数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
* d6 v% @# m9 L7 {( W2 V医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
% @7 L% _) V: A+ n9 E$ N# l
指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
- j2 N3 ^) K+ I0 r9 W( R8 v* y
$ V. ]4 H- G! V" u将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
) C8 n- c( e2 H4 J/ S2 C5 A
0 w. H+ _# j# b  A$ y; c5 M以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

2 s  T& m9 ]/ ^- y% G' Oimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
' g: v$ t7 ^0 [& U2 v" z6 _lamb = 2
* |' D5 `; a  |) }+ k0 Q, pi_list = []
) S) o) R0 I; G8 S& Ui0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
, r& @6 c/ i' l9 bi_list.append(i0)
! b: e+ k5 L3 T: F. {Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
; G* F% R% C" Z8 Rfor i in range(TotStep):
1 {8 Q& P& t7 \1 D/ F6 z$ i    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
4 \. x: b0 `$ a1 v& h1 `    i_list.append(i_new)
$ I# ?+ K9 ]& x- x" U. J( p, Nplt.plot(i_list)

4 g5 L- j" O- }将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
9 ^- i8 v! b4 D# I  K# ]9 `6 L
2 M8 y2 @1 h* i9 c- z
3 D) |$ Q! U# x; n4 i& }/ R实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
+ |! G5 ~$ l) J7 D# d! b( Q- O
" K- K, T  s/ w在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
# M+ r) b% C) M1 I9 y6 b% YN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
% u) ?8 `9 r4 s% q5 [
消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
* ?5 y" |: r) \' u, j  b; ei(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

* t# ]" v8 K3 q3 ^" [同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
5 h+ u% C0 m: k5 C
import matplotlib.pyplot as plt
$ P, ~/ z" G$ t) ~- U7 i%matplotlib inline
# `6 _! D6 \& W* OdeltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
s_list = []
0 Y' L& g( H8 h, F% di0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
# Y/ d, A( G1 O% ~9 B* R7 M! \7 s  a5 Qi_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
: e, n( o7 Q4 s: f# u' vTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
% `9 z% ^3 w. N$ \: b! i9 X1 o( M) c    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
" Z7 B/ D+ g7 q- K$ C( n. z7 [    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
: |4 c! D* `! X, ?plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
) T% e( g* |2 _0 Z/ p————————————————
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