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最小费用流及其求法

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    发表于 2020-5-20 17:36 |只看该作者 |正序浏览
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    1 最小费用流
    3 x! z0 C4 Q, n$ |' c# X上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。
    ) ?) k& c% f; C% |- \8 T3 q7 C; h- i: a: u' F0 P& e' ~# f" _0 u
    最小费用流问题的线性规划表示" H( V- V3 W* n" I# t; b) ^
    在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设  是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:6 C6 P4 A' n& n5 @8 |- [

    + t. d" g. b9 B+ b4 ^/ ~  B/ q& d) z# ]' P3 z: {
    2 {2 x, s% W  ^

    . L0 ]4 ]* x/ q  z8 v      例 19(最小费用最大流问题)
    / }7 \# k) ]3 Y6 J' |; R(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。) z( s% S( S' ?" R/ C
    ' e6 v2 k- W+ M# s  G
    6 _& O! ?7 m/ n* L$ x+ {$ K7 u

    2 i0 G, K1 K3 S2 x' G- A' q& H. {8 L* r' y4 G
    2 c* y0 p: I2 L3 w" X6 k9 P8 g解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:/ s# _7 q1 N  [8 z5 q
    model:
    8 C% D  O( U! G5 m3 K  }3 r+ D4 bsets:
    . j5 |7 b) c2 n# unodes/s,1,2,3,4,t/:d;$ q9 H, r: q+ C3 y6 O
    arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;3 n# \% m7 M  M: [% o( Z( @6 e6 F
    endsets
    ; p1 Z+ ]; ^8 {7 m- hdata:
    . M* B+ m- Y0 k9 \% cd=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
    : t9 A3 n  e7 Pc=2 8 2 5 1 6 3 4 7;# |% X- V0 b! f" m7 t( @" y5 }
    u=8 7 9 5 2 5 9 6 10;2 u$ `2 k) z' ?. P+ o; V7 z/ U
    enddata1 m1 u8 x( m+ f3 E# K
    min=@sum(arcs:c*f);
    7 N# t9 L4 J# M4 {@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));4 o: E4 V* h, B7 U3 Q% f# A% ^
    @for(arcsbnd(0,f,u));
    ' I! M. x: R2 R* v4 _" l9 I" Xend. \' `0 M- I' a

    4 S* X; C' {+ T  Z求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:2 t  k- |% P; j7 x
    / k- t4 p. C+ X4 S6 s# R
    model:
    % W& ~3 C1 S. x7 S/ Q; asets:
    6 T* S( J2 }; Onodes/s,1,2,3,4,t/:d;9 l4 d6 \* K- P5 B6 s
    arcs(nodes,nodes):c,u,f;
    & Q4 u3 I: q( o5 v* }endsets
    ( J6 H8 ?* r8 C* y( A' T! @8 c8 T% {data:4 T7 N7 c3 Z) A
    d=14 0 0 0 0 -14;1 m7 G+ Y) p: `! \3 I$ {8 @
    c=0; u=0;; R, n% y- R1 K% g# k0 z0 B% q) p/ d
    enddata
    4 ~9 p. u/ K0 @calc:( l2 q5 U2 T: Z5 \* l& ]* X
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;- v1 `* Q- N5 r
    c(2,3)=2;c(2,4)=5;
    % z8 ?. g* Z0 f- g, A& B: pc(3,4)=1;c(3,6)=6;
    * V: w/ O( s% l6 \! sc(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;8 \. l. ?: _' e- s1 b" o( v3 u8 J
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;
      q) t7 W* m. e* `$ B/ S+ bu(2,3)=9;u(2,4)=5;7 s; ?* y5 b$ T4 b- F
    u(3,4)=2;u(3,6)=5;
    + F- ~$ z9 w; b0 A7 U4 ]9 h$ Z( Pu(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
    . F( X9 Z2 ~2 e! r/ N1 N( ]endcalc) B/ g2 k# v: }4 p3 t. |8 d
    min=@sum(arcs:c*f);
    , W. _4 r& @. S  G9 [) s@for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));
    ! M% ]: K4 t2 }@for(arcsbnd(0,f,u));$ \8 B1 g$ l" O) L, V0 [
    end
    0 X# r9 U( ?5 D: q% ^- V, {
    ; }+ O: @; S. d2 求最小费用流的一种方法—迭代法
    6 q& n0 H" E8 M# T这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:
    ; d$ W3 `: o9 ?  g$ s9 ~+ {, K7 k6 e, Y% S2 P- |
    6 l0 n0 n: n, t

    % c0 g) ~. b# i$ d7 U下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。
    0 u8 |# m7 e( t+ j1 H/ p1 y3 k- q: Y$ n( q
    求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):/ D! ]4 I& F' c3 n* z$ F& k" r+ u" E
    2 B% H/ C8 B4 o! T) P
    function mainexample197 a5 ]5 w' s; N1 \% ^4 f
    clear;clc; 3 N8 r$ A( m9 m: g. X
    global M num$ S2 ]  l7 |8 E2 E2 E
    c=zeros(6);u=zeros(6);
    : ^& u0 y7 P' F; n( Z' pc(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;
    ! i- ]  A: e* X2 A' x3 ec(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;
    - A0 Y% S/ K* p4 ]u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;$ `3 q6 n- ?$ Y+ y. q
    u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;
    0 i9 @8 J2 S' I) {+ Cnum=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
    - d# i& z, [4 ]3 G[f,val]=mincostmaxflow(u,c): l) U) Q, n( ]' r: I
    %求最短路径函数
    + Q: I3 s  k( @function path=floydpath(w);( ~& |. T2 l) g# `& Q2 ], D8 D1 P) q& O  z
    global M num! V% D$ m: n9 h1 h9 U# ?7 [1 H
    w=w+((w==0)-eye(num))*M;
    7 r1 ~. A5 d) S. e+ k  np=zeros(num);( m4 D0 O% K3 D) I- |( G
    for k=1:num+ e$ L' c' X6 i' s: A/ ?" E- y
        for i=1:num
    * H- S; t0 t% p        for j=1:num% c  W3 Y6 d, Q9 b8 b! x* _- ]% x
                if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)" ^$ D4 Z& k& L1 d6 e) n/ L: ?
                    w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);
    1 }& k* y$ h5 Q( w7 s                p(i,j)=k;
    % l- }5 v9 A3 v% j- K            end) }0 X1 n2 x0 v' a
            end2 q8 S1 s: C. H; G& e: q
        end
    : o# y; |, C6 \2 L' Lend
    9 s; k4 y* O) X1 V  _if w(1,num) ==M( k  r! B: O, Q& F
        path=[];6 |- A0 q. g# i
        else
    2 k0 I1 u* R1 P# V. [1 K  ~; C1 s    path=zeros(num);
    ; k6 x8 l. ]) L% K0 `  A* X    s=1;t=num;m=p(s,t);
    0 p0 j( a2 h" M- R, ~    while ~isempty(m)
    * g0 g. j8 t4 D9 z. L6 x        if m(1)
    * e  ?8 {2 g! U' z            s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);  J6 b8 m9 j" A; d9 Q' k" K1 p
                m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];
    $ n/ w$ V/ E! s        else
    & d% F& z& T: {            path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];
    + R# T+ Y8 j, A' K# R        end
    . r$ U# f* |4 O6 d& ]    end
    ( O/ X9 l$ c- h6 N% c; _) Wend7 _5 w$ ?3 l& K$ L8 u+ p9 d
    %最小费用最大流函数) A5 ~6 S5 u, ?% N$ h
    function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);5 K: i3 P7 }: k8 Q) l
    %第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;. m0 B: S% L. x8 c
    %前两个参数必须在不通路处置零
    2 Q$ \2 d8 n" |3 z9 j%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)
    & W; o! U4 M- ]- x4 h! F%返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值$ A4 y- K9 P; p+ c2 H0 ?  U
    global M
    + P, r! s4 _: E, R" B1 E  b( Pflow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);
    5 a' Q) Q) E" c/ I8 Q9 q8 Qif nargin<3) }2 c7 C, b5 U! a$ ?8 ^+ E# ^
        flowvalue=M;
    7 o' `3 U7 _' I$ _  i' wend
    0 S+ M' X) m" F$ Pwhile allflow<flowvalue
    $ M, }4 `* N  |/ [: k1 ?    w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';
    + D, ^5 }  }0 w% _) j% d    path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数4 ?  z6 \, I! j' D) g7 ^
        if isempty(path)
    " S/ Z5 O$ a4 o) a% i/ i" ^5 R* @        val=sum(sum(flow.*cost));
    0 q( c0 c% I) A        return;2 ?! S2 v2 S/ ]# ?9 r
        end2 ?! `# u" T2 I$ f, o# v
        theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));
    1 s8 p" F& x# ]4 U& x    theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);
    # n6 d* t9 H8 L    flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;
    / X0 K6 A' J0 c; v    allflow=sum(flow(1,);
    - I0 t/ b' X' z5 }$ Z) dend' W. g7 Y" l$ S
    val=sum(sum(flow.*cost));
    + K. j8 a8 j; g& n4 g% r" i
    , Q5 e/ ^; A/ M3 y* s- \
    2 e' G2 i: i1 D9 |) F/ D& E7 r
    . Y4 g4 Y2 J) |. j( w0 d9 y. P+ v
    0 {/ w' p8 a  \) D3 S. L- k————————————————
    - Y( N( l) u' G+ D% B版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。; w: n- Y0 K' f+ ?9 _8 g( W
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628
    ' N3 t; q3 J7 w; b6 ~; t
    % C5 m9 ~, G4 O6 A
    $ Q& l- f# L% h  J$ k0 _/ G2 k- Q$ U
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