数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
5 b& J$ O1 h& A0 X; k5 @6 E医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

0 y- j6 m6 b2 Q4 K指数模型
* B7 I. O- v( q. x- i% q6 V定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
' J; o7 F& E& i- m+ |i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

3 V4 y/ s- R; \1 W. |$ m1 \. A8 q将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
& I* W: x6 H7 O! }# Y' \5 i5 J+ Ui(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

2 d. N2 i1 v% d0 Y& T6 L# K以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
5 r0 d- ]  @% O, J: g5 v' Y2 a/ }
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
, t/ y2 S& j- r( p! O% U0 OdeltaT = 0.01
2 f( E5 G3 b9 S. N8 P+ Alamb = 2
i_list = []
' l$ E! n2 P9 j% ti0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
3 {) v( D( c2 UTot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
" l( z* U0 Y7 A8 ^8 G: [##
, m% B+ a2 s3 ]4 B. ?% Qfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)
( o  l5 H, h8 M! t# O: ?2 `( Y
( {$ x! |; _, m6 u7 ?# v将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？

6 Q* o. _* q" S0 z( S- g. O  H3 t
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
% I) e9 |0 Z1 A3 U
7 {+ W; v- k9 ~SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

! R% X! |  ?9 d8 P在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
/ X$ P* _7 M0 u) w2 D/ T7 I( V仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
+ V0 K, I/ [$ FN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

( w1 @: Z! \4 z  N4 y3 ~$ i消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
  x1 G% G: k! ^6 D/ @5 ?1 O# zi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
6 b8 w' c- d2 s1 ^i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

7 A+ d- D+ m: @4 |, v* }同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
* x* O, I4 h( B+ ]7 q( Elamb = 2
i_list = []
2 g5 f  Q& C  Ws_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
1 g7 `! N0 A8 Q7 D' ]$ o. s: V2 ki_list.append(i0)
" u4 c; p* _& f1 I  [2 K' u& ls_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
3 Q7 I7 p4 s0 C2 O3 w6 A- V  hTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
$ W* J; j1 l9 Q##
' ?$ [  [- j5 v0 X( {6 ~1 E9 ?$ L) Yfor i in range(TotStep):
- `9 Q* g: ^/ ~3 q    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
  N4 R9 Q: }! I3 `+ y2 y/ S3 cplt.plot(Time,i_list)
5 ?: B2 Y+ v! N9 s! dplt.plot(Time,s_list)
; Q6 j+ d. f  P6 V2 y" ~/ L- R: Iplt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
) d( I8 j6 w* }1 v9 lplt.ylabel('i(t)')
; |7 [, j1 w' @. H
8 ]0 O/ ]' l" U从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
. z  g3 o& W0 `5 r
+ N$ s, j2 R6 N; w1 O4 Z6 I然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「任公子ha」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383

! q/ |( k$ ~; i% g# ]1 ?; s