常用模型&算法总结—图&网络模型应用—最短路径问题

浅夏110

1 两个指定顶点之间的最短路径
2 T. h9 T* N  ?8 p% i问题如下：给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间， 找一条最短铁路线。

3 B$ n* P( |8 q8 D' ?$ R+ I

3 U+ g$ ^% A) G5 O: ?Dijkstra算法
+ n  d/ V$ X) h5 n9 A
' X! m+ Q+ S& C$ H% U* y
例1  某公司在六个城市 中有分公司，从  到  的直接航程票价记在如下矩阵的  位置上。 （∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市 到其它城市间的票价便宜的路线图。               

( C9 ^- v: f  V% L1 j5 N
$ I- J' U1 Z3 d8 m* x  L& I# O
解  用矩阵  （n为顶点个数）存放各边权的邻接矩阵，行向量 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、短通路的值。其中分量

/ l$ L+ i) R4 A1 V
8 o: m' i" J) i3 _
求第一个城市到其它城市的短路径的 Matlab 程序如下：

3 ^) b/ Y( o* W) Q% l9 vclc,clear
1 W! a0 e( J6 L- Y2 w; I) za=zeros(6);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
: T" m4 V. U8 \: qa(5,6)=55;
/ w$ F4 z+ M' Ha=a+a';
: \! g& K  F, X: g- h5 Na(find(a==0))=inf;
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;
while sum(pb)<length(a)
+ a3 S- e7 f7 Z9 g    tb=find(pb==0);
    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));
$ F$ o% T: V& k0 p8 C' T) G' Z    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));
    temp=tb(tmpb(1));
5 \: e: A& ^# t5 G! U3 V, Q' x    pb(temp)=1;
    index1=[index1,temp];
* L+ J& G" A, m; g6 w: M  ?" m2 }    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
  [* b- q; B7 k3 W0 b% H* A    index2(temp)=index1(temp2(1));
end
d, index1, index2

2 两个指定顶点之间最短路问题的数学表达式

4 r, m1 ^  m# C, x, D, a' P1 L
例 2  最小价格管道铺设方案
+ |3 q4 x& Y! Q3 m在图 3 中，用点表示城市，现有 A, B1, B2 ,C1,C2 ,C3 , D 共 7 个城市。点与 点之间的连线表示城市间有道路相连。连线旁的数字表示道路的长度。现计划从城市 A 到城市 D 铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
% ^% a. [5 ]; x0 x4 q! b6 r

, f, L9 t! c3 {8 M! u
) o, p5 S( A2 r; t/ c  f1 r+ q& n! T  k编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
6 x* ]" `5 H% Y/ Z9 Jcities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
- f; t0 c8 |* n* v6 G& }2 @roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1,
B2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;
endsets
& b+ Q, t; y$ L" S+ Kdata:
w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;
/ f' n5 f$ p+ Venddata
$ s8 n; s6 Q% v( ~: d/ cn=@size(cities); !城市的个数;
4 W9 r" Y3 B! [6 Ymin=@sum(roads:w*x);
@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:
- d3 J1 D- f7 K- t    @sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));
    @sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;
2 S6 o& s' y2 c( |" W    @sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;
end

# D/ m. c3 N5 `2 B例3 （无向图的最短路问题）

求图 4 中 v1 到 v11的最短路。 分析 例 2 处理的问题属于有向图的最短路问题，本例是处理无向图的最短路问 题，在处理方式上与有向图的最短路问题有一些差别，这里选择赋权邻接矩阵的方法编 写 LINGO 程序。

编写 LINGO 程序如下：
) M' `- q; o3 |7 U+ P' |
! r9 Y9 r3 t7 A% \: s/ u. D8 N* ?0 Bmodel:
( e) p% G4 g8 f1 x- \6 S& [3 i& Esets:
cities/1..11/;
* `( h/ [, `+ H" `roads(cities,cities):w,x;
endsets
; K+ ]3 X$ G" T+ Q: ~7 m1 Q& sdata:
w=0;
, P9 o3 ?7 F5 Eenddata
calc:
w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;
9 a- f) H  Z3 E, ?  mw(2,3)=6;w(2,5)=1;
9 ?+ c4 z$ }6 l) p  C( aw(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;
# P8 L# f" G6 E7 z4 P. qw(4,7)=9;
w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;
w(6,7)=4;w(6,9)=6;
w(7,9)=3;w(7,10)=1;
8 l3 ^0 ?  d# dw(8,9)=7;w(8,11)=9;
0 N1 _' s6 }0 R' k) ]w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;
@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));
@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j)));
endcalc
n=@size(cities); !城市的个数;
min=@sum(roads:w*x);
8 D2 j4 j+ q. j5 g+ t5 K1 a@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#
n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));
@sum(cities(j):x(1,j))=1;
@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;
@sum(cities(j):x(j,n))=1;
@for(roads:@bin(x));
end
4 U, `/ o8 H% ]
3 r# Y0 K* X' B+ a9 ?, w- D有向图相比较，在程序中只增加了一个语句@sum(cities(j):x(j,1))=0，即 从顶点 1 离开后，再不能回到该顶点。

求得的最短路径为 1→2→5→6→3→7→10→9→11，最短路径长度为 13。

# `: ~  T, A- }3 ]( B) M4 _3 每对顶点之间的最短路径
计算赋权图中各对顶点之间最短路径，显然可以调用 Dijkstra 算法。具体方法是： 每次以不同的顶点作为起点，用 Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径，反 复执行 n −1次这样的操作，就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法 的时间复杂度为  。第二种解决这一问题的方法是由 Floyd R W 提出的算法，称 之为 Floyd 算法。
5 x+ q1 C, ]) Y3 V. K
Floyd算法

2 J) d# e; f0 ~8 w& M6 G0 m# O# {
2 i) \- G5 d6 I2 \# Z
; C3 e7 I4 {! |
$ H# j9 y6 }8 Z0 L; [  N% S- u
; V; s2 X* q' B2 B, j————————————————
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3 U: ]- F/ h+ t- ^1 k) B

5 M1 {# V3 D) a& i% k
& b0 X$ f( H4 k. B; E
$ A. P$ t+ N* ^: T

浅夏110

德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
good try~~

. i" z# N% p7 }/ q- N* h+ b

浅夏110

德古拉 发表于 2020-5-20 08:06
good try~~

  B" N( i2 q% O0 d( D- B

德古拉

good try~~
& X* S: |) v- S9 i' O5 X