数学建模之预测模型总结

杨利霞

数学建模之预测模型总结

7 M* ]; Z9 T' e6 t; ?) E- x基于数学建模的预测方法种类繁多，从经典的单耗法、弹性系数法、统计分析法，到目前的灰色预测法。当在使用相应的预测方法建立预测模型时，我们需要知道主要的一些预测方法的研究特点，优缺点和适用范围。下面就当下一些主要的预测方法进行总结：
" S* c# E# G4 u. e7 P- b0 ^预测模型名称
适用范围
优点
* T" \, t6 _- L7 F( v缺点
; x, d+ h" ?6 g) B5 i9 J7 Q0 i灰色预测模型
; I' |& z( ]+ a该模型使用的不是原始数据的序列，而是生成的数据序列。核心体系是Grey Model.即对原始数据作累加生成（或其他处理生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法。
+ h% K) q: l; d& T' r在处理较少的特征值数据，不需要数据的样本空间足够大，就能解决历史数据少、序列的完整性以及可靠性低的问题，能将无规律的原始数据进行生成得到规律较强的生成序列。
只适用于中短期的预测，只适合近似于指数增长的预测。
插值与拟合
( V; `1 M/ _/ G7 |' T适用于有物体运动轨迹图像的模型。如导弹的运动轨迹测量的建模分析。
5 o1 t# R$ r1 ~- Q6 g分为曲面拟合和曲线拟合，拟合就是要找出一种方法（函数）使得得到的仿真曲线（曲面）最大程度的接近原来的曲线（曲线），甚至重合。这个拟合的好坏程度可以用一个指标来判断。
0 @& c6 Q, C* _- I  v* D# }时间序列预测法
; R+ M1 ~/ q% @/ I根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。时间序列在时间序列分析预测法处于核心位置。
3 \$ P+ G. W) D( J1 _6 l一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。
* p; S/ e! J* Y0 e1 ?$ o$ _- ^Daniel检验平稳性。
自动回归AR(Auto regressive)和移动平均MA(Moving Average)预测模型。
当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。
4 W3 ^- S* |& ~2 q- R9 G7 g$ J马尔科夫预测
适用于随机现象的数学模型（即在已知现情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系）
研究一个商店的未来某一时刻的销售额，当现在时刻的累计销售额已知。
$ @  j+ ]& ^% T$ I不适宜用于系统中长期预测
差分方程
利用差分方程建模研究实际问题，常常需要根据统计数据用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。
8 F* d$ x3 j! b适用于商品销售量的预测、投资保险收益率的预测。
数据系统的稳定性还要进一步讨论代数方程的求根。
微分方程模型
8 Z/ b2 I0 E1 O# ~适用于基于相关原理的因果预测模型，大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件，用数学符号表示规律，列出方程，求解的结果就是问题的答案。
优点是短、中、长期的预测都适合。如传染病的预测模型、经济增长（或人口）的预测模型、Lanchester战争预测模型。
反应事物内部规律及其内在关系，但由于方程的建立是以局部规律的独立性假定为基础，当作为长期预测时，误差较大，且微分方程的解比较难以得到。
) F+ X) ~4 t: t+ s% S神经元网络
数学建模中常用的是BP神经网络和径向基函数神经网络的原理，及其在预测中的应用。
$ ]( F- \* U: e+ W- y1 f- ?BP神经网络拓扑结构及其训练模式。
+ B* J" k4 M2 U, CRBF神经网络结构及其学习算法。
模型案例：预测某水库的年径流量和因子特征值
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