数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
( l! j1 y7 ~. ]; x$ F- D& F
* {9 X4 q5 H6 a. h7 u! K8 x, \指数模型
8 U! V: {- w2 S) f, U定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
  ]/ ]: A$ F0 q% Oi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
: o/ ~9 L/ K+ z6 ?
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
) B$ ]4 c5 g  M2 p
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
! A/ d& {% g1 T6 T$ }. |( ji_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
9 U# ^! g- _: H: U. pTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
3 ]) a7 b- C% _9 w3 \& Bfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
7 I9 C* G$ r  b, v7 Q9 Y    i_list.append(i_new)
7 E0 K5 u8 l! ~) t% S9 c7 Nplt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？

3 u  J! [  a* L* |3 n
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
# W, [, X5 y* w3 o4 V
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
/ a; f- W+ ]' l6 ?; C" b6 D+ w每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
5 T; E/ z% s3 T3 \& l5 C仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
' }3 v- ?1 K& jN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
( `2 K+ `+ z: N* ?5 z) a  e( |
7 E% |$ q; N, h消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
8 ~4 }& }$ P' N9 O" f# ]i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
6 F$ {9 y, t0 u1 Y" Z0 f# D8 Q: X7 Fi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
! o/ z. v) {& S' h
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
  d) @# V2 c, ]; V0 l/ D# r/ Ylamb = 2
& t3 V% q0 `% Ai_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
9 e, N5 M% k8 z9 i. v2 F" Ni_list.append(i0)
! q4 P9 \6 [' G& }. p5 m( Bs_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
: L& K( R+ l0 g3 i9 c##
for i in range(TotStep):
8 e2 l& f0 |2 W2 L, {- ?    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
* U1 _, t, ?/ |& U3 XTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
) L  R/ r1 F" `& P2 \) Kplt.plot(Time,i_list)
: `# o! Z7 \: Z8 r) G8 Mplt.plot(Time,s_list)
6 l* U. s3 U# o2 pplt.title("SI",fontsize = 20)
/ v& k8 ^9 i0 k& h7 N6 m! ]3 Aplt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

; o( J  [0 |6 ?$ a2 A- {2 D3 _从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
" G4 ~# ~9 _3 P5 J& E+ w. L. Z
/ A2 j/ R4 h9 v, j8 \然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
# q7 h6 e) h9 Y) Z4 g6 b————————————————
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# @: j, {/ s  B1 D原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383

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