 g% ~
这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。1 ^( N, ?7 i7 y- E, I9 f( e. F
(2)数据的无量纲化处理
( u8 j) O) r3 v S6 c0 X在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。
. [5 S# t) A# S9 i. [为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为1+ w& k) d' g, w6 }" s
即,
* x' j& q, X) ?0 A) wx∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}% P' `/ B; L* j' E; O; X; p
x . X. a. W q+ h* F
ij( v/ B8 q5 H4 E- O6 e
∗
. \: q' g0 D* ?& z1 B# c . u5 r% ^- L# O: L$ R8 n
=x " C7 @; P4 F) v0 b
ij" `3 T& K* P p9 s# {1 y7 ^
. Q% ~# B& n/ L; [7 J9 O0 p /s
9 K3 ]; j- Q4 {! _9 qj7 S! d% Y3 ?. @6 n. Z) s& Y
/ J" W9 _: K$ P8 T0 O, `8 T ,其中,s
" d5 g: _! |+ rj
, I4 h4 |2 R% e) W. I m ; b$ s; f& }& _9 O& }
=
3 y. t7 L! I3 Z$ Y8 x& t( ?7 Wn−1
# l8 [# ]& f' C1) E9 T p" N+ m2 _
& p" x! E( c9 B- C
7 L8 S' [1 P6 Ai=1
7 R+ @1 K- h, F7 z! w∑
' V8 Y0 M f$ K5 n1 q+ On3 D, m' w% P: P* r! u4 ]" `. ~
/ S+ S! i1 T* P+ w2 `: Z% t' T% v (x * {! J: B; W+ v3 Y5 W& J
ij
1 T8 S; {$ F8 F4 j& o: X ; }7 ~ Y& X0 d' E; } ]
− ) \2 i- ~- A3 x/ R8 _/ ]
x
! T+ C: [$ c9 Qj
" G" x3 X0 t9 h# b8 u9 z' U - i( L$ e; H! \5 a* Q7 ?7 s
. }* U# w- d8 k1 | # g7 y& U7 \8 S3 p
)
* I; F+ w- k# V( H2
9 ?* h$ T: q# U% U2 a
# ~9 b, S5 t. B
) [- H" J1 }- ]) G9 F8 L- m' c3 _! B9 W6 ~: |8 {6 ~8 q1 X1 W' K2 A
4 q" p! ]% |+ W- `% C) H+ j$ d
当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。( S% q0 j! u4 f% p9 U# @
(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理
9 R! X% ]( V1 A3 g, n3 b' z4 m即,
1 s! r; J% d- m7 Ux∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m
4 p; {! q1 M: l+ E* F7 Dx $ M; [9 K$ q! h4 ^
ij( T3 F( d* P; D4 C }! [$ n7 x
∗5 \+ D4 R4 V3 F* k q x9 e" o
) O# C; A i& k3 {. c −
) I' `9 i' f0 Gs
$ I* D1 r" v- u5 I$ W+ Y. tj4 D4 B5 m1 x# K. F# |7 m1 j$ g
) N6 F5 m( C* x+ D" u. ~; f' u6 |& d2 ~ W/ O0 }/ ]
x 9 n6 z0 o8 H- v
ij
8 T. {% n# Z+ f 5 x. p9 N$ T) E- u G! h" z
−
/ v! i0 y! \3 ?3 Qx
V2 v2 T9 V8 X3 l' M8 @' g0 tj
# }; q/ P% ?: |- t; K E
+ _, B7 P7 b" o& x2 G
3 ?5 G% _- m6 M; k
3 Z0 Q- Z2 ?, x5 L8 J' P) [+ {) f @3 B( Q' x e
3 f7 _+ \6 y2 n8 y
,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
3 }3 G+ Y1 P: N- A7 {+ x: R
2 t) H/ t5 G& }1.1.3 变量筛选
4 x3 a* O( e0 C, N& p+ R* n9 k
8 Y( z0 Q3 h" i! @) R' r3 b$ k——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
/ ], x3 u6 T' `8 ]& l/ A
6 y9 B" B3 k8 p一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量
6 S' P2 M0 G' R7 S( F: e |+ d一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少& _# X/ {! E4 n; y7 g- M2 v; H9 r
(1)穷举法
# g" I x' C& n列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。# E) P7 C' H2 q, a* i6 r! S
假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2 ! q$ J# j) I* |) Q. e
m
! C( H0 S- y- s( d. h+ [/ ` : T2 D/ x6 j5 j+ k8 g
——当m mm较大时不现实
+ w% y2 t4 D' ~2 I: Y4 G) _
M7 X+ ^7 R3 O$ @5 x3 U- S; G y(2)向前选择变量法, I" m& Q7 n8 G* ~5 g
& M0 d: I5 @4 m/ Q* i* T2 ~初始:模型中没有任何解释变量4 y$ Q1 r+ v% }5 w3 f
分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型& }( k; ]# p2 g; P! B, h2 U2 H0 h
对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量) n! I# Q) X9 v8 O, Z
对剩下的变量分别进行偏F检验9 Z* c, I1 K9 ^# g, d _
至少有一个xi通过了偏F检验?
3 ~) e8 j/ I7 m& m9 a7 y在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
4 M. ~% o( D$ D结束
8 H3 o$ M2 O: V `yes
" a( q9 [1 W; Y7 r2 `4 L$ uno
; T' ^; L( o, l. r9 |3 m缺点:
* Y$ C+ f, |% P9 { n$ D. g一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。8 C- l) w: {( r' {" `
7 [' Z5 y( e% ~" u8 [; E4 m
(3)向后删除变量法. M0 i: V& ]1 c, S* x( ~. f
o( l. T+ X; ~" a+ T7 q( D1 \8 \初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)
& }% }# G! M- n* x6 q/ P* s/ E4 e/ I分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型), x# t j" j/ G
所有的变量都通过了偏F检验?
% j4 ^+ x% \: @. ]8 {6 G3 x选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除
2 M! K7 Q% [( F! E结束
K' v4 D: }, L- i' t% M0 t, u Lyes
) x! E1 V7 ~9 o, D/ y( i) Zno9 h/ n- v8 t8 P l& Y
缺点:
8 T& z% C# a! f! ~一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。6 j+ Y8 E7 x8 h7 x
; d3 h3 k# [! D$ f+ P% ]" w# n& f(4)逐步回归法——最常用
2 U/ N" s) ?; V, T4 K
* Q- A7 k: i9 O. W+ w; H综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:& a& Z: I V5 P: G
7 v; {( x' v) h& A
对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型3 j X( {" o+ C% H- G
对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除) F W7 {9 @5 O/ `
具体流程见书,此处不再赘述。
1 r& b7 |! O! a( M. m) D' x( ]. d: x0 C, j; x
另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F ) y6 h& N( P+ Q8 f; r) W$ l
进
2 ~2 C# G9 x$ k' h$ l " `1 B' s/ ~+ a7 A$ P U7 |
>F # r" l( {& w2 z9 A4 y5 ~
出& i/ G5 h5 B7 C8 n- y
6 K+ k' n3 o* R2 M0 S* |, m' \
,式中,F进 F_进F * m3 a# E( i4 e7 Z- F
进3 L* V+ h. b- k
/ v' [- s9 D1 | 为选入变量时的临界值,F出 F_出F
# f: C0 _' {8 q. D! `出: B6 H- s+ q% G$ O
A8 j, Y7 _( [$ b- @0 A
未删除变量时的临界值。
; g) ]' A" n8 R9 |, K( {: p! T% n0 x4 k' B. _
在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F
9 ?8 ~( k% e" t+ v1 J进
) q/ ^! R8 B |4 M
- N6 a5 ]2 ~. z, d) L; n 和F出 F_出F * Y! f" A% D! `$ w$ \: J, x V
出
2 ?2 e" q" D1 q% Z8 O, J* Y" ^: l2 G* j / \8 h& ]: S3 Q0 u8 ~; i1 Q
的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α ) Z9 A+ r: U3 d' G
进
" A& A) L% d% x, P+ U$ [
( M3 w6 d8 {" L' D! _ =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α ; x- {' l7 w* F6 B0 I6 Z0 @
出
( w4 n D6 j* h- |
1 S* J9 p$ b7 I! O( X =0.13 l( V! Y3 N4 O
1 T. W" _2 M. G. ?; e6 {# n: I1.1.4 调整复判定系数
. G8 q) K6 Y: O7 v# N: N; a: U$ O) U
——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R
2 R& D7 l' S% M% @2: y {- x+ l* s
和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
9 L% n) q; F+ H1 @R
7 g! U8 ?# K p
$ R( ]2 U* A. ]% z" C" V) k2
/ k" |6 ^6 |; t q$ N ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
+ a+ R! L7 p' @- a" |8 ]
p/ D/ Y5 U0 k$ P+ ]: Y+ p& E统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R , R, d4 Y6 |3 i# Z1 V S; B# V
2
/ U. e. Z: `' u) c6 L9 U2 ~ 的提高。
1 ]; z6 T9 C% V! S; F当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df
# x6 q2 C! L8 VE
' ?& g% W$ k9 u& X8 e, h: k9 X6 q& ]
2 i& w w7 x/ g1 y+ @ =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:9 y( u% R& S1 B
! Z- {, B h: n! p6 _9 m5 \
Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
2 }5 L, c: J* z8 m& _R
+ f- R+ X! T+ v, l1 m, ~; ]
% r" \/ e, M5 c* w2
* D0 x# E. R7 \# D; ?! | =1−
3 o/ `) y5 @5 [7 e' u& \8 nSST/(n−1). @) d& q5 x8 _3 H1 L3 u
Q/(n−m−1)
4 {3 v% y0 `$ ~# a O- S7 V% S N% \
) f6 m; }) A* r6 b- {7 X2 z8 I5 h# s! G8 [; t3 C$ D
此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 + m/ L) W% [* X4 X0 Z
R9 _* C* c1 k7 d8 ], ^; l" C
* L* X; Z; k7 G2
, c* M6 K; f0 b$ A/ H 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:4 P# e: |7 K$ [6 u2 S1 N: V2 I& O
若增加一个变量,4 X' `% [. S' U6 i6 ^
' ]6 X4 ^& Q+ o0 d0 O# ^/ R: ?
Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
' T, Q( u! e1 \: N* JR
2 T8 U2 S; b) w4 k& `5 L# ~' \7 z/ t: Y0 \# p) \
2
6 Q8 | B5 c7 N8 a, L" h* r$ p& E 明显增加,,可考虑增加此变量
0 g3 p4 J/ L5 z; l4 i" i* ^3 j$ MRˉˉˉ2 \overline{R}^2
2 S- E: L% {; KR4 S+ p! o$ y% e) ~/ ?
6 L6 e# ?/ i- Q( F$ @2
3 i% [& r% K1 s- e 无明显变化,不必增加此变量
F, e' V3 v+ d- U+ c1.2 最小二乘估计' e9 p8 N5 t9 l) o9 U
/ N* Y6 D) G4 v& Y8 J
一元线性回归、多元线性回归——略。7 m6 c1 r& p2 Q% H( |/ s/ i' v% Z
( [+ p9 ]; u. }# p; t
2. 回归模型假设检验8 Y8 Y l; m3 H! s
4 l# M# v* u! o! H——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
) O8 g$ w( r0 D! n: |8 d% s9 m! E. e* q, m; z, Q* A# O; N
具体检验方法见书,此处不再赘述。
3 g" W: t( v0 f* S+ Q" o r X
3 k/ V# t8 U H# a- `; t, k3. 回归参数假设检验和区间估计) F- R& a+ k5 h5 K+ p
+ ] ^! ^( j" S7 b4 \9 T
——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)% Y8 m$ k5 s' Z4 j3 b
: r& `3 R8 q1 T: J6 U* l7 Y) n
具体检验方法见书,此处不再赘述。
! y% Z c2 \& [: L/ `0 w: E1 p( Y/ h9 S. j
4. 拟合效果分析
- D C3 M% J2 p/ i7 m
+ d, x+ e5 H9 z! X& n C" O, `4.1 残差的样本方差(MSE)* Y9 C ^; P) q/ p$ g
" e9 T* ^* k% m4 o1 MMSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2, o* _) n; F- i6 l
MSE=
T) G# ?5 o6 u un−2* O' e6 @' I7 B4 ]) ~# i: C( R
18 k7 L" S( u' e# @& T5 B
1 T* n& h5 i6 M, \- h
0 B# i2 m9 f Fi=1+ f) ^3 g, Q/ d1 [- s
∑+ M8 l9 n: y% D0 s, Z; u3 W
n4 Y% H4 H, h. c9 M& y; e T3 ~6 H
7 F2 Y& u, `8 f& B" K+ L5 I$ j0 ~
(e
4 r O( @3 e8 S, v7 X9 u) ti" h( N3 z1 I6 s& |- b
) ]( g6 }* N& h. n4 B9 C4 A
− - e$ t7 f- h) U; q
e6 K2 ?! `- m, m3 d6 Y
)
! y$ M! s2 q! E5 o' F2- X- E2 T6 B' Y7 V
" t+ _4 ^& a# O% o
3 t3 f7 B8 r t* a9 ]可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0
& b. v: {6 R* l6 Q1 L1 ee
& t# V* G9 `" b =0
3 W0 c+ J" I+ l B0 F# I5 X! Z记,1 j: s6 w1 ?: B
Se=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}9 g% z" f$ z, B3 j9 @
S " P8 v: t8 f' M
e/ q2 d$ r$ V7 s/ ~* K. a" C7 U
+ e# S+ _7 u; A5 u& ~
= * P; i3 p- w9 F7 I5 ~: t. S2 Y
MSE! b( {' W* Y" k& R; y8 `* @
: h8 w" A4 v2 c$ z: B, m6 E' o
=
+ c. @6 Q* g: Q6 d1 `n−2
% X- f& z: z& O) L1 K& x1 V. R& K1
: J3 m# v9 f4 v+ U& U$ m
: d j' u) I+ ~- j1 y2 e& c& e9 h/ n5 B" w7 u; L% @$ g, R# S6 x
i=1
' j% V" X- w2 `( w∑+ D/ D3 [1 E$ `
! p- S1 p) c8 ^0 R, }3 Z
ne ; W; i- G, p4 Q2 Z
i
/ @ y8 `4 P5 W8 O$ V; @0 Q& ^) S2 o % [+ S& R$ I! H1 v' N+ q7 W& d
& l$ ?- Q( z: I2 f2
; B" \: E0 {6 w' E7 N( @7 v: m! D! c9 a6 M# k* T+ O
; d* }2 L" z* I
( O. H( ^$ E( C. \5 C
' H) Z! n0 C: XSe S_eS
Y: `' l) e' be, h- k1 h o0 e% _# D
, A- C( _1 W' H( U# Q: ^4 A7 {- T 越小,拟合效果越好
! i2 q! x% I3 m- u
% h3 ^3 Z! H! ^: E G* w6 c4.2 判定系数(拟合优度)
G* C% ?5 h6 g& G) H# u ^
: p$ u# A: G3 Z& o- T0 N7 W——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R ! t$ T4 r# [! E9 R! a- |
27 F, B4 N: a( E5 f; R5 G
表示
; \8 z. u( L- ~% ^. o; XR2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}# A/ a8 S; @2 `' |/ v
R # }9 L# L7 Q$ R6 U% ~9 e' h6 q
2
. G) H( m3 l. O: z5 r, N = 9 ~! T9 B$ z) I& {
SST
7 M6 ?8 Q' O9 J' \8 a" KSSR6 v% w' E! n; P
) {7 D* K T ` ]; H% M
=1−
! e/ E" l" o7 D0 ~9 o" E0 C2 @1 jSST: T5 P; \ n/ P( n" Y
SSE" x% K! x) a9 }
5 @2 U' H7 g) A0 n/ q$ G, Q
" u& D0 ]% d* d! W
1 \; Z& L3 C+ N! u: a, [其中,
: |3 n5 \" L3 V: P; E9 QSST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-1
$ V8 {/ |) R. y4 C" YSST=
3 Q K; R3 {7 t9 `0 |$ g/ u: w7 bi=1
- t: v) k9 ` @0 ~; A1 C, |∑ a% P, W% b& V* \
n
$ k) S2 |' R$ B7 H2 w6 i 8 _6 g6 u: i9 L+ r; g8 Y
(y
7 ~. F* d' M( _3 Ki: q8 c/ W# N$ R g, z
- p! Z- s) t: m$ ^: G% s − ! z0 _' `7 c) q u" d; u7 ?8 x) u
y0 u; e! F- Y0 J3 \
" D) p) i! n8 k" f1 ]1 r ) & J1 D; H7 T$ v) m1 B! g* ~
2
0 Y7 Y' c+ L/ j( P# c ,原始数据y , |+ H: W& Q3 ?8 P I: l4 {
i
* {* \2 p$ D- S' o" s
) _! ~' t. m, l# p6 O: X" H+ I5 y: n 的总变异平方和,df 1 w+ g/ P. X T5 A' Y1 i6 T5 a
T7 L" N) N" K3 g: q) e
5 n( k" a0 ]* V( K: X! {
=n−1
! \6 d* H# J) P5 H! b5 A# t; Z; {) D6 N$ @" i
SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 1/ C0 C/ q. W4 ?$ ?- k/ E2 o
SSR= ) G5 F: B* N9 O% a' j/ b* H5 S4 J
i=1+ P. N0 F6 _! ?, ]
∑7 S/ Y! R0 k" Z# w: S) }1 m
n! p% F+ Q/ L8 }
" n- }" [4 X0 f6 s. S
( & X7 o3 T/ j" v0 m+ R! ]
y
: ]! |% X: Y K) Hi
0 _2 [2 V) q7 H% ], r
$ \7 P, G; A. [$ w4 C
+ M3 W: o9 L( T3 |& e^$ u0 P( m7 l+ {* L# i0 i4 ?
, k( X4 J9 }' e" Z3 i − 5 J, c, R p F2 D; [
y
" [9 I1 ]- i" W' D 1 t1 p$ L$ o% R# G
)
5 E& T( \4 e& f! U# U( M& {2 D2* E' P. k9 l7 E, g: n
,用拟合直线可解释的变异平方和,df ; Z. R1 b4 X) V8 @6 Z- L* ~- D
R
. i8 R* w9 S; a( @( Y# a 0 l# x. r- D3 q) M/ l
=1: S Z/ H0 ~+ G1 F/ P e1 U ^
% n8 f$ C# { \' n1 ?' R; d
SSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-26 U/ p7 {( l' @7 ?: l
SSE= S$ v1 e/ \! q3 S4 a4 E2 K' J
i=1
2 Q# u& h4 C3 c+ }+ E, S" A& o$ x# n∑
: \3 A/ T' S, D' c2 Jn
: `$ U5 N& O! D2 b2 P6 w4 O8 y- |
; ^( l5 h. A, e q (y $ M' B0 n" J }7 }1 f! r
i( z9 d, `* ]& H' e* f: M, S. K9 w
( M) ]# M. W2 n/ R- }6 Z+ V$ W −
) _) S; {8 p6 U; U6 U! S2 m. @y % l& f; w" Y" A& s F: o7 a6 P _
i
2 x0 }5 c2 X9 X) w. y ; S- `8 o% I3 K; ]6 f. q3 e* D' v
3 ]4 s' {! P' {5 }' l( [
^0 m% ?6 y6 m( Q2 u" y& `6 y1 G
) f2 O: u( ?5 l" v. N0 ?1 \ )
; H0 ^% C# B; A2 V( B! |2; |2 u* B& U5 m# z* B9 P7 d8 a. F
,残差平方和,df 3 Z. u5 r0 u' Y/ g9 g" A" Y
E
# m# z# r: E7 ~
1 x' f# ?) t. ?# ? =n−2( A$ _+ z& ?7 r" j- @4 Y
- x/ v7 M1 L0 a/ ~
SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE
: U) B, o) W/ K9 b/ V% jSST=SSR+SSE Y- W2 R- Q+ P7 o# \
' |; M' J6 H( p" O
R2 R^2R
7 u ]; a% ^: I20 b7 Y' ~3 e) [# W! s$ H
越接近1,拟合点与原数据越吻合
1 X8 X; l# A2 x9 Q! y
0 @! m# r$ I! A1 L1 F& a$ {另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2} ) H$ g( @, r) d) k
R & y7 H* y. T/ n' B, C
2
' f g1 i& S5 b8 d6 {# q2 @* M5 e. M- G& h4 _, |
$ d- L, ?+ F/ D+ ?
等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
+ p* l, j9 i3 _. j- L% wβ 3 t+ b4 o/ t( ?; Y. Q
16 t1 R- [# q2 Q1 p3 [4 y
- O0 j% D7 r' y0 B
0 [: k+ T" p3 R3 R! r5 Q0 [
^
" l$ T9 y1 r! W
" \$ c, I$ Q8 V. S7 ~& o, G! H* K 的符号相同
1 N8 B3 K. K1 X6 j2 s( n6 B
1 S( A% d# ]: ?* ^5. 利用回归模型进行预测
8 t( K, Y0 W5 l- G; l+ d2 M1 s, {6 S, M* Q5 d) w" n0 L( U
6 F8 A7 C8 g- s
2 R" G! n3 C* _9 `3 F2 E/ c其他7 E$ A1 {% g6 N: {, e
% s- N% z- o/ X* T% y
偏相关系数(净相关系数)
: ?) D" f) X6 ~: q5 b+ {( X% C6 z9 W$ G5 A5 P- [
在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。5 v q+ {1 G+ W' w+ Z$ K* o2 _" j( a) Z) j
- \" \" }' g- C+ ~3 l$ L
复共线性和有偏估计方法# f" [& P% \' e9 F& @9 e
" q# d* h% h( `
在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)" \1 ?6 ?1 W. z, S ~& ^: \$ C
) T" r5 f7 {$ W3 Y解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
0 M, j6 O# x0 i. B9 E. n1 R9 r9 F6 W例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。; x- t6 K0 X$ {! H8 I
(P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)# @# w: _8 t' b! D @) Q. y$ M+ v* C
# O' y- A5 j! r
再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性3 S5 j S9 e# W5 Q2 [! ]' b9 T
, D1 G8 ?) z+ d; D5 v' n$ r3 C小结
* H1 p" p1 P6 F6 h8 o: O& \5 n& T4 o. A* Z* o/ W
采用回归模型进行建模的可取步骤如下:" h3 u/ W7 O; _/ t6 H' Z5 _1 Y
, }% Q" M8 ^- W建立回归模型6 H2 E7 L4 w- c8 }
确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量
# w" A9 O5 U7 S8 i0 T% y1 C- b————————————————8 x8 p2 f8 }4 x, j" X- d
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