数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

指数模型
9 l# V: l, n! F- [3 p7 @# a定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
! L. \  I& J1 L0 g# Bi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
" K+ r$ j# J) w! _i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
% J) F6 f7 ^3 Y! q5 j  Y. i9 n% ni(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
# J" ]' n/ F# d( |# L, s2 G6 q  V
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
. k, d" d+ G% x" j3 P/ \deltaT = 0.01
lamb = 2
2 L' r* U* u) x( M& m/ v& s! X9 Di_list = []
' P; j$ j6 S0 A# Pi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
, j" Q- G6 t1 v8 {( hTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
% ~/ q/ r# B* ^$ N##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
3 a9 B5 v. M* ~% p" Bplt.plot(i_list)
& r2 `7 U. A- Y! B
5 c7 m. V2 D) A/ V- F/ Q将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？

7 ~; X$ i2 M0 y7 D, f9 K% A, C
) V/ t, I; A& T; O实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
' A. R$ y! y0 Y5 F" u" R: ]7 n仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

1 Y8 e3 z/ o. ON[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

$ F' Y. D% g9 ~+ D/ E) `0 Y消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
$ L3 m7 U8 |1 Ri(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

: {7 h8 ^: x/ [" v同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
9 S; P2 w! l+ J  F/ h% W
import matplotlib.pyplot as plt
* q& i$ c- V8 a* P# \5 L& q%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
s_list = []
8 y  q# q: n$ U: X: Mi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
& V9 P( R/ }; x7 Ci_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
, w% L) k+ a1 c- F% c/ |& VTot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
! J$ d7 S$ i7 t$ r- u% `  P* b    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
% H' I% N7 J% C. G    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
! r+ }* T$ j5 \' [# Hplt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
3 T) p5 H% i! B* l4 |' [1 E/ Y————————————————
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+ @1 f" D( F6 M; L! ]* M5 {