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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
1 两个指定顶点之间的最短路径
/ k+ _( ?5 z+ L1 A" N$ z7 W问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间, 找一条最短铁路线。, P6 x4 _9 E+ b* E6 L3 j+ b
8 y; o; j; p. h4 D% j
( p5 V/ A9 y# y" S6 k" B% W$ ~1 g
& ^8 r2 T: L7 ?6 @Dijkstra算法
- i8 R. G3 }4 k, F6 X" Q: ]& P![]()
1 Q( j4 _3 \: K& D
( t6 D8 F- k: E6 [8 T8 c例1 某公司在六个城市 中有分公司,从 到 的直接航程票价记在如下矩阵的 位置上。 (∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。 & |5 a6 m* D, C* [% s
' P' N& S! `8 E! N
![]()
: F3 e4 G, u$ V' v+ i$ J$ N6 r, G( k+ y3 @9 y4 K
解 用矩阵 (n为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量
9 A! @: L0 c" W N+ y+ D+ {![]()
- K) Z3 J6 s5 Q/ e+ |
+ e' x' c+ _! A7 V) i7 g, z- R3 T8 u; I
求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下:
. A0 Z1 ?# i* ?( H( v# u7 Q4 B2 @
; G4 S7 [$ }1 ~5 ~( \* n7 i7 qclc,clear# d; n6 [) s5 ?& ]9 J3 F
a=zeros(6);
" U0 ?0 i( Y7 y$ I4 G, y+ P# ba(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;& [+ T N" U& O
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
' D: C' Y* b: V) Oa(3,4)=10;a(3,5)=20;) T* Z4 g9 Z# V2 P/ @) k; ]5 y: Z+ P
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
7 \9 ?5 e' N' F5 D& [a(5,6)=55;
L2 P, S6 l2 g% I" d( Pa=a+a';! R7 \( l" z) W
a(find(a==0))=inf;" h( t) K, \4 b! U, ?3 B
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));% D8 V/ S' A( u9 w
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
1 { H X5 T [2 Ywhile sum(pb)<length(a)1 x8 U# Y# K1 D2 f, O& u; P9 A
tb=find(pb==0);* B, b9 y/ q& j/ B# M$ O
d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));! k; N# e# _( X" K5 |2 `: ~; S
tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
+ s# D$ F* Z- g! w temp=tb(tmpb(1));- @/ f. n, X3 W8 l) E/ h- ]' W
pb(temp)=1;
1 u4 w0 `5 r7 H. h! G3 q index1=[index1,temp];
1 G- A/ @$ u4 g* g* w temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));' d& C9 A& K5 F2 o
index2(temp)=index1(temp2(1));
3 C7 h4 Z/ V/ e% R- s1 Y9 qend9 r! d) w7 m3 a3 P% _1 H1 R* U8 ~2 g
d, index1, index2: X- G; L7 N- i
% J$ v/ }* b6 @7 n0 y2 m% B
2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式
: q5 G# M7 A7 ]5 i* X3 {1 y % l0 r. P X1 x7 Q4 T% `
; r! ] } A$ a" g
例 2 最小价格管道铺设方案3 X" Q6 P1 [- t" T7 t- B( u( X8 m
在图 3 中,用点表示城市,现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道,请设计出最小价格管道铺设方案。 y7 a9 J* G! J9 ?/ O- O( h
. q: H- [" A6 x![]()
% w4 z8 K" l; }9 R" w$ V1 C3 h$ A) g# c" X* G
编写 LINGO 程序如下:; N1 D6 n. U; m6 O# M
" C* A# H8 H9 @9 C8 K6 W( u; ?4 Gmodel:
2 }. {! V/ w/ Tsets:4 w7 u6 I( U- N: s3 H
cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;6 c- C: L. E# `7 N" H
roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
8 Q% G7 ^( Y( Y1 Y' }: t! O* OB2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;
9 O0 Q/ ]) x+ R% |$ C$ h% L( Y- R0 Vendsets3 b' n- @. z2 d) a
data:
" ?, v* J9 z. ~. W/ v xw=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;/ n+ \: W( |* d- w$ Y4 s9 p4 ?
enddata
1 ^* V9 Y3 Z7 o* M5 j2 gn=@size(cities); !城市的个数;
- e4 ]7 @$ T' @0 N9 c) Qmin=@sum(roads:w*x);
' y. W5 Q- o" A. L@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:
- m. l- \) m. }4 m) I, r @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));
0 d- ?0 d2 d5 L I- P3 a) x @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
& M$ X }3 J0 `1 S. g T. ?' K @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;
* J& s" Q6 L L8 z% c" Jend : |% Y5 z9 I4 }/ j
9 P% g$ g! c* s; _+ D例3 (无向图的最短路问题)求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题,本例是处理无向图的最短路问 题,在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别,这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。 1 D+ a# ^! \9 X) M0 B$ s3 c
![]()
; R; d" ]: v2 ^# R
$ u5 ~- r8 T6 ^ U编写 LINGO 程序如下:" i* t, l$ S" u2 f
D2 H1 _9 C8 |( W8 |: E: y, B! @+ c
model:
* j1 d' }) M ^5 b/ ~sets:( q: y, f* z( l# q* ^( M" Y6 m9 m
cities/1..11/;
4 E$ D6 {$ {+ _5 o# A) s+ D7 l& Lroads(cities,cities):w,x;$ S8 T/ t0 F c! W; [$ I+ n2 ?$ K
endsets
: @; l# J1 w" k! `5 g0 w }data:
3 H g, X/ E. l, E# H9 hw=0;. B; n/ n7 R4 {
enddata- @+ l+ [& A4 c0 _+ }2 {
calc:+ S6 w+ M* p' {+ I4 I# ?4 ]
w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
; N. A3 R0 q! p8 i, E, `4 zw(2,3)=6;w(2,5)=1;3 M* D3 W+ s0 z, |# V
w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;) b0 W- V$ ~1 p3 D: J5 ~; b" C q4 Y' G
w(4,7)=9;
1 [, g% |3 o3 W& _, ]# _8 T7 Iw(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;
* v2 N( O5 C) Hw(6,7)=4;w(6,9)=6;
2 R+ L0 p! h, c1 c) _' A/ ~% ]w(7,9)=3;w(7,10)=1;; i# H+ r$ o+ | ^0 w1 Z O
w(8,9)=7;w(8,11)=9;
9 }5 _$ {& h, v3 v4 N5 N! m) {8 w/ Tw(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
: _+ U' v% }6 g* t3 s5 W3 b@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));! p1 N7 u6 W/ t& x+ A
@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));! F& N& D1 p. u4 Q" Q
endcalc I/ |% B9 \, h7 j2 b
n=@size(cities); !城市的个数;
* S0 S0 W1 J: f( ~+ w& q- cmin=@sum(roads:w*x);
! }- F T% Q7 w@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#) ~ t. R3 s9 L8 C1 u
n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
1 o% {1 C3 E. m1 m4 d7 T- H2 W@sum(cities(j):x(1,j))=1;' L* a* W/ ^8 f e' H
@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
* v* U" C' g# k+ J) x2 J( i@sum(cities(j):x(j,n))=1;
: B: \4 ]2 t: [@for(roads:@bin(x));
# e7 R, Z: B9 }4 I/ G# vend6 e& t e, b: i+ i
/ q2 ]8 r) h" Q6 \6 K有向图相比较,在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0,即 从顶点 1 离开后,再不能回到该顶点。
7 n$ i: L) Q- _$ b( W, w
4 `6 p2 ?" x0 X2 F) q. e* I5 f* g求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11,最短路径长度为 13。
' }$ Y! ~& g' A1 l7 Z) }3 X) D; e
2 X. x2 Q* s& N8 j3 每对顶点之间的最短路径 d7 |! G# Q% c; m$ L
计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是: 每次以不同的顶点作为起点,用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反 复执行 n −1次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为 。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法,称 之为 Floyd 算法。
; ]9 k" C; _7 E& Q% d6 S# Z6 n- X" l) H/ p4 j
Floyd算法
7 W* r0 M9 X, l6 O7 N% G; D1 N _; q% \' |% l$ V6 F/ @! n
![]()
. {, w, ^1 E) R2 h z( r
% ]% ~ o+ @: C q9 M, v% N5 B
4 V3 k! D8 `" D/ F1 S
7 e8 v7 z4 z+ y6 }8 S" o————————————————
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) X) y9 ], t7 h4 |
) `4 F# e& A1 J
% ^1 @/ b3 X2 ^5 m# ^! q& ]
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zan
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