匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
% u/ {0 g6 S6 s3 `$ q. d若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

) t5 j' r7 [( w' n; e4 {/ |若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
$ k4 I. e' p4 `: ~2 z, W+ R. I
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
3 f: ^. \. ?( E- T+ P" k2 l2 p/ h5 x
∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
5 r8 G. u( s. w0 o
: d9 `- ^, U( X7 R+ k由上述定理可以得出：

$ x: ~, w' {4 d. u- J# Y" w) D【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

2 H2 ^; b1 X4 Q, _1 x由此推论得出下面的婚配定理：

: ]2 r% E" c$ V5 L$ C6 P. A【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
# A* y5 y( u* j
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

8 g+ |* ]( S$ \$ P  @

$ l7 R7 f3 S' e5 N6 B/ z3 I解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
- j4 J5 A; T3 P+ K- y" c
/ @4 k. R  Q; z" Q& g匈牙利算法
1 t. p1 M; N6 i/ d3 q" t) E! I. K
9 A5 _; L% g8 E
1 U1 r9 g/ w: y) j把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
% v# H9 m0 ^$ m, T, V6 V
# M% S% A! |+ v最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。
3 _) H9 S8 k% X- w1 A( r
% x9 e6 n9 M2 }+ D可行顶点标号、相等子图
$ B' c  s2 p9 [; ^1 H; E4 e

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。

库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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