匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
% r9 y. a# c, b若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

& k/ Y3 Y, v: }: B0 P- z1 p8 v- ~* `: _若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

9 d" f, _3 G: |" u2 F【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
4 i, t) D& t$ U: l
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
. H- x( `3 x! C- c7 U
; C0 J0 B' }1 {! R∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
3 S3 X3 N9 a! j( I3 u" U7 M
由上述定理可以得出：

4 S# I+ t, |) e( w" c1 Z【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

) b. E7 p% I1 X" b! q, G- i由此推论得出下面的婚配定理：

, O1 ~# k5 A0 n/ L【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
# ^2 L8 s5 ^( ]1 ?8 b3 C. a( I- P
, h8 {8 e) p2 `* G. T" {1 r人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
0 f+ P0 F% [3 }8 |
5 \( t4 H, E+ r* z5 K
5 C: |* \$ n- ]
/ M, t" f1 R* ^' o; P/ q7 o解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
1 V( M$ G" r8 Q( N5 I& Z
匈牙利算法
8 y0 W; F0 a0 }# M# ]

- X3 d8 ]# A8 f; o$ j把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

3 N  k* M8 V0 V% s0 B. F最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
. ]1 x. ]% Z$ T& N; `2 U9 Y
, z: l5 [6 ?+ }' I" M可行顶点标号、相等子图
0 s' b( V& G. x9 T
6 h8 @7 a; i. U" U
! y# @) H+ B% S【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

* s9 l4 ^+ g! P" C库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
+ Q7 \! ?  p$ }. [+ v
0 {8 X6 x; `2 g% O: |: D9 c7 Y' }
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