数学建模集训知识大纲

杨利霞

数学建模集训知识大纲
数学建模集训知识大纲
; k6 e! r9 Q( ^: I) n$ y) q
8 ^8 F. X" V4 @) T' X& N& I文章目录
  `6 A; ]) h3 e8 J% z8 R
数学建模集训知识大纲
评价算法
- q/ I5 H0 }/ |, {8 B; Z3 \! h简单加权法
# a4 P! ~, e& W/ q  @3 q逼近于理想解的排序法(TOPSIS算法)
9 ]4 _$ o) ?- p0 C4 h6 `  T层次分析法
主成分分析法
3 f) w: A( W% Y$ w0 R) E模糊综合评价法
聚类分析法
! x3 m% ^5 F" t9 P1 g秩和比法
人工神经网络
/ O; V1 b, c/ F熵权法
) t; d. b5 b! ]( x灰色关联度分析
预测算法
插值拟合
回归模型预测
$ ^& Y  N5 o4 M: C灰色预测GM
+ A( R8 r8 O2 D! k7 a" z时间序列
" U7 X: q) C7 U神经网络
" y% A! }7 f2 U, ~5 X& c* y  O2 g统计分析
5 z+ Q, |) t' Q$ t2 o方差分析
2 G. H1 S) m9 \& C- l; f) T回归分析
多元统计分析
分类问题
假设检验（非参数）
聚类
最优化方法
常用算法
9 {* F7 O5 {  t6 ^6 v无约束优化
; k6 R" n' _3 k9 N' V有约束优化
二次规划
5 I' J8 s- l8 H一般有约束非线性规划
计算机算法
& e+ o* g( U5 S7 L# P, j动态规划
回溯搜索
4 d7 d' Z, z: z; |分治
贪心
分枝定界
  l+ k9 a1 X- ?7 i2 P' d& F图论与网络
欧拉图
二分图
  J' e5 a" C9 j/ n1 H4 W网络流
最短路径
TSP问题
P和NP问题
1 y4 l( X+ ]* k1 q# n背包问题
最小生成树
图的基本概念及其矩阵表示
常见的网络优化问题
图像处理
基本概念
数据类
5 I# q. Y9 P! d图像类型
数据类之间转换
( y; m: J4 `! l3 Q, x图像类型之间转换
空间滤波器
频域变换
3 G! b7 z) U$ t  m数字图像的水印防伪
规划问题
$ v% P+ x0 o& g* |* u连续优化
离散优化
  s6 m$ i: |$ z5 Z' |3 r' u  s模拟和仿真
) [+ I& c$ y* {) c模拟
仿真
数值计算
# F# K7 G, x2 y5 l5 Z6 `' |. B常微分方程数值解
工具箱的使用
统计工具箱
拟合工具箱
神经网络工具箱
小波工具箱
并行计算工具箱
/ |/ I- X/ D1 D2 W4 E, W; p优化工具箱
全局优化工具箱
7 j9 M' f' b6 H/ [* h评价算法
- M7 z& b5 b1 ~$ a; X. C& X, M6 b
3 M+ @. Y4 n" F4 j6 D简单加权法

5 w, L( E. f9 j+ _2 }线性加权
: }4 M  s1 P* T8 j非线性加权
. e: Y7 G' j5 j+ d6 k/ X9 i逼近于理想解的排序法(TOPSIS算法)

! d/ S+ Y% ^& j+ a# R层次分析法

主成分分析法

& g/ T+ p: l( k9 k7 O" d* `模糊综合评价法
: M2 }. V* s; g* `
聚类分析法
4 P8 Y+ m' Z; G$ g
秩和比法
: F5 J! U) Z' ^+ t
& g4 i4 _: o4 }8 \5 i4 U人工神经网络

熵权法

2 O5 h+ l$ @: ~- T灰色关联度分析
5 p$ X, p# P* G( o3 X' i
# P6 ], t( d. m9 @' U/ f7 r预测算法

+ I9 U' J8 O# Y; Q插值拟合
$ ^3 k5 A8 f0 T) }
小样本内部预测
回归模型预测

$ T8 q5 O$ F$ U大样本内部预测
* S+ H7 _7 u7 I, I7 B3 n  P, D1 l# X灰色预测GM
, t8 `5 V3 p5 V: x
小样本未来预测
) k' J8 v& B# Q$ u) m  C" g3 M时间序列

+ K. h4 h" \2 S. G大样本的随机因素或周期特征的未来预测
神经网络
3 ?' g  a. J9 u4 j( s8 f
针对大样本的内部机理复杂的数据的未来预测
& h$ C8 P1 g' X3 A$ D: D统计分析
" k0 {- c  M8 w9 u
方差分析
, d% H7 U/ J) b3 X
分析因变量的总误差中，除开随机误差以外，是否有类别变量（自变量）造成的处理误差，有多少误差是自变量造成的
分类
# o% ~9 C2 q7 ?6 A8 _单自变量
单因素方差分析
1 d% p4 E3 ~% D9 U. X两个自变量
无重复双因素分析：只考虑主效应，不考虑交互效应
7 t3 q( S- i# N& j$ z  w可重复双因素分析：考虑主效应，也考虑交互效应
! Q  Q( b4 Z9 W0 [" @" }- p回归分析
8 E3 N9 x: I( @% u- z
多元统计分析

0 v3 P& ?+ i8 H分类
聚类分析
判别分析
综合评价
0 L+ e' u8 E9 X- Y% X% r) F# i$ j主成分分析
从原来的坐标系转换到新的坐标系，第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方向，第二个坐标轴选择的是和第一个新坐标轴正交且具有最大方差的方向。该过程一直重复，重复次数为原始数据中特征的数目。
! A7 \: g5 g4 X3 V5 k. i因子分析
5 _# Z( [* e8 Q8 L# Z隐变量和某些噪声的组合
典型相关分析
- {$ U' M* n8 W* o; b9 w- f偏最小二乘回归
! v* w; x3 `  u* o. N4 @" N7 C分类问题
& n  k5 d1 q* J
神经网络
) _8 z9 @+ @* g7 G" \逻辑回归
判别分析
; l5 _" @% H* r. g最邻近方法
朴素贝叶斯
/ V# B" x. O: J3 A! E支持向量机
决策树
集成学习
ROC曲线
假设检验（非参数）
4 b4 `+ Z' C! e* r; C# }
分布拟合检验
5 a& V3 d1 G( E+ y; Q1 y秩和检验
& f* K* l/ M, q' a$ G7 C# N* ?如果两个样本来自两个独立的但非正态或形态不清的两总体，要检验两样本之间的差异是否显著，不应运用参数检验中的t检验，而需要采用之和检验
配对检验
% [7 T7 x/ @3 x5 eK-S 检验
K-S检验不仅能够检验单个总体是否服从某一理论分布，还能够检验两总体分布是否存在显著差异。其原假设是：两组独立样本来自的两总体的分布无显著差异。
Q-Q图
* m; y* b$ g6 j: M: I用变量数据分布的分位数与所指定分布的分位数之间的关系曲线来进行检验的
" Y) k% s: ~* Y$ N) M  L6 C# g" zP-P图
* H" [& @# ^  }. s# p根据变量的累积比例与指定分布的累积比例之间的关系所绘制的图形。通过P-P图可以检验数据是否符合指定的分布。当数据符合指定分布时，P-P图中各点近似呈一条直线。
+ [" C- k  M4 X聚类
0 X/ i" Q# a) K; E8 `0 o
层次聚类
划分聚类
/ c! a0 j9 {  @K-means
' h; C: f- H! g/ E& u0 p: M* \网络聚类
聚类评价
7 I' ~; }! a# ?8 u* T共表型相关系数
# _. j, Q4 U7 P# ^& l相似性矩阵
共表矩阵
+ `2 i: y. p# t! {" s- i外部指标
相仪表
调整兰德系数ARI
互信息MI
6 I, h% g; v: t9 L7 |5 ?自助
2 U; w$ W4 z* [+ I+ j+ S最优化方法
# W! O1 u  x$ ?4 `# F6 q6 o
常用算法
* V  N1 j0 D6 \* ~5 \- W$ w9 F# e
* m. f' N' O  m) G, _+ d模拟退火
) m; _- S3 T% c; i* \$ ^! o神经网络
遗传算法
无约束优化
2 Y3 @% r# ?2 @0 O# M
基本算法
共轭梯度法
9 }1 S! t7 i9 P7 R2 S3 d! G在最优化方法中占有重要地位，最速下降法的优点是工作量小，缺点是收敛慢，适用于寻优过程中前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法
牛顿法
如果f是对称正定矩阵A的二次函数，用牛顿法经过一次迭代就可到达最优点，如不是二次函数，则牛顿法不能一部达到极值点
) G2 Z6 f* f/ w7 K, A4 j  m% Q牛顿法收敛速度虽然快，但要求Hessian矩阵可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量。
拟牛顿法
修改了牛顿方向
两种算法
" Q/ ?0 K$ H5 e! vDFP
BFGS
有约束优化
6 @* _' ?" e) a& ]/ Y" k2 }% Y" b
罚函数法
3 [% |4 z1 Q4 x5 @% e6 [0 P通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法求解，这类方法称为序列无约束最小化方法，简称SUMT法（分为SUMT外点法 其二为SUMT内点法）
近似规划法
! M. ~. |1 Z+ V% l. E- O二次规划
! B: B& {  V0 u+ m" p5 S- D
quadprog
一般有约束非线性规划

, p: w6 D$ q, m, nfmincon
: Z1 M. }* X- c9 G! d* x7 F4 `计算机算法

' u. ?9 p5 ]+ ~! `  U* _; k动态规划

回溯搜索

分治

# ]$ ]" S* B6 R% a贪心

分枝定界

图论与网络

! @- {' P, l8 L1 E- H& B& _欧拉图

二分图
# \, y% ]- v. c* i( |/ J
匈牙利算法
网络流
. ^- H% D3 B4 }
$ }, P( ~/ v/ W/ ^4 {最小费用最大流
最短路径

TSP问题
& X& d" p% \1 o8 P5 w* @
# `! [( o5 t2 O+ ~0 O4 F$ R8 ]! L  ?近似算法和启发式算法
3 p0 t: R' }/ a3 x2 t( n# u+ W二边逐次修正法
- F* T, D) J$ F* X& dP和NP问题

. y7 Z( H8 n# F背包问题
) L' e! M3 Y9 Y6 P3 [
3 d) f9 P& o" A4 l7 ^: j8 @最小生成树
, K6 E) X3 C2 F7 K( t
; R  |. u; v, s4 hPrime算法
Kruskal算法
图的基本概念及其矩阵表示
5 R2 }# M/ F& e$ n
无向图
( |( B& j* Q3 g8 |有向图
8 o9 L9 w8 l, a. b" c& B完全图
( [, S  s1 k' B% H4 ]二分图
! ~: E% @$ C7 H' m$ D$ ^图与网络的数据结构表示方法
邻接矩阵表示法
关联矩阵表示法
弧表表示法
! l& J3 N4 y( e$ t邻接表表示法
# F/ t# X: e# k: K  l- K3 V星形表示法
常见的网络优化问题

, L  g$ u. l" ~1 {  r最短路问题
公路连接问题
; v! r, Y6 ]$ U9 T( `& Z中国邮递员问题（欧拉图）
旅行商问题TSP（哈密顿图）
2 H9 f" ^' y, O5 B5 ^运输问题
- b& h7 D, {! I2 P6 C( @, k: O图像处理

基本概念

图像分类
离散图像
用一个数字序列表示的图像，0和1
. D$ a' v! v3 J连续图像
$ b% K* X9 d: o  ]7 B$ T6 x/ h二维坐标系中具有连续变化的图像
/ l; U6 x7 P2 S% a2 ?( w1 J' F矩阵中的元素称为像素，以256灰色等级的数字图像为例，一般由8位，即一个字节表示灰度值
$ P' p0 x2 e; N5 w' |/ ~灰度值量化为对应灰度等级
* [6 j4 |) ]9 [$ Z等间隔量化（一般采用这个）
! j0 `1 L8 V' [5 l. H- h' P. e. g! _非等间隔量化
( v. q2 B0 F/ H7 E  |/ C数据类
6 O" A" m4 x, M: y
. v7 x/ u5 U1 y8 H数值数据类
double
" v; R4 P2 \- t* m! t0 V. Ouint8
# P  w6 D6 S- A- wuint16
uint32
5 c. L" s3 S! P& `0 }2 s5 w1 ~int8
, V( z: A  x! P1 @% ?/ N1 xint16
; K5 q" [. A! k+ iint32
single
char
1 Y, h& m% F- `. N字符类（逻辑数据类）
logical
* U5 q/ J* N+ I+ j5 c& k/ M8 t图像类型

, N- o( u7 {) P* `, u二值图像
, Y, v$ I9 I5 _, u4 B二维矩阵由０、１构成，０为黑色，１为白色
通常用于OCR
一般二值图像是逻辑数组，只有０和１的uint8类数组，并不会认为是二值图像，需要使用logical函数 B= logical(A);
灰度图像
即人们常说的256灰度图像，0表示纯黑色，255表示纯白色
8 `4 W. D5 G- u/ P! t5 v二值图像可以看成是灰度图像的一个特例
索引图像
有两个分量。即数据矩阵X和彩色映射矩阵map，矩阵map是一个大小为m*3且由范围在[0,1]之间的浮点值构成的double数组，map数组的长度同它所定义的颜色数目相等，map数组的每一行都定义单色的红绿蓝三个分量，X则是索引矩阵
真彩色RGB图像
是彩色像素的一个mn3数组，其中每一个彩色像素点，都是在特定空间位置的彩色图像相对应的红、绿、蓝三个分量
( m" [5 @6 t. D7 G# h; a数据类之间转换
' @/ I% j; Z3 f& b* e% s  I" c
& v" {% y) I# v: p% T3 w3 Lim2uint8
4 @( s5 T8 Y/ }6 A0 T  sim2uint16
mat2gray：将输入转换为double，范围为[0,1]
im2double
4 L. n: t% [8 n# Y: s+ pim2bw
图像类型之间转换
7 Z+ \7 O- d2 P5 P' ^2 G3 i. k' \
& L: l# v. w" U+ ~. N; r+ H& mind2fray
9 W; I7 E- u2 T" ]3 [  r: Egray2ind
" ~+ C) b1 j9 {5 Zrgb2ind
ind2rgb
ntec2rgb
. k6 M% x) \: i: D( Zrgb2ntsc
' A' x( \+ J2 q2 x. W' C使用imtool命令查看一个图像文件的信息
空间滤波器
0 }& I1 m* z5 @  d% ?+ ?- L1 }
: s" B  D/ m+ `  Z; k线性滤波器
使用拉普拉斯滤波器增强图像
+ D* R* V, d8 m5 N6 r7 X使用fspecial生成过滤器以及imfilter的使用
非线性滤波器
一个工具是ordfilt2函数，可以生成统计排序滤波器 g=ordfilt2(f,order,domain)
ordfilt2函数生成图像g的方式：使用邻域的一组排序元素中的第order个元素来代替f中的每个元素，该淋雨则由domain中的非零元素指定
% ^. K: C* G2 s6 c$ @  g+ C) S+ W数字图像处理中最著名的统计排序滤波器是中值滤波器，对应第50个百分位，使用g=ordfilt2(f,median(1:m*n),ones(m,n));创建中值滤波器
工具箱提供了二维中值滤波函数g=medfilt2(f,[m,n])
频域变换

4 W6 o& @+ U. i( k0 O. Z# ]* o为了有效的对图像进行处理和分析，需要将原定义的图像空间的图像以某种形式转换到频域空间，利用频域空间的特有性质方便的进行一定的加工，最后转换回图像空间
傅里叶变换
将图像从空域变换到频域
二维连续傅里叶变换
6 i- B/ o* b2 t3 W二维离散傅里叶变换（DFT）
) o- \- H0 f3 Q# F2 A4 ]. J基于离散傅里叶变换的频域滤波
% X6 V, b! L* t. u离散余弦变换DCT
图像处理中常用的变换算法，通过DCT变换，可以将图像空间域上的信息变换到频率域上
6 u0 g+ _% v: B1 k两种实现
7 y! U( {# |3 \0 f9 X( ~# `8 ~9 U基于快速傅里叶变换FFT的算法，通过工具箱提供的dct2
另一种是DCT变换矩阵，工具箱提供了dctmtx函数来计算变换矩阵
: L! m9 J8 N$ I" s. S, P! L图像保真和质量
图像处理中为了增加压缩率有时会放弃图像细节或者其他不太重要的内容，为了衡量解码图像相对于原始图像的偏离程度，这些测度一般称为保真度准则
主要准则
0 i1 e- Q: p; A$ l客观保真度准则
当所损失的信息量可用编码输入图与解码输出图的函数表示时，可以认为是基于客观保真度准则的
均方根误差
均方信噪比（SNR）
4 j/ x9 n* q* W6 [/ `3 l* ~均方根误差越小，峰值信噪比越大，处理的图像质量越好
- E& e1 t* b+ {+ m主观保真度准则
' n/ C# v3 v/ T2 P. I用分数代表主观评价{很差，较差，相同，稍好，较好，很好}
3 }: m, |6 c9 D: _1 o7 F& c数字图像的水印防伪

# J! P& V: ?- l' o) q3 l. S内嵌水印的特点
" s+ y( q0 }' q$ z( H/ T& {透明性
鲁棒性
能够承受施加于图像的变换操作，不会因变换处理而丢失
安全性
空间域水印
将水印信息嵌入到载体图像的空间域特性上
频率域水印
2 v' Q4 v& s" Z4 H+ N将水印信息嵌入到载体图像的变换域系数等特征上
基于矩阵奇异值分解的数字水印算法
奇异值分解定理
Weyl定理
在原矩阵上加一个小小的扰动，看是否矩阵奇异值的变化是否会超过扰动矩阵的最大奇异值，从而判断稳定性
水印嵌入
水印提取
嵌入的逆过程
2 i! u% z9 ]' j. B% k' i2 z基于DCT变换的水印算法
6 \& F1 e4 N3 W4 ?8 {DCT变换是实数域变换，对实系数处理更加方便，不会使相位信息发生变化，另外，DCT变换是有损图像压缩JPEG的核心，基于DCT变换的图像水印将兼容JPEG图像压缩
4 l# d% g( z7 L% _水印嵌入算法
- ~$ H4 a: o( [2 Y* s) `图像加密
图像隐藏
! V" h. _8 Z- C: f2 u规划问题
" w% T8 j( U. |" ]# @7 x1 D
连续优化
5 V0 C4 B. _" q8 Q* |3 o
线性规划 LP
非线性规划 NLP
二次规划 QP
& s6 S$ M& ~$ @+ [# _! M离散优化
: y4 \! P1 Q# u, C; p* h  h* l
9 l2 q6 @& H3 r0 o: ~0 ?+ j1 h整数线性规划
整数非线性规划
; T" N0 _* m7 o* V! l纯整数规划
混合整数规划
一般整数规划
; L7 l: \& A1 i* ?+ J4 q0-1整数规划
整数规划的特殊情形，要求线性规划模型中的决策变量只能取值为0和1
' {; _( c$ Q" w9 O; ^2 B模拟和仿真
# g, B% v- p* w& o
模拟

拟合
. {  x+ G& I9 v7 u' ]
. n+ f5 m5 ^* y% x7 Y非线性最小二乘法
Isqcurvefit
Isqnonlin
拟合与统计回归
线性回归
非线性回归
[beta,t,J]=nlinfit(x,y,‘model’,beta0)
常用解法：线性最小二乘法
* B7 d# S  t* _& h' W) S- La=polyfit(x,y,m)
5 Y& w4 W& A, u( x/ A3 w插值
% N5 q: H4 ^7 o8 l# s+ B
一维插值
% T% S- B5 \5 ^. k6 A拉格朗日插值

yy=lagrange(x,y,xx)
5 k  S6 p4 A; ?* ~- ]. p- y7 S分段插值
0 B# |6 _/ d; y4 _# S; T
! o# a. F( C5 ~: h, Xyy=interp1(x , y ,xx , ‘method’)
% L5 k. ^' n& K7 v6 l, s4 z三次样条插值
: G5 J1 m" \# d) ^
* r% ?2 c2 {3 R7 Y7 Jyy=spline(x,y,xx)
$ s7 c5 v& {1 g4 i$ c* ]; S1 n二维插值

最邻近插值
分片线性插值
- O6 Z" s$ a) x: T8 J1 R双线性插值
仿真

动态仿真
连续系统仿真
时间步长法
# X9 ^. z1 y* h# J( L离散系统仿真
1 ?6 C% S0 E; u* ]; ~事件步长法
2 c" D- m% D) e/ N4 T静态仿真
蒙特卡罗方法
7 C$ ~/ V+ o3 j; T# U随机数产生
均匀随机数
其他方法
4 d  r  x6 l9 G. P- ~$ @; N逆变换法
舍选法
近似抽样法
指数分布
泊松分布
5 k5 V* w* r+ S  Y' R# c" ]0 ], ^标准正态分布
& f/ A7 |; @0 I- a. J正态分布
二项分布
3 S5 T  [/ `' ]+ V排队问题
可靠性问题
) g2 J+ A7 }- J- x' }$ b0 G蒙特卡罗方法
元胞自动机
+ {5 m) p6 W5 u' d. I数值计算

$ X# B9 u: F6 d; m常微分方程数值解
& g2 }. x  z9 U" J2 W# Z! \
微分方程解析解
u=dsolve(‘Du=1+u^2’,‘t’)
" O7 c6 L% h, b2 }6 l欧拉方法
向前欧拉公式
. G8 @+ j/ ]1 Z, O' Z& V! z向后欧拉公式
. K5 B, g' t" n) L9 ~5 V# ?5 G. d梯形公式
龙格—库塔方法
matlab求解
% n& g+ @& {4 |高阶微分方程转一阶常微分方程
刚性常微分方程与非刚性常微分方程
: Y' {: s3 C. p! [! u& ^工具箱的使用

统计工具箱

7 k- `- t8 K% V7 E& t+ f拟合工具箱

神经网络工具箱

; L! D. ~8 o, a" T4 x6 f$ ]0 D  ~4 M小波工具箱

0 k1 Z1 T0 @! v并行计算工具箱
4 Z; _( h: E* d* v, F" E3 E
优化工具箱
8 ?  R  G7 ^- _+ r- y
一元函数极小值
" N1 T6 i+ _4 \. h+ i) T$ V7 s1 |fminbnd
( z. k) M# E8 ^/ k2 I无约束极小
& c& q  h* R% g% Nfminunc
为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法
' R, E, }) v3 Q7 {2 ?* S; o2 x为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由options中的HessUpdate控制，默认为bfgs（拟牛顿法的DFP公式） 另外，还有dfp（拟牛顿法的DFP公式），还有steepdesc（最速下降法）
; e) l. w. {' E# t9 t0 E! K7 a为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中的参数LineSearchType控制，默认是quadcubic （缺省值，混合的二次和三次插值）另外还有cubicpoly（三次多项式插值）
3 N+ F0 v3 P+ `! P. zfminsearch
线性规划
linprog
1 }# n& [9 J, ?二次规划
quadprog
3 F  @, n8 ~) j5 R9 o3 n* Y& T约束极小
fmincon
( j( v3 s4 f6 y7 c达到目标问题
fgoalattain
! U- f& j9 L, S5 a" h$ e极小极大问题
fminimax
全局优化工具箱
6 d" S. ~  O7 B7 s2 O————————————————
原文链接：https://blog.csdn.net/SinclairWang/article/details/100891757

+ f2 s: W" N  s% g* {. r

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柠檬草lll

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