匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
# ^4 Z. x  a) x- V6 D' f若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
% q( O/ q3 F$ K2 f, d# y+ I
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
$ g/ W: K& h+ l1 r2 K# u+ U
1 u+ c6 r. o+ \) w4 J( F& ~/ w- ~【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
, L+ v* y% }- m  q/ d$ h) u
9 Q- N: p+ O4 w$ {, K由上述定理可以得出：
) Y7 T' W- C1 C6 ]7 y' ~
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

由此推论得出下面的婚配定理：
  H3 w* w& l: e
5 _9 u" I0 w* C1 f8 l; ^【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
: c" s1 U3 U8 d1 i. i  E. G3 `+ j

9 E; k+ N5 ^& }7 {& K. c/ k
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法
, l$ b0 I. Z2 }, I: E2 Q9 M8 z! T4 W- s5 J

把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
( I3 k1 n0 m: t* f- s
" V* g6 P  L, y) X最优分派问题
  s$ Y0 U  z3 W" n. n6 r: w6 e在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
4 g- Q% w" p5 N" \- M
. T2 K& T& Y  V1 ~- y$ A; r可行顶点标号、相等子图


6 q) {+ p8 L1 k4 ~【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
/ d0 u  b" {$ f" H8 h
4 y* b9 F" O' k) S# K库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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