QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 2208|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

数学建模中的传染病模型及其编程求解

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-5-17 09:59 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    问题的提出
    * d6 v% @# m9 L7 {( W2 V医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染病流传时,波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢?试用建模方法来加以证明。
    % @7 L% _) V: A+ n9 E$ N# l0 N7 J: B  O1 l  s2 T! E; _
    指数模型; f5 }1 Z0 D; N( H) d
    定义已感染人数为i(t) i(t)i(t),假设每个病人单位时间有效接触(足以使人致病)的人数为λ \lambdaλ,那么,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算% F4 _& F. T; V; c: A2 I6 W
    i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t! i+ ]) I0 j# x1 M; P9 L& z
    i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
    - j2 N3 ^) K+ I0 r9 W( R8 v* y
    $ V. ]4 H- G! V" u将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式! j7 R7 s# X4 h2 T  T5 T: j
    i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t8 k; I* j1 m. E- p1 k; X( K
    i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
    ) C8 n- c( e2 H4 J/ S2 C5 A
    0 w. H+ _# j# b  A$ y; c5 M以上递推公式意味着,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下。7 o: ?$ h. p& {  ^+ Q0 z/ X9 R% [

    2 s  T& m9 ]/ ^- y% G' Oimport matplotlib.pyplot as plt. |( x" g2 @( x
    %matplotlib inline7 I) N8 Q; Y  O% O5 U7 B4 K
    deltaT = 0.01
    ' g: v$ t7 ^0 [& U2 v" z6 _lamb = 2
    * |' D5 `; a  |) }+ k0 Q, pi_list = []
    ) S) o) R0 I; G8 S& Ui0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
    , r& @6 c/ i' l9 bi_list.append(i0)
    ! b: e+ k5 L3 T: F. {Tot_Time = 10* g6 J8 C" ?3 \4 w; a. ^3 Y
    TotStep = int(Tot_Time/deltaT)) `- r9 B, L  w6 N
    ##
    ; G* F% R% C" Z8 Rfor i in range(TotStep):
    1 {8 Q& P& t7 \1 D/ F6 z$ i    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    4 \. x: b0 `$ a1 v& h1 `    i_list.append(i_new)
    $ I# ?+ K9 ]& x- x" U. J( p, Nplt.plot(i_list)! @7 [# p3 F4 {/ P

    4 g5 L- j" O- }将以上代码在Jupyter Notebook中运行,得到病人人数的变化趋势见下图,从中我们可以看到病人的增长是指数级的,在短短十天后,已经有3000万人患病!这显然不符合实际情况的,那么问题出在哪里了呢?
    9 ^- i8 v! b4 D# I  K# ]9 `6 L
    2 M8 y2 @1 h* i9 c- z
    3 D) |$ Q! U# x; n4 i& }/ R实际上,若病人解除的是病人,并不能够使病人再次患病,实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法:必须区分已感染者和未感染者。+ l3 V  K* ]8 C( [# G
    : C. R( m, ?" Z5 b1 h
    SI模型0 W/ [2 y. @' h- g0 _
    现在我们将人群分成两个群体:已感染者(病人,Infected)和未感染者(健康者,Suspect),该模型称为SI模型,模型假设:
    + |! G5 ~$ l) J7 D# d! b( Q- O
    " K- K, T  s/ w在研究时间内,不考虑死亡率和出生率,即总人数N NN不变,病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)$ T0 A1 s) s3 Y- [' t# O3 r
    每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ,且只有接触健康人才会致病,称λ \lambdaλ为日接触率5 y( [- D0 s5 l4 T1 V, a, ]* R: X
    仿照指数模型里面的建模方法,在时间段Δt \Delta tΔt内,病人的增量可以用如下的公式进行计算% P, p- ~, [1 o7 t, q- P
    0 p* @8 Q' ]* V0 O/ y
    N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
    # M+ r) b% C) M1 I9 y6 b% YN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
    % u) ?8 `9 r4 s% q5 [. _- K" q1 A' Q: ?+ m
    消去N NN,再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边,我们得到如下的递推公式
    * ?5 y" |: r) \' u, j  b; ei(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t  u& f  k, s. E4 @
    i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt6 [0 I: C  t' @# X

    * t# ]" v8 K3 q3 ^" [同样地,我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ,计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数,将以上思想在Python中进行实现,代码如下:
    5 h+ u% C0 m: k5 C. F6 c0 I  ^, ], R) e
    import matplotlib.pyplot as plt
    $ P, ~/ z" G$ t) ~- U7 i%matplotlib inline
    # `6 _! D6 \& W* OdeltaT = 0.019 Q. n+ [' P0 J9 q. R+ {$ P
    lamb = 20 e+ [: P# l# ~* |* A, W5 l
    i_list = []. ?1 c/ H0 I2 c& m2 ~  X# w: v
    s_list = []
    0 Y' L& g( H8 h, F% di0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
    # Y/ d, A( G1 O% ~9 B* R7 M! \7 s  a5 Qi_list.append(i0)" b: X- |3 Q# E& S! }
    s_list.append(1 - i0)7 C6 [" q4 z. r! I8 D
    Tot_Time =5
    : e, n( o7 Q4 s: f# u' vTotStep = int(Tot_Time/deltaT)8 ~  u' e1 n5 v3 \0 w
    ## ) p/ J) V! N" C7 F. \. x* M
    for i in range(TotStep):
    % `9 z% ^3 w. N$ \: b! i9 X1 o( M) c    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    " Z7 B/ D+ g7 q- K$ C( n. z7 [    i_list.append(i_new)( b* g. ?/ y3 @& K, G
        s_list.append(1- i_new)$ J# v% k7 w5 a3 K+ ?0 A3 n7 k
    Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]5 ^4 i$ L0 ~# K$ N8 G& S
    plt.plot(Time,i_list): {- R: g5 K5 [0 {! l
    plt.plot(Time,s_list)
    : |4 c! D* `! X, ?plt.title("SI",fontsize = 20)! g- D& v7 ~: z, R3 Y* i) t
    plt.xlabel("Time")) K. d$ [3 b" H+ w9 {1 a* @, f: d
    plt.ylabel('i(t)')$ F3 w7 f) w& l) z1 V1 p3 P
    & C: O8 F( n; K) j6 Z7 s
    从SI模型我们可以看到,病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况,在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中,病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线,又称为Logistic曲线,该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。5 }" ~. P8 U5 P/ r! D$ B
    1 {6 F& C1 [" Z, G/ M5 A0 h
    然后,SI模型的结论告诉我们,无论λ \lambdaλ多么小,最终人群都会患病,这显然也是不符合实际情况的。
    ) T% e( g* |2 _0 Z/ p————————————————
    2 {+ v  r0 ]3 f) h# \5 l7 h0 o& p版权声明:本文为CSDN博主「任公子ha」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。8 a" {) {5 ~* f9 P
    原文链接:https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383  g  J2 _* S0 ?0 U: R

    & S& R8 x7 l0 S/ r! U! W" P- S, j4 R4 a& U$ D
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-9-8 21:47 , Processed in 0.447326 second(s), 52 queries .

    回顶部