常用模型&算法总结—图&网络模型应用—最短路径问题

浅夏110

1 两个指定顶点之间的最短路径
/ k+ _( ?5 z+ L1 A" N$ z7 W问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线。



& ^8 r2 T: L7 ?6 @Dijkstra算法
- i8 R. G3 }4 k, F6 X" Q: ]& P
1 Q( j4 _3 \: K& D
( t6 D8 F- k: E6 [8 T8 c例1  某公司在六个城市 中有分公司，从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 （∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。               


: F3 e4 G, u$ V' v+ i$ J$ N6 r
解  用矩阵  （n为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量
9 A! @: L0 c" W  N+ y+ D+ {
- K) Z3 J6 s5 Q/ e+ |
+ e' x' c+ _! A
求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下：
. A0 Z1 ?# i* ?( H( v# u7 Q4 B2 @
; G4 S7 [$ }1 ~5 ~( \* n7 i7 qclc,clear
a=zeros(6);
" U0 ?0 i( Y7 y$ I4 G, y+ P# ba(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
' D: C' Y* b: V) Oa(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
7 \9 ?5 e' N' F5 D& [a(5,6)=55;
  L2 P, S6 l2 g% I" d( Pa=a+a';
a(find(a==0))=inf;
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
1 {  H  X5 T  [2 Ywhile sum(pb)<length(a)
    tb=find(pb==0);
    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
+ s# D$ F* Z- g! w    temp=tb(tmpb(1));
    pb(temp)=1;
1 u4 w0 `5 r7 H. h! G3 q    index1=[index1,temp];
1 G- A/ @$ u4 g* g* w    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
    index2(temp)=index1(temp2(1));
3 C7 h4 Z/ V/ e% R- s1 Y9 qend
d, index1, index2

2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式
: q5 G# M7 A7 ]5 i* X3 {1 y

例 2  最小价格管道铺设方案
在图 3 中，用点表示城市，现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。

. q: H- [" A6 x
% w4 z8 K" l; }9 R" w
编写 LINGO 程序如下：

" C* A# H8 H9 @9 C8 K6 W( u; ?4 Gmodel:
2 }. {! V/ w/ Tsets:
cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
8 Q% G7 ^( Y( Y1 Y' }: t! O* OB2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;
9 O0 Q/ ]) x+ R% |$ C$ h% L( Y- R0 Vendsets
data:
" ?, v* J9 z. ~. W/ v  xw=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
enddata
1 ^* V9 Y3 Z7 o* M5 j2 gn=@size(cities); !城市的个数;
- e4 ]7 @$ T' @0 N9 c) Qmin=@sum(roads:w*x);
' y. W5 Q- o" A. L@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:
- m. l- \) m. }4 m) I, r    @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));
0 d- ?0 d2 d5 L  I- P3 a) x    @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
& M$ X  }3 J0 `1 S. g  T. ?' K    @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;
* J& s" Q6 L  L8 z% c" Jend

9 P% g$ g! c* s; _+ D例3 （无向图的最短路问题）

求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题，本例是处理无向图的最短路问 题，在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别，这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。

; R; d" ]: v2 ^# R
$ u5 ~- r8 T6 ^  U编写 LINGO 程序如下：

model:
* j1 d' }) M  ^5 b/ ~sets:
cities/1..11/;
4 E$ D6 {$ {+ _5 o# A) s+ D7 l& Lroads(cities,cities):w,x;
endsets
: @; l# J1 w" k! `5 g0 w  }data:
3 H  g, X/ E. l, E# H9 hw=0;
enddata
calc:
w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
; N. A3 R0 q! p8 i, E, `4 zw(2,3)=6;w(2,5)=1;
w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;
w(4,7)=9;
1 [, g% |3 o3 W& _, ]# _8 T7 Iw(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;
* v2 N( O5 C) Hw(6,7)=4;w(6,9)=6;
2 R+ L0 p! h, c1 c) _' A/ ~% ]w(7,9)=3;w(7,10)=1;
w(8,9)=7;w(8,11)=9;
9 }5 _$ {& h, v3 v4 N5 N! m) {8 w/ Tw(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
: _+ U' v% }6 g* t3 s5 W3 b@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));
@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));
endcalc
n=@size(cities); !城市的个数;
* S0 S0 W1 J: f( ~+ w& q- cmin=@sum(roads:w*x);
! }- F  T% Q7 w@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#
n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
1 o% {1 C3 E. m1 m4 d7 T- H2 W@sum(cities(j):x(1,j))=1;
@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
* v* U" C' g# k+ J) x2 J( i@sum(cities(j):x(j,n))=1;
: B: \4 ]2 t: [@for(roads:@bin(x));
# e7 R, Z: B9 }4 I/ G# vend

/ q2 ]8 r) h" Q6 \6 K有向图相比较，在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0，即 从顶点 1 离开后，再不能回到该顶点。
7 n$ i: L) Q- _$ b( W, w
4 `6 p2 ?" x0 X2 F) q. e* I5 f* g求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11，最短路径长度为 13。
' }$ Y! ~& g' A1 l7 Z) }3 X) D; e
2 X. x2 Q* s& N8 j3 每对顶点之间的最短路径
计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是： 每次以不同的顶点作为起点，用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反 复执行 n −1次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法，称 之为 Floyd 算法。
; ]9 k" C; _7 E& Q
Floyd算法
7 W* r0 M9 X, l6 O7 N% G

. {, w, ^1 E) R2 h  z( r
% ]% ~  o+ @: C  q9 M, v% N5 B
4 V3 k! D8 `" D/ F1 S
7 e8 v7 z4 z+ y6 }8 S" o————————————————
/ T, ^) |+ G' T& D版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
1 J% w- n$ z' ?  s( k, |, [原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785373




+ b! P# T, D& \# A: a, z

浅夏110

德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
1 A8 F% H8 \; I- O' I5 c8 g2 rgood try~~

* p4 N, W2 \  J0 H% C

浅夏110

德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
good try~~

德古拉

good try~~
/ U% b' ^! S- g$ Y: P( z% g