数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
2 z  p" @" X: P( O% O, |4 l2 C医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

: Z9 X, C: y& x$ O% b# P) M% I指数模型
7 j! e; n5 b/ [$ |定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
; D$ d( i8 Z* }* Di(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
9 |4 L" j3 l/ g( }4 ^$ z1 G
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
  Q2 m8 H5 z, |, x6 T7 f# u
以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
2 j+ z7 h4 L. _
/ @$ m" v' A, h7 Qimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
7 Q; p: F! e/ J+ C0 ~' N% ~deltaT = 0.01
1 V& `0 E: J8 u# Glamb = 2
0 J0 V: f2 X8 _6 s+ pi_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
* O7 J/ U% O. O1 d' H  l2 X" mi_list.append(i0)
9 b4 F) I: R0 wTot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
+ o4 [2 Q' j9 G    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
* I  R7 p9 \+ r* ?: f4 x    i_list.append(i_new)
2 h4 f: h3 ~5 I% l- ~- z- L8 xplt.plot(i_list)

7 ^9 I3 ?4 _0 x& X2 k. t将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
5 q7 d9 j+ Y! x, V8 I

实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
2 ]# U9 |" R8 w1 o2 d
' D  v+ l9 A8 c1 U' c: ~5 \% q- S在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
3 C# f! k2 `7 j2 y每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
  o+ S. Q0 S7 P' ~( A0 V5 |4 s8 w6 n仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
( {6 C/ f  W1 K1 L' O0 a3 T+ p* w  \
; \6 D, t" M4 [  S  o; }消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
8 S  g) q- O) ui(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
' Q2 M/ D2 F- ~+ [
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
! p+ Q. q) E4 p6 y: t0 V
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
: Q# X1 L9 k0 U4 jlamb = 2
  h9 k7 ?+ M$ L: _/ z4 Li_list = []
s_list = []
) x' y* v7 v0 D9 si0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
, Q" Q* U, C* J# b0 z- N( Us_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
2 R  p3 R" ~& @) Z/ O; H% m+ e/ s    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
8 {0 _3 U& {2 A, Q" ETime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
3 ^/ E- x% K% V/ f' ?4 Tplt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
( P4 h' i% I6 K6 T  cplt.ylabel('i(t)')

, l( c, e" Z) p2 g, M5 x/ h从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
. b$ N# s) ]$ k' U
  g, k; `' e) s+ u5 f3 _9 j& l然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
: J/ V0 v, F- t3 u8 i2 i( D- O! x  v————————————————
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