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数学建模之回归分析

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    发表于 2020-1-8 09:11 |只看该作者 |正序浏览
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    应用场景
    / n: Q+ T' s5 x3 x' ~2 i+ W
    6 [2 b; H! U( l- `: `简单地说,回归分析是对拟合问题做的一种统计分析。
    ( y& Y  _4 R9 z. YP.S. 曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常。函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直接观察决定,要做的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。
    & I" L5 i" U6 b5 R8 l
    . I( @; J5 r+ }具体地说,回归分析在一组数据的基础上研究以下问题:
    ) V( F& M% x; A* u$ c  z8 M. l7 ]/ U( ^: ~
    建立因变量y yy与自变量x1,x2,...,xm x_1,x_2,...,x_mx
    , C( F: t! r' B# s+ f1. c# ~; F1 A8 i2 v! I: n/ E$ X7 E( z
    ​       
    ) }9 Q, f. S) A2 Y3 W2 @ ,x 3 i  \, @2 o% Y) C
    2
    1 |6 a: [+ g( c* T# K7 N- D1 S​        7 `9 S0 N' v; b7 o, f' L
    ,...,x
    7 r0 r! a$ v6 om
    * R0 U% S6 |3 {: J) b$ k) e# M& X2 l​       
    - g, ~3 {6 w2 K( Y% ~ 之间的回归模型(经验公式);
    9 g0 X+ `3 O; D/ J对回归模型的可信度进行检验;9 A( m8 C' a- i7 |3 M' w. t2 T
    判断每个自变量xi(i=1,2,...,m) x_i(i=1,2,...,m)x ' {% e1 D4 s- {7 V5 F8 ]
    i
    2 v+ N3 S0 I1 X) z- o​       
    - d* s" v) N8 z" n2 F$ D8 h (i=1,2,...,m)对y yy的影响是否显著;% F- n" X, _. {1 W
    诊断回归模型是否适合这组数据;; r2 ?8 g$ m6 W) |
    利用回归模型对y yy进行预报或控制。0 m5 c& a0 p( w: ]& M
    1. 建立回归模型
    4 }; ?  X% z: r* U! @* g! t+ E9 \8 n" [" e7 w9 p2 @$ J, W- ?0 o
    1.1 筛选变量
    ! p2 d# n. O2 w" l: {; `2 Z6 K+ g* p; Z# x  m9 ^
    1.1.1 确定样本空间
    ( b5 z4 [: e; [) U
    & T+ l1 m! e1 H! g6 Hm mm个变量,对它们分别进行了n nn次采样(或观测),得到n nn个样本点,
    ! N. N, z1 t8 e(xi1,xi2,...,xim),i=1,2,...,n (x_{i1}, x_{i2}, ... , x_{im}), i = 1, 2, ..., n
    & {+ `( k- d+ B0 ]0 p1 R' P(x
    % Q# J" E8 e% ~i1+ J# E# r, V6 a8 v7 ]9 V
    ​        * w5 C( J5 T3 h; m' W
    ,x
    9 {# a- J0 B( ~9 S% S& Ai2
    8 j* ]1 ^0 M( T# f  q​       
    : L, M* q8 I) z4 S: C ,...,x 2 g, r* [* e: l* }2 L5 ~$ @
    im- w* t  h3 c0 O8 t& Y9 n9 s
    ​          x. H& Y* }( d1 Q  @2 N
    ),i=1,2,...,n
    . r) J( ^! S  ~# Z& g" I9 P' n  g0 `* |1 C. D8 p0 U
    所构成的数据表可以写成一个n×m n \times mn×m维的矩阵。; h* L  v# c3 G4 J+ H) t
    . g" o/ P& U7 O9 ]
    1.1.2 对数据进行标准化处理/ D5 A& f" C! C( ^- R" R$ e! z/ g

    % B+ b" F* c& S" h" D' g9 e(1)数据的中心化处理
    $ _$ t5 A! a5 n7 o- t% f! K' V3 A实际上就是平移变化,即x∗ij=xij−xjˉˉˉ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m x_{ij}^* = x_{ij} - \overline{x_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...,mx $ W: @& t, B: _- O' F" K
    ij- i/ _( |' |* M8 c9 Y; ~
    # [: B4 r4 _- V% p7 M, G3 F
    ​       
    7 c5 z- A/ B7 _ =x
    , }5 K# R* w( p" v! Qij
    - i/ z/ l* C4 W; O3 q+ G​       
    8 z' `. T; A, C" A* ]1 I- s
    % x; Q, z+ ~5 C: U2 y4 px
    ; s8 u) V. I: c* T" H7 Yj
    8 l0 h- ?2 k) X3 U. Y​        " _- N" C( N7 ]; Y! y, S6 |) Y1 t
    ! H9 p/ q/ D  l1 c0 O/ P, K
    ​       
    ! ?7 p/ y. i" q6 G5 \( ^: @1 r2 E ,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m
    ; M5 [' ?7 ~# y" }) c, i
    % j( ~" Z9 S" U0 v% F这种处理,可以是样本的均值为0 00,同时它既不改变样本点的相互位置,也不改变变量间的相关性,但变换后,有许多技术上的便利。( D7 G3 K1 p9 Z0 M  G4 r
    (2)数据的无量纲化处理  t3 J. g) t. \' p& W# M. C! X0 {
    在实际问题中,不同变量的测量单位往往是不同的。
    - V0 e0 g- T) E% ?  m0 t7 O为了消除变量的量纲效应,使每个变量都具有同等的表现力,数据分析中常用的消量纲的方法,是对不同的变量进行所谓的压缩处理——使每个变量的方差为11 J5 W. B3 o; ?8 j" G4 O5 r# Y
    即,( U! E" b, K, J+ x9 o
    x∗ij=xij/sj,其中,sj=1n−1∑ni=1(xij−xjˉˉˉ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−√ x_{ij}^* = x_{ij} / s_j,其中,s_j = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{ij}-\overline{x_j})^2}
    . K" F1 {3 i  A- W- l1 M3 qx + }% A! {; Q& l
    ij+ Z5 i% V" O8 n$ l
      c  @  Z1 @- P0 o) e& r
    ​        1 c/ L2 G) {& @, s+ ^% d+ s
    =x * _9 }" U6 U0 M7 e7 Y& d
    ij" P% p  g3 }4 \$ Q
    ​        8 R: N% _/ y* k. }. `9 _4 h
    /s
    $ z7 j4 V; Q. b6 @; r2 Qj
    8 y( {9 S# o/ Q$ \' H, K​       
    * H! Q& ?3 A+ i' L1 }0 m ,其中,s 5 I  I" K5 X9 [
    j+ e: M) B- R1 ?4 Y8 q- g. z4 _
    ​        & H  b. s2 @; J  o  v" V, D& ]" K" \
    =
    " \' }: ^8 I2 hn−15 ?8 a5 L$ D6 {8 _, I
    1
    $ e6 K$ q- `' }( [/ f( i​        7 `- Y+ s( U5 a5 S

    1 C$ _5 v7 o* q: f& ~8 K- ]i=1
    6 E0 V) J! `; G" c
    5 K2 l! A+ K$ bn
    + [0 m. c8 p: |​       
    7 w! X8 Y/ n1 r6 c (x
    , b% q3 D' C! |# n: T" Gij% m( f9 |2 y% c6 |% x/ a
    ​       
    ; x, B* h9 d+ k& ^! y' n3 b! o8 a& r0 x
    x
    ' n6 D# X2 w+ f: Vj. H3 I" ^2 R  m9 I4 `% l& O+ f+ [
    ​        / l, _5 f- X/ K& V
    ) m* s. k) {( u! v) ?% D( j
    ​        * K4 e4 \5 E; ~8 w5 R
    )
    6 g  s* ]& e& {- n8 p2
    # D9 L$ j# E1 ?9 L) _$ j9 J& u$ _# y+ J% X4 }$ t! N; T; H* Q3 T
    ​       
    . {& }- |& b# l8 k7 N; |
      U. G+ a, S1 }4 [# P$ e" a) I$ |. L3 \: d
    当然,也有其他消量纲的方法,此处不一一列举。
    8 s& w/ M' D  R. x# X(3)数据的标准化处理——对数据同时进行“中心化-压缩”处理% `, u" z$ q2 l
    即,' X- [" S: e& s! H9 r9 l
    x∗ij−xij−xjˉˉˉsj,i=1,2,...,n,j=1,2,...m x_{ij}^* - \frac{x_{ij} - \overline{x_j}}{s_j}, i=1,2,...,n, j=1,2,...m; f1 d4 H+ s6 s! S! ^) e+ ^
    x
      |; a% Y8 z6 Zij4 `  g9 U' o/ }. y' F( V5 g, E

    6 K; s4 F; C# T& p, j0 Z9 V) L5 h' ?$ G​        0 g# B6 f3 u8 x3 M" W
    7 Z4 H2 t, ]" O. r; @" \; N
    s
    0 k! W, t0 T$ A% Zj
    " Q4 ~/ E  v  \8 X, F​       
    0 E9 Q, j1 j3 m7 F* D( x9 J0 h- g8 u: C0 B' c
    x
    ! N( }0 ]) Z1 A% v% P, x+ v; cij# Q+ L  o" h4 ]! E) y2 ?9 t
    ​       
    " K/ V# T" A- G1 ~
    ! o0 M$ W, v4 m% D% `4 c" ?/ ~, Jx ! }; F1 J0 V' Z
    j6 c; @0 z, a, P% e: [0 {
    ​        ! p& q8 U. W6 D! Y, j0 J' l' e) |

    ( }4 _1 ]: ^6 x. x. n​        # E7 d4 }! Z& u
    : {$ f2 H6 y4 D9 m/ V9 v" S" m
    ​        4 j( m% D) ]% X# A' m7 W
    ,i=1,2,...,n,j=1,2,...m
    & P; g  o7 R2 U0 P# ]( g! O- u/ o0 g( ~" m+ F; {! }
    1.1.3 变量筛选) Y$ ^6 M% q/ [8 j4 g( {6 t! X" g

    , v% o0 L+ T; o+ `# A0 }——选择哪些变量作为因变量的解释变量:
      W' ~6 V0 @, q8 b) q. b0 \3 H0 `% u2 W! k8 A7 h8 X( p
    一方面,希望尽可能不遗漏重要的解释变量4 T. [% X3 J/ r: x
    一方面,遵循参数节省原则(自变量数目过大时,模型计算复杂,且往往会扩大估计方差,降低模型精度),使自变量的个数尽可能少
    ( o2 a4 }7 e' C3 S9 F0 H(1)穷举法7 G3 n+ p: ]4 Y* T  q
    列举出所有可能的潜在变量,再根据自变量的不同组合,选取合适的模型。
    8 Q  J. j7 I6 g4 l/ {' w假设有m mm个潜在变量,则需要拟合与比较的方程个数为2m 2_m2
    - @- G( O1 l, h0 {2 o5 g' Nm
    0 Y( w. o& X4 T$ y6 }​        " n2 g3 \' k# u) Z& n1 k
    ——当m mm较大时不现实! G( j1 Y' E, Q% D0 c+ G; [

    0 W! l; U9 M. G  p(2)向前选择变量法
    2 D3 G5 F* ]3 x* T8 z$ U1 }9 C. R
    / W/ W8 h; Y) A: p初始:模型中没有任何解释变量
    3 p8 A3 K  z# ?0 K" b% ^" v分别考虑y与每一个自变量的一元线性回归模型
    ' I: a4 O! O3 k# K; Y$ l: n2 ~对所有的这m个模型进行F检验,选择F值最高者作为第一个进入模型的自变量
    ( o( v+ I0 o# h; v, A8 f* Z) w9 ^) {对剩下的变量分别进行偏F检验3 K, C2 \0 ]* u! H" N
    至少有一个xi通过了偏F检验?
    5 _0 i  i2 d2 m" ?# H在所有通过偏F检验的自变量中,选择Fj值最大者作为下一个被选入模型的自变量
    1 O6 }0 u. _8 J# v结束
    % j7 q; |" `. ]yes! O+ h2 V( |1 `1 _; _2 N
    no; q3 s6 G4 O% j" d8 g; M
    缺点:1 @* N$ F! e! C6 N' W9 i# P2 Y  k
    一旦某个自变量被选入模型,它就永远留在模型中。然鹅,随着其他变量的引入,由于变量之间相互传递的相关关系,一些先进入模型的变量的解释作用可能会变得不再显著。5 m0 r5 T. ~6 i" H
    " j5 O1 T2 b/ ~" S5 b# O% U$ Q
    (3)向后删除变量法8 W0 |, S& B- B

    / e0 o1 K) S' ^1 M6 X0 {# T6 @初始:所有自变量都在模型中(起始的全模型)
    3 O2 C! ^' g& f: s- k6 M+ _分别对模型中剩余的每一个自变量做偏F检验(以去掉xj的模型为减模型)
    & H% X$ H* k: C6 d9 Q7 u所有的变量都通过了偏F检验?4 B, z( m9 H( U* ]" `
    选择Fj值最小的自变量,将它从模型中删除* T3 h7 r7 u; v* O
    结束
    3 a8 U- t. L3 s5 k' _' D8 {yes
    + v3 B1 l+ y1 {) dno& r! ^4 W+ F2 _% o4 ^9 }+ E
    缺点:! Z- x! w' h& r# L8 w- n: I$ D
    一旦某个自变量被删除后,它就永远被排斥在模型之外。但是,随着其它变量的被删除,它对 y 的解释作用也可能会显著起来。
    + D6 S3 g, P$ ?; {' I6 \0 X$ r
    & B) Z/ q3 k+ Y  e1 D(4)逐步回归法——最常用
    4 z& m/ s, y; b4 y3 W9 B6 m2 O$ U; p  d. j0 ^% X0 j  e  Y! m
    综合向前选择和向后删除,采取边进边退的方法:" c# K" t1 s/ o$ e0 q" z# X( Q* Z

    & `" v4 D# r* J' ^. w5 D- U对于模型外部的变量,只要它还可以提供显著的解释信息,就可以再次进入模型
    7 C% U" L- N, ^7 W- u! ?" ]对于已在内部的变量,只要它的偏F检验不能通过,则还可能从模型中删除
    + q' e3 s8 g8 D% E, u/ o具体流程见书,此处不再赘述。5 k; s, I- J. o( D
    2 ]0 N/ x# v# i5 P) o) L5 W
    另外,为了避免变量的进出循环,一般取偏F检验拒绝域的临界值为:F进>F出 F_进 > F_出F
    ! M6 X2 o5 Z6 w  N/ z! \; b& T3 p
    ​        - ^  |% `0 o8 G$ i% m
    >F
    ) r; _, m3 x; T
    6 b" r. |) a$ G0 x" d! d" G​       
    ' V& g/ X* K# r( n ,式中,F进 F_进F
      x: u0 [6 p9 o5 G8 h5 J8 @4 j6 g
    ​       
    $ B0 q/ q* j/ Z6 A! g 为选入变量时的临界值,F出 F_出F
    ' X- |  x. T) r) R# g7 g) L3 C: [' Y4 I3 h! M$ k
    ​       
    % L# ^6 A: B) g: h9 t 未删除变量时的临界值。
    . G6 |0 n3 {& \( c. q# ^1 X
    " u' i1 K* F0 Q在所有标准的统计软件中都有逐步回归的程序。F进 F_进F 6 t& M: }0 C' D* q% T

    / L; B' F! [) K/ [​        1 W$ p$ ]; v6 X% q% `" F( U/ t5 O
    和F出 F_出F * @: d, I0 W' Z9 z& V. D. A4 j
    ) i: E9 N6 B( Y# v) M
    ​        0 O* f$ ~  V4 X% H; }) C
    的检验水平值也可以自定,也可以是备择的。常见的检验水平值为α进=0.05 \alpha_进 = 0.05α
    ) `6 q5 s2 V: J& s+ L7 {
    ; k/ {: m  W9 h% n/ M7 z6 V% q​        3 x! _. @( R& W3 T6 O
    =0.05,α出=0.1 \alpha_出 = 0.1α - Q2 G* y; A; m3 s( V$ d& U# E$ i- e

    - y3 E' E  c2 B6 n! B4 R' P/ z​       
    " Y* g& U: Z0 e4 O+ M" A% i =0.1
    & z3 B2 B7 r. K, T
    1 a# `$ t6 W# B7 b1 d: i9 O1 {3 |1.1.4 调整复判定系数+ f7 D2 a1 S" a* e  z' e

    & V, S: c4 a" M; S  m9 D! z/ l+ a- [——一般的统计软件常在输出中同时给出R2 R^2R 1 c' o/ X+ |$ }2 `( [
    2* h) Q% D/ B: q) q( {
    和Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 " b( h+ g* g+ q$ c8 A
    R
    ( q3 p* J1 \& X7 B5 f. ~5 N5 d
    + p% [8 C" j# N! }: l. h4 R$ o  h0 R2
      g! p, n8 H& w! D7 A% t ,如果两者相差过大,则应考虑减少或调整变量【个人认为,可用于检验逐步回归的结果】
    7 [3 I4 U: P0 c) e9 _# C+ F8 b3 S4 T( X4 L( t
    统计学家主张在回归建模时,采用尽可能少的自变量,不要盲目地追求复判定系数R2 R^2R $ M2 _2 ~# f% f) b0 T5 X
    2
    ! K9 F* S5 p/ x2 W' j' o 的提高。( g+ T$ Z/ C: q9 [) r1 ^
    当变量增加时,残差项的自由度就会减少dfE=n−m−1 df_E = n-m-1df
    2 w  B; r4 o/ z" g) K0 UE2 l7 K. P  Q- _$ H$ X" d" j4 R
    ​        + U, {' x9 W# n
    =n−m−1,自由度越小,数据的统计趋势就越不容易显现,故而定义了一个调整复判定系数:! l' m" v( \& I8 ^0 P
    ; ~! P) x6 j( z8 W% f7 i9 p0 ?
    Rˉˉˉ2=1−Q/(n−m−1)SST/(n−1) \overline{R}^2 = 1 - \frac{Q/(n-m-1)}{SST/(n-1)}
    2 ~) Z9 I) \) Y, w0 w8 z* [4 G5 E; gR& u( a+ v3 m: }! z& Y1 `, j3 z! J$ M' j

    . J* [  H  m: e! b% a6 J2 m2$ S& X& q9 {5 b+ Q
    =1−
    , e& d3 r/ m9 y3 ]( v, v, TSST/(n−1)6 C3 U) r! Y. m$ g
    Q/(n−m−1)7 F; I: e! e0 B- i9 z
    ​        - c' r, l  x9 N
    . A* v7 B/ I7 T- M3 M$ l

      }" U: w& g. L此外,Rˉˉˉ2 \overline{R}^2 6 O0 B  v6 l1 h# v, _; P
    R& R- L, ^! {8 Z4 F9 Z! ]
    / P- c7 D  A4 v5 ]
    2
    - W/ n# v) J' y: C, x  ]4 X. ~ 还可以用于判断是否可以再增加新的变量:0 N& M7 P- {/ H( d/ H" p' r7 t# p& [
    若增加一个变量,2 G- F# ^* |* F

    ) q# P4 y9 B8 {- `# ?Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    # r. q/ [. @7 @3 U; zR
    - q2 i/ ^& U; c6 U6 K
    - R1 `7 ^' L( N. `! P2
    6 h* R6 j$ p1 @4 y/ E2 @* d% {" I; @% G 明显增加,,可考虑增加此变量
    4 T2 `  K& ~9 y/ v, k3 i3 ^$ \5 ?Rˉˉˉ2 \overline{R}^2
    ! Q5 w; @1 U4 n+ g1 sR
    4 c' S# C! s9 X0 ^" D9 ~. T& S% x" w$ Z4 d. G0 f/ `
    21 A  }/ i% V- s
    无明显变化,不必增加此变量4 k4 J# S! e- d* R
    1.2 最小二乘估计3 k: L& |: }% p/ ^( R2 N  b0 U* @) p

    " D# D  T; F: i3 |* |一元线性回归、多元线性回归——略。
    , q% B6 c' k3 v4 ?# d0 _. x+ S
    ; e: y" H$ Y( y7 T2. 回归模型假设检验
    $ z4 t5 x7 {) B$ H
    ) z: ?% {* _! U! d, i——检查自变量与因变量之间能否用一个线性关系模型表示(F FF检验)
    6 p. C8 f& r1 ?' {$ b4 z2 b0 e+ }! c  y: n! u
    具体检验方法见书,此处不再赘述。
    0 g/ n6 G5 \! T
    1 r% w( X1 A) O" K; g. D+ R3. 回归参数假设检验和区间估计% ~& i- [! `3 @6 L
      d* z1 R; M' {' Y2 r1 _
    ——检查每一个自变量对因变量的影响是否显著(t tt 检验)6 }4 L" A9 \3 t; ^" I
    6 K0 {5 O" V& U/ w% o0 Z' w# G
    具体检验方法见书,此处不再赘述。
    1 U  m& w% p4 T. M4 S; V- U
    5 F: q: R& E. {8 V# [) S4. 拟合效果分析( r' P$ N+ L1 z" o0 ?. _( D3 R

    / T% G; D3 Q. z8 N  t5 \: x# a4.1 残差的样本方差(MSE)
    # Z* [' T; I' S8 J' n! e' u5 F- d( b5 |% t" f
    MSE=1n−2∑ni=1(ei−eˉ)2 MSE = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n}(e_i - \overline{e})^2- t1 M- B6 W" F! I5 L
    MSE= % ?. X: ^( b  r0 C
    n−27 S; ^) M( h" `
    1
    . S+ F, A$ ^+ _8 b, C​       
    8 q0 M  B  A7 w  Y+ C" R% t  _; x- O2 A; x: q) r; o
    i=1% ]' E+ y6 ^7 V5 G

    * I+ T! j( R) l- wn
    4 H* K# R* u8 q& Y! H. D​       
    6 X2 r9 R  K! m (e % V. A; v8 P. L3 V; }4 j
    i
    1 A2 ~0 P# S- P* A​       
    * [% |+ B" x' k1 k- a6 c* z) H3 G% O, L6 ~+ i) q9 \# L
    e
    ! i, ?; P% F. Y5 j ) % O, }7 R' V0 J4 H
    2
    * j" Y/ v" L8 w
    " g4 B6 I, p& y' l, j
    5 z, O& Y4 @( m7 [可以计算残差的样本均值 eˉ=0 \overline{e} = 0 ; H$ R2 J, J( h; F2 P
    e
    . a  j7 r) d, b3 @7 {' ~ =00 W) Z4 O7 J! o# C! b* `
    记,
    4 E- J9 R  h8 W1 ESe=MSE−−−−−√=1n−2∑i=1nei2−−−−−−−−−−−√ S_e = \sqrt{MSE} = \sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}{n} {e_i}^2}
    7 D3 n$ C9 @% p' O0 |7 {4 u+ ~' _S " ?; p4 Z( I  b, `
    e
    4 L2 x5 S) b/ X6 t: c9 K4 S2 K​       
    & o1 h8 F$ m/ F- @9 J = 0 {: E2 k+ R! k5 E- ~" c% g6 A
    MSE
    8 d  Z9 P6 a  G7 w: N/ T; r/ e​       
    8 S* }" [8 A/ m  a9 e' F; ~& Z = # a7 I4 v* ~7 p4 f  _7 ^4 [7 l6 g
    n−2! z3 q0 W8 `# O* k) B9 g7 h/ \! P
    1
    + P3 ?* G' c+ N$ K/ \2 q8 f7 `​        ( w% g0 n0 j: t
    * d+ T5 D/ N: y9 N  P
    i=1: F* n' g7 N! e9 X
    9 R# ^, I3 P8 v  Y9 i4 C2 b
    ​       
    6 X+ @  v- h5 ~! G  h ne / U; c6 ^& x, e
    i
      w  |# J- z0 _% T. O​        & R$ U, T* k* d9 U, f/ c: D2 |
    * R9 \$ r% e8 }5 e) \8 L
    2
    . W2 P7 Z. ~% M1 y2 K, C" U. X7 A+ [3 ]
    ​       
    + ~5 ^  l- J+ F. A6 Z5 b* h, g& s0 G7 V  w3 l; ?
    " `( t3 Y* U  ]3 _
    Se S_eS % L3 y6 d$ Q8 X$ A6 R* m- W
    e
    & z* }# a$ Y" o% ]​       
    & F# i1 D# t  s4 P. q7 p" Z 越小,拟合效果越好& V! Q$ M& ?. Z4 S. l
    4 P" D+ H! d7 V; |& H: N
    4.2 判定系数(拟合优度)
    & e' u. c2 f- n) k0 w
    + e/ [- O9 f& P8 q——指可解释的变异占总变异的百分比,用R2 R^2R " k0 W* }( o1 t% M6 O
    22 X4 T$ e: G# `$ v# ?# x
    表示8 @8 w8 c7 s& S& \, `; ~  L. u
    R2=SSRSST=1−SSESST R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}
    + S4 _1 Y0 f+ V; L- {R
    ' X, H1 I1 [1 ~" s2
    + R: A% ?' C1 y2 i5 E0 U7 k; [ = ) L! p: a# |9 |9 ]
    SST: O% q9 ?" P0 ?& E& e) |2 m, h) @
    SSR6 E4 b3 Q; ~' Q2 T) @7 N( o$ s
    ​        3 a3 N' b+ ~2 N' c0 h
    =1−
      ?$ [# c3 o% H/ y+ v8 p2 VSST2 _; |5 T( l! D/ T
    SSE6 ~( H6 `9 y1 M/ I+ V
    ​        * d# o6 X1 ?3 v. n1 \4 I

    & A! V/ E3 g* m, P. l8 `+ s) F5 ~4 T% W) y
    其中,
    ) s4 i2 e: t3 f% d* sSST=∑ni=1(yi−yˉ)2,原始数据yi的总变异平方和,dfT=n−1 SST = \sum_{i=1}^n(y_i - \overline{y})^2,原始数据y_i的总变异平方和,df_T = n-1
    7 k. u( G" @8 hSST= 7 ~$ [2 P. }+ `/ x) I8 }8 k- z. n$ I
    i=11 U3 \  l& |* i1 ]

    7 ]6 Q$ d/ d. F! M# n! r# xn! U" C. u$ Q+ H6 F* D" E
    ​       
    # Q/ J3 K' _' h! [2 z (y & k: E' Z9 K6 ^
    i6 T. s" T9 M+ V( c
    ​        ( a( a0 |7 Y* S+ {3 U
    ( z) v4 X( P' x7 w- ~
    y& A0 n% K" ?1 Z; m- ?' M- j) _. ^
    ​        * f% ]8 }1 p/ I5 F
    ) : [$ \3 O2 F* a
    2
    8 N! O: A! R0 O2 _4 x ,原始数据y - w4 y9 K7 R5 W
    i
    $ `& X9 _2 ]! {​        , Z% D! a3 A) G- _; {
    的总变异平方和,df
    - r! {, C9 F! b0 I2 RT" a  \- L+ N" ~  |( v8 h$ |* a8 `
    ​        9 Z4 O/ @9 g# J+ f- v
    =n−1, m! s; z. Q& u
    $ q0 A  P- P1 i  F
    SSR=∑ni=1(yiˆ−yˉ)2,用拟合直线可解释的变异平方和,dfR=1 SSR = \sum_{i=1}^n(\hat{y_i}-\overline{y})^2,用拟合直线可解释的变异平方和,df_R = 18 `9 G+ r( C9 d4 \3 C8 S3 l
    SSR= 2 c5 N& v+ g1 s$ M6 C1 [
    i=1
    ' T+ V( b3 L2 b. o3 a6 j! Y( \4 S: i5 i9 o6 L' W! o
    n4 Q7 Y; H+ g' ^. A
    ​        & s% Z* e, g& d2 \: K2 F6 K$ g: U* B
    (
    , w4 A( U; u2 H8 H; w. _y 8 Q+ A3 J! X# N$ k
    i. d4 }0 w9 _% c# |* D; I/ ?
    ​        ( T& k1 L+ E& t$ y/ l
    2 [) X8 W& u! l7 C& {% t* ^
    ^
    " Z7 q7 [+ H) q. o​       
    " F" u2 R4 Y1 b6 I3 l8 `) }
    ' @2 r; {7 i! D2 V0 Sy
    & M$ p( O, j: B' T( J​        % t+ G: j6 i9 D
    ) ' I) C) s% X  f: m. Z5 t
    2
    . T3 w) i* [8 L, g$ q5 h( B+ H( H) o ,用拟合直线可解释的变异平方和,df $ \! w) N- \# \' x
    R, y0 I/ L; t/ L9 C& s, u3 |" G9 _7 {
    ​        5 Y) e* ]0 X1 }
    =1
    2 G9 o6 A3 t7 |% x4 q4 ?6 s2 S; _
    3 b; Y( H, e1 P: `  f, G  |0 }SSE=∑ni=1(yi−yiˆ)2,残差平方和,dfE=n−2 SSE = \sum_{i=1}^n(y_i - \hat{y_i})^2,残差平方和,df_E = n-2" M! G2 S& \2 }% _" Z
    SSE= 2 x* y/ G6 ?% S' M" o' f: [& a9 C
    i=1/ X8 w5 M& y+ Q9 W5 r3 N- x3 V
    / m! C# W( O/ F! K, l
    n
    : b) g  _! f: N) [& D​       
    # G5 ^0 _0 h  S( H5 u$ C (y 0 |5 B# O8 j, h1 O& w
    i! K9 K0 T4 V( [8 f: m- R
    ​       
    6 I& [3 z9 {2 X
    6 W, c' y. y- N, jy , Y6 ?7 P/ ?/ A  _- p6 a7 X
    i5 [0 R$ t. V  c
    ​        ! C# @- B; V2 c8 G1 @
    - N/ q" c5 ^( c% w6 Y" f) m
    ^& A) o: t- B& k( Z. z, @0 G
    ​        ( l' r% F. }! I' n3 P
    ) # F  m+ ]- o. x5 n. w5 g
    2( P6 \0 p! f, Y- d  X& i1 p1 P- X; M
    ,残差平方和,df * X) f& P9 x; I* v! j! C& f
    E& ?, C! [# R/ k- \# {
    ​       
    . z7 f: R* |6 \/ S. I4 B =n−2; ~+ c. U9 ]  b" U" X# q
    ( v* \6 q$ y; U7 C+ {. N
    SST=SSR+SSE SST = SSR + SSE
    - k6 ~& u+ H2 K! C( NSST=SSR+SSE6 V* O  t+ A/ i8 K" U% U
    , y' C/ d: G& L$ H9 K9 ]
    R2 R^2R
    7 f3 P1 G; e; o: p2+ l9 S1 e- x0 I; M, m. D* s: _3 m
    越接近1,拟合点与原数据越吻合! @7 j0 B2 l1 A: p' A5 U

    / R  R  g( J' O/ U& a. e另外,还可证明,R2−−−√ \sqrt{R^2}
    ' s) t, G8 R( u9 jR
    , x7 f, M  h+ O- T: g/ y2. f2 }3 s7 A9 b$ Z+ V1 h0 u7 `
    1 F; F3 n! I" ~' v7 N2 t
    ​       
    % F) U. F; ^( C- ~) g6 l/ k7 x 等于y yy与自变量x xx的相关系数,而相关系数的正负号与回归系数β1ˆ \hat{\beta_1}
    ' [$ x" X% c8 b- r0 Vβ $ y+ n9 \8 ]8 s! ]' g1 v
    1
      H+ D6 ~+ |6 [& t* B( g​       
    ! s: e6 S! G+ q+ f
    " N: W! i9 j5 l; q^
    4 [, I+ _' t. j" i7 a. A) N, f​       
    0 b; D# o1 I# t6 H8 z 的符号相同* Z' h5 {2 i! s& {; k: k/ O% J
    , q' l: G" M* Z, d
    5. 利用回归模型进行预测
    . Z- Q+ V* |- b; R0 H+ E+ d# T4 y
    9 h9 r- T+ g; Z7 X; p
    4 h, A- N, P) {, o% S* M- p& k8 |; {6 E& c" k& _* a2 g
    其他
    1 h3 W! r6 d( S+ e# s* g7 s3 q. {6 q$ N* m1 J0 F
    偏相关系数(净相关系数)
    . {* u- p+ c! x& Y  M4 P9 A, l. `( x; |, r/ f+ f& }4 y/ @6 t
    在研究两个变量之间的线性相关程度时,可考察这两个变量的简单相关系数。但在研究多个变量之间的线性相关程度时,单纯使用两两变量的简单相关系数往往具有虚假性。因为它只考虑了两个变量之间的相互作用,忽略了其他变量对这两个变量的影响。
    3 H3 d) L: w# j  a( k7 e$ @& ^2 [. u2 S2 L" l# _- M6 R
    复共线性和有偏估计方法/ w) Y& N6 ^( R) Q! O1 ~" J6 r
    + K* N" o) r; O2 G6 g
    在一些大型线性回归问题中,最小二乘估计不总令人满意,比如系数正负号与实际意义不符,这可能是因为回归自变量之间存在着近似线性关系——复共线性(Multicollinearity)2 f2 I; i9 O& p8 V4 r0 o
    ) S/ G* w, H' @" g" ?
    解决方法——牺牲无偏性,改用合适的有偏估计方法,以改善估计的稳定性
    $ G, e& _# Y; Z0 _例如,岭估计——可以显著改善矩阵列复共线性时最小二乘估计量的均方误差,增强估计的稳定性。' |+ q+ s) [4 n7 E
    (P.S. 均方误差Mean Squared Errors:一个好的估计应该具有较小的均方误差)
    ) g6 {, H% }! a" V
    : ]! Y* F: K1 b9 q( g) U6 ]% x5 V再如,主成分估计——可以去掉一些复共线性
    ( u3 k; D/ d- R6 O# Q( k, m) d. r1 m) P; |
    小结5 X) t9 B) }* ]" B. {  b( [
    + E# g' L2 M$ v0 r
    采用回归模型进行建模的可取步骤如下:  U: O. `( K. {6 [" n

    5 p( w& A, Q1 O4 q, w建立回归模型: d9 X+ C. y  `& r
    确立样本空间,对数据进行标准化处理,采用逐步回归法筛选自变量
    ! ]8 c! v  g5 K————————————————
    4 `# H5 l+ q5 j; d% [版权声明:本文为CSDN博主「鱼板: RE」的原创文章。
    + g3 m. b5 I7 l7 p原文链接:https://blog.csdn.net/xxiangyusb/article/details/99762451
    . Q( Y3 R* u+ R3 d: c$ X& l: T% [/ q4 u% H- y8 B& q# P$ |
    3 I* H# \/ z$ M- a
    zan
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