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最小费用流及其求法

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    发表于 2020-5-20 17:36 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 最小费用流! E  D$ |) m9 v8 J
    上面我们介绍了一个网络上最短路以及最大流的算法,但是还没有考虑到网络上流 的费用问题,在许多实际问题中,费用的因素很重要。例如,在运输问题中,人们总是 希望在完成运输任务的同时,寻求一个使总的运输费用最小的运输方案。这就是下面要 介绍的最小费用流问题。7 Y5 B% g( Q: P0 n! u
    * ]7 ~/ G8 x; f0 v. r
    最小费用流问题的线性规划表示
    5 P; r5 i) E) V* l2 q! q在运输网络 N = (s,t,V, A,U) 中,设  是定义在 A 上的非负函数,它表示通过弧 (i, j) 单位流的费用。所谓最小费用流问题就是从发点到收点怎样以最小费用输送一已 知量为v( f ) 的总流量。 最小费用流问题可以用如下的线性规划问题描述:
    + _& B% T8 B8 e9 [/ S' |$ ^3 r+ t- H4 {7 G

      T/ w2 a$ M% a" h* c* @2 `2 j# \* O1 |# B  m" B+ J8 t  }& t1 {
    ) d8 g7 F& L! g, [5 @
          例 19(最小费用最大流问题)
    : M2 N2 d8 Y" n1 `, i- u" Q(续例 18)由于输油管道的长短不一或地质等原因, 使每条管道上运输费用也不相同,因此,除考虑输油管道的最大流外,还需要考虑输油 管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络,其中第 1 个数字是网络的容 量,第 2 个数字是网络的单位运费。
    . T5 \; S/ R1 z( t2 [
    # R) I8 d' ?6 X' w. Y1 f/ x: }8 F4 Z4 y1 G$ Q& }

    7 _/ [. |% ]! \% X9 v; |# v
    $ p8 V6 v  }3 M+ \; H解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下:5 L! ^' \# t: [, h  H0 t5 V5 Y9 Z8 ]
    model:7 q  M8 D' v; q$ h: `
    sets:! v- y8 d/ c0 g; a# W9 \  y9 G  Z1 ]
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    * N1 z$ ~; D2 Q1 Narcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,3 4,4 2,4 t/:c,u,f;
    ! n* p& {1 u/ N7 l& o% hendsets
    3 H7 u, v4 a) {  G2 P( ]0 o( pdata:* ?' L1 T% z+ \# L
    d=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14;
    ( s5 |* |5 Y1 l! \. \c=2 8 2 5 1 6 3 4 7;
    ; f; v; K6 w- gu=8 7 9 5 2 5 9 6 10;0 J+ x2 t/ R  ~4 c& h7 O% L" t
    enddata. Y7 |$ P/ t9 \; Q" Y5 J
    min=@sum(arcs:c*f);
      @! L( _5 B. z@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i));
    ' w5 S/ Y1 y- [: ~$ C) l@for(arcsbnd(0,f,u));
    / s( w% Q0 K; hend
    ; A- Z3 f; R& f1 E; X- W" j7 H4 A" F% V' @
    求得最大流的最小费用是 205,而原最大流的费用为 210 单位,原方案并不是最优 的。 类似地,可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下:
    + F2 Z; V" h) }' a7 o: V/ g6 Q' e" J* l8 m& m% i/ s* o
    model:
    4 Y" C& e9 u4 C# `6 gsets:* g. Y$ [2 G+ d7 m+ m
    nodes/s,1,2,3,4,t/:d;
    4 L3 d/ [7 v/ g. @. q; e9 ^arcs(nodes,nodes):c,u,f;
    0 O/ x9 X, ]4 `3 ~endsets. _1 ~! M& x6 m) t# E
    data:
    & s' |5 k1 h9 J1 Ud=14 0 0 0 0 -14;/ r8 y3 k4 E( v  i1 \0 J: ~: c
    c=0; u=0;4 r, Y5 l: x. F1 D
    enddata
    ' }3 I0 w9 z7 l" i- ?calc:0 f3 S* q3 F8 d) N
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;
    + B2 H1 ]" q4 D  r& Rc(2,3)=2;c(2,4)=5;
    / ?" I' N( N; qc(3,4)=1;c(3,6)=6;" c3 s/ N1 J! k8 R! ?6 P' `' ]6 T
    c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;8 N- C5 r: B1 @/ g
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;7 J, m0 z1 H- n% C
    u(2,3)=9;u(2,4)=5;
    . o( i' U& m8 U% K" [u(3,4)=2;u(3,6)=5;0 o3 b/ [  e( e3 _% a
    u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;  M% y1 K% E2 y* G
    endcalc  z# ~8 O2 q" I
    min=@sum(arcs:c*f);
    0 W) t5 v8 @- h0 }5 t+ `% ?@for(nodes(i)sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i));3 ]% `1 ^/ ]+ A. a. ?
    @for(arcsbnd(0,f,u));
    ! n* c. s* l4 tend
    0 C) c( K& L5 x% }$ R
    9 E4 y0 U3 D0 ]1 M, S$ v2 求最小费用流的一种方法—迭代法
      p' l7 ^7 y  P2 u4 U1 U4 F这里所介绍的求最小费用流的方法叫做迭代法。这个方法是由 Busacker 和 Gowan 在 1961 年提出的。其主要步骤如下:' r/ Q/ s! i' X9 e
    ! A  q$ e1 ]! s  r/ x) u) ~* _5 a
    ) H0 q. F1 h. |5 C" Z

    + W; l" s# P* z0 Q下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow,其中调用了利用 Floyd 算法 求最短路的函数 floydpath。' X% P' }: e. }5 G) d$ C( R( }
    3 w; ~/ B( Y+ K
    求解例 19 具体程序如下(下面的全部程序放在一个文件中):& H0 |0 N1 n) [7 s. A1 l

    3 L4 e- o* q) g7 Qfunction mainexample19
    1 u5 ~5 K* n; o' z& y8 V, C) Fclear;clc; , ?8 g9 J/ }5 u# L- Z* I
    global M num8 \/ K: i- Q; }+ n" v* I
    c=zeros(6);u=zeros(6);8 ], H) N& S5 p) H" \9 W% ?
    c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5;* Q- x1 ]& R7 b. _
    c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7;, X+ I: u6 {: b  t+ y$ z& [
    u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5;8 S. t( i# x, U& ]
    u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10;- o" I3 I4 o* R+ t& y
    num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2;
    $ W  h6 [9 E1 T9 w7 x) X8 \[f,val]=mincostmaxflow(u,c)
    / b4 Y1 Z* e% Q. v# E9 k: t$ {# A4 S%求最短路径函数0 m& j. A! F4 S% r! k
    function path=floydpath(w);
    . P" K5 x: a6 Q1 m% n) I5 zglobal M num2 P( ?! a3 v0 z1 l
    w=w+((w==0)-eye(num))*M;* S0 y' D4 m9 t( y
    p=zeros(num);9 Y" @  s% k' q+ ]
    for k=1:num
    - r- _& V5 @' Z& v: s/ c    for i=1:num4 W, p" s. E) {
            for j=1:num
      P" |; |; g' X$ D9 ~) i1 V2 }            if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j)) R  z" K8 s$ L7 s
                    w(i,j)=w(i,k)+w(k,j);% c% r4 X1 x6 Z9 |0 Z
                    p(i,j)=k;) ~5 ^. F5 E* m4 [5 T8 X5 v& W
                end5 W- _* A/ \9 ]4 S9 P2 ]5 e; {
            end
    0 T1 a$ z7 R: U& W" o$ {    end
    / J9 }; C5 d# z# R7 Aend) D; x# M7 D: C% R0 `& \
    if w(1,num) ==M
    " R7 A: ^. s- p! }8 b' V6 W1 B    path=[];+ d6 o! b  s" M0 |. ^
        else
    / \' W0 T- h9 @    path=zeros(num);" ^( _6 v1 s8 M9 ?
        s=1;t=num;m=p(s,t);
    ! w5 n* Z& @" G6 v2 y9 J6 _    while ~isempty(m)# B2 A" n& `3 F# M7 Q
            if m(1)
    7 d3 @6 ^+ f/ k! Y            s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1);1 y3 d  E( \- Z' y" H
                m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))];3 l/ w! `) T5 `" r% c& Q3 o
            else
    8 k! F5 [) D% A" k* @. c' S            path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[];. L; z( Y, d5 ~( M2 @1 |
            end2 y+ M- }4 Z. Z6 d
        end7 B9 ~( s$ `$ L' X  r* @- ~
    end
    9 ^! I$ H+ j- o* r%最小费用最大流函数( z' w7 x6 G& |7 P3 K
    function [flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue);# N5 t9 a  k$ D2 P
    %第一个参数:容量矩阵;第二个参数:费用矩阵;( d' ]% ?& g, R3 H7 L, ^$ Q1 G0 g% x
    %前两个参数必须在不通路处置零
    6 U* j) |, a9 P1 D+ \3 n%第三个参数:指定容量值(可以不写,表示求最小费用最大流)6 \4 h6 d1 z3 U2 y1 K1 |( i- g2 O$ H
    %返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值7 N# m& z3 U! b! U; P9 q
    global M; K2 `6 ]  }! Y# N$ p
    flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,);
    5 X: @) E1 i+ P  N3 M  F( `2 D; ]: Eif nargin<3
    7 r) e% K: }- H    flowvalue=M;3 T  L1 t/ @* r: |( T" u
    end
    ' K; S- k+ h. K8 Nwhile allflow<flowvalue
    , H( ?5 S9 V3 g7 U& {8 e# r. q    w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)';% O, L7 q" z0 k) |' S; k$ X& A
        path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数
    * r/ U- E- x" f* S0 m    if isempty(path)
    ! E# X5 L# w. a; h: N: c2 C% p  X        val=sum(sum(flow.*cost));" c' w/ D9 a! J3 n5 I
            return;+ V! ~: @; y9 G& E2 j
        end& y9 i, [! X/ j" j: E' F/ Y
        theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M));' ~* c* W" l9 V" l4 p, k
        theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]);) o3 J- A6 s: ?' ?2 ]
        flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta;0 @; k) I7 C$ Y7 t
        allflow=sum(flow(1,);
    ' L5 \2 O* W  |( Q, Tend* y0 T; O+ f4 \$ q7 x. m/ J. v
    val=sum(sum(flow.*cost)); % d" Y- J, z8 P7 ~$ k

    & {* a) B" ]* _. e8 D1 e( X3 S. T% d. i4 }6 a. a

    4 U% n9 }) [; ]1 s5 p) s" e1 }. v. S/ {: D# c
    ————————————————" V1 K) P& H! x! ?/ A
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。0 f5 ?4 b( \6 ?6 a
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89787628
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