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TA的每日心情 | 慵懒 2020-7-12 09:52 |
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RBF的直观介绍
6 W+ q8 B; E4 r- t5 \9 W/ JRBF具体原理,网络上很多文章一定讲得比我好,所以我也不费口舌了,这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识3 q- z* q/ K z
) W. I: ?# ?2 p
1 RBF是一种两层的网络' V5 X+ w2 s. @9 F
是的,RBF结构上并不复杂,只有两层:隐层和输出层。其模型可以数学表示为:
- B3 R: h/ F2 jyj= i=1∑nwijϕ(∥x− ui∥2),(j= 1,…,p)
. W0 g9 h* `4 k3 E5 m![]()
( ]" \& L. ~7 T![]()
) S& X( N) i* K+ P2 RBF的隐层是一种非线性的映射: |* k* M* w9 F4 @5 G3 I
RBF隐层常用激活函数是高斯函数:7 U b$ q# f6 A
2 A1 J s& w0 g1 Iϕ(∥x−u∥)=e−σ2∥x−u∥28 J& i( l9 E+ T
2 Y1 s. n# `' u. R$ q
0 e, T/ y0 e+ j% ?6 k
- O3 @/ L8 E h" ]# E) T a
3 RBF输出层是线性的4 J u" h& V0 w" ^, s
4 RBF的基本思想是:将数据转化到高维空间,使其在高维空间线性可分4 A U: z% K% t/ O& v# U8 H& Y/ B m
RBF隐层将数据转化到高维空间(一般是高维),认为存在某个高维空间能够使得数据在这个空间是线性可分的。因此啊,输出层是线性的。这和核方法的思想是一样一样的。下面举个老师PPT上的例子:; R" M$ }4 H5 Y% w
* R3 X* l) h ^
) H4 |+ C Y2 W E# H上面的例子,就将原来的数据,用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里,XOR问题得到解决。可以看到,转换的空间不一定是比原来高维的。; `% D& V0 e: F/ c2 j, u% C5 T
! k! a' j f. c9 }RBF学习算法, R9 [& I$ I; q! X# _2 \: v& ]
8 ?: ~- \3 ?0 Z" x
# [; I7 N7 _0 z h8 t
/ V g5 d. m, r ~7 a( k对于上图的RBF网络,其未知量有:中心向量ui ,高斯函数中常数σ,输出层权值W。
7 U0 {* N) t h# q! P$ H' m3 j学习算法的整个流程大致如下图:2 o. @0 N% v4 S! O: o' u
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="W W" role="presentation" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; display: inline; line-height: normal; font-size: 19.36px; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;">WW
! c: I# l) \, L0 [. w* d6 ? 4 ]5 t, h* T2 |- {4 {9 e
1 B2 b4 |! E4 D; K' Q" W具体可以描述为:5 A' Y E: H: \
2 X5 P7 }' W9 D+ n( y8 j8 K+ l1.利用kmeans算法寻找中心向量[color=rgba(0, 0, 0, 0.749019607843137)] ui- U) z) ]1 k, r6 {. M
, |$ R+ ?" r. v- G% W6 a& M* s( Y. Y2.利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 σ[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
) q+ q% L+ z5 L σ
, K/ ~: v9 d7 ?4 E* g. \i=K1k=1∑K∥uk−ui∥2+ Q; b- d$ g8 `& L- T) _& ?
2 p+ ~' t7 {: o4 B# p6 z0 L; a
) h+ U% P W; f$ N# U8 n$ I
y( p" F' ^3 a( @ @% K6 Q3. [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]W [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]可以利用最小二乘法求得3 Y0 Q- w8 ]7 i9 _0 T
d+ y8 H+ k+ Z% VLazy RBF
5 K7 P! Y H& N* Y) [& \
; E6 N9 N# U& ?7 M可以看到原来的RBF挺麻烦的,又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF,就是不用kmeans找中心向量了,将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话,核矩阵Φ就是一个方阵,并且只要保证训练中的数据是不同的,核矩阵Φ就是可逆的。这种方法确实lazy,缺点就是如果训练集很大,会导致核矩阵Φ也很大,并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。3 m+ g' P% q4 x- {; ?
![]()
+ S8 \" |2 f: Q2 ~9 \3 X* n/ TMATLAB实现RBF神经网络下面实现的RBF只有一个输出,供大家参考参考。对于多个输出,其实也很简单,就是WWW变成了多个,这里就不实现了。$ c+ \. T3 ?' Y/ N* {. y0 X
( `7 c a) z U7 @7 N
demo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测,展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。
. y! X- `( q2 p0 t, a, }/ f
7 D A0 g/ z Y; t- p; X1 J% J& iclc;
# E, ] G$ f/ e$ h1 G- Eclear all;
- T. N5 R2 {( M9 Cclose all;
y. X$ w' S# b; @6 V- X
. \8 @. I3 w7 s! |%% ---- Build a training set of a similar version of XOR2 A# `. J0 y2 o* ?0 F5 b0 g
c_1 = [0 0];
8 y* I) \9 a2 x, mc_2 = [1 1];
, z: V# w. p. j5 g2 d# J1 zc_3 = [0 1];1 m1 s4 t! Q8 G( [2 w3 c, d0 Q
c_4 = [1 0];1 t9 `7 D" W; k5 l& u! D0 ]
1 z/ H8 u9 w* O: dn_L1 = 20; % number of label 1& A# k$ E$ y5 T* P0 E$ R$ g
n_L2 = 20; % number of label 26 H; Q2 \. v7 g: N( P
" i7 l J) A- ?+ n- E. n j* z
m" c! [" ^$ `2 R
A = zeros(n_L1*2, 3);1 z' M* F4 B3 [9 F$ G: ^1 i) k+ i
A(:,3) = 1;* O1 \1 B6 b1 m! k% N" q
B = zeros(n_L2*2, 3);
2 h. U( q: k d( B9 S7 ?B(:,3) = 0;8 }" t7 B! ^0 e) s. b* I
& a% p3 A: X1 d) N+ ]
% create random points
# S; }8 V, W2 E" Bfor i=1:n_L1* G- i, L, a* K4 t5 Z/ U+ ]
A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2;
; c% V0 H% H+ |1 K/ s" ?$ x; q2 | A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2;* h4 N1 D# {4 l
end: b- M; U' B- [, d( P0 m0 R
for i=1:n_L27 k$ s6 l3 ]: I8 x
B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2;
) w+ c- ^3 B# }. g- G9 [ B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2;
% P1 m8 b% j( o" n% fend
5 }8 }2 O4 k: u2 A
5 \: N8 @" h# f7 q" ?. j% show points# t8 n7 P6 C, N3 d* e. O
scatter(A(:,1), A(:,2),[],'r');
# }. G' R; E0 i8 B# \hold on4 _ i/ m. `2 T2 w0 @) v
scatter(B(:,1), B(:,2),[],'g');
: D0 G8 \2 Y" {, Y! c* HX = [A;B];( I. D3 ^, h8 Z# ^* T
data = X(:,1:2);- U" T% t" X' U; e, s, I" _9 o
label = X(:,3);
r, K$ }# N1 ^3 S8 f% P
- _* J9 f# {7 h. g7 x1 t5 z: j7 C%% Using kmeans to find cinter vector
! `1 e- K- p8 l0 i9 ?1 Vn_center_vec = 10;
0 k0 P! n1 j' ], H) Z% I% c7 yrng(1);# h; |4 R( D% Z5 T) ]( g
[idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);4 l ]+ U" @0 Q$ ]3 Z; F, A' E
hold on
/ \' N9 F. N* u* { E) ~scatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);7 E4 d- A4 K6 r
& H! x$ V; [9 u3 T( ~%% Calulate sigma 2 E0 y% l& C( g7 y+ @% _
n_data = size(X,1);+ Z# i- ]+ F; Q4 M
& T: U( J% k- o) p0 v, \
% calculate K* I* Z$ Z- y' }' \# P8 ?
K = zeros(n_center_vec, 1);* H% ]5 f. c: P6 J$ Z- i- g1 k
for i=1:n_center_vec, x: F& B. |" _6 C, t. _
K(i) = numel(find(idx == i)); 7 [+ E( t7 p3 g1 D
end$ c' c1 J! I9 d
+ e& g* x1 ^$ R, B* W8 i$ g/ \. q% Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector3 f9 k; h# I! V: X! M0 Z
% then calucate sigma% w4 h- ^ M6 N4 c. c. u: F! B0 Q
sigma = zeros(n_center_vec, 1);
, |. S: p0 A, Y' t( u9 g7 yfor i=1:n_center_vec
6 e' u) k! l( ?# v( v- ]. Q [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));
4 ]! u$ O. F$ u& Y/ r L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);' E! V+ e8 [% Y: {4 N
L2 = sum(L2(:));
% d+ f* Y5 \: K sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);# S- ~- k. v' r
end# O$ j; v1 n$ V& `$ J/ b
2 o& b+ c* i, q& M) k
%% Calutate weights
v; M: _, L1 L, G" ^& ~/ B8 @% kernel matrix
}3 o' C7 i6 ~, C9 Gk_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
) g. x( x! R% @' r5 g8 E: W; n4 Y) c/ U5 K! m& h9 m
for i=1:n_center_vec
9 c$ p( O" J& |. Q$ L r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
: F' o, a% A' ` r = sum(r,2);
9 Z0 }3 U, b0 [3 S6 `( N; m. c k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));; D4 v( C1 c! g; p9 ^/ c
end5 E! B( `' A2 P8 S1 F; @
D( K& F" C b7 F5 R' P
W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;% `5 l$ G( @' a. d: [) w0 H
y = k_mat*W;0 c+ O" q! V5 n( P! B- i$ [ i
%y(y>=0.5) = 1;
5 n6 P7 l0 Y1 b+ C! s, e%y(y<0.5) = 0;
3 k8 C8 s6 `4 B/ ~/ b8 D4 M! T, X' d( y) H
%% training function and predict function
7 T) \7 O) Q0 ]" h! B7 F- e[W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10);1 G) m6 b! d2 O
y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1);
6 o3 f) L6 q- N% d+ @$ r) R[W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2);) j7 E# \; W4 A2 T
y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2);$ A. g; _0 E7 v
8 E1 M5 O$ W7 U% O
, ~% S k2 E' I& A! Z
上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢?这也是玄学问题,总之不要太少就行,代码中取了10个,但是从结果yyy来看,其实对于XOR问题来说,4个就可以了。
9 t+ B( X0 e5 b) c3 r5 y1 g$ Z. y. F) w- {" k5 W' N
RBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装
% @8 m5 I$ m8 w3 y$ `, S6 Wfunction [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec )( d" z. q2 Q: L2 U
%RBF_TRAINING Summary of this function goes here
5 b- y* y1 v( f% p: r' e( Q% Detailed explanation goes here5 n2 i' k2 Q2 T9 z R3 A4 ^2 s
, o( ~2 |+ G5 F7 u5 G" K& ?. Y( T! |0 E9 | % Using kmeans to find cinter vector
1 d6 J" Q: G" D7 d rng(1);$ {3 F1 r/ e3 A& B" q: T
[idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);7 ^+ u' E2 _! |
( h( s e" L1 j/ g& O6 w3 `# _ % Calulate sigma
* i& b) ?3 |" \0 {( t; {) V! ^ n_data = size(data,1);: Y' n+ j; q2 H2 ?: Q
% k0 g% g G @4 P % calculate K& I& O! \% a9 r8 \/ B1 D. [
K = zeros(n_center_vec, 1);
' m2 p% J. y3 c0 Y X for i=1:n_center_vec
" Y; l" [: j# E* w0 S K(i) = numel(find(idx == i));1 ? g/ _2 ~- i& w" Q
end% z$ ^3 d& t2 B" L& e7 P& Z
: C4 M( M% J2 S& T
% Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector' V1 C/ V0 Y, u; \# r
% then calucate sigma& g+ }& M, H6 ~, \; E4 |% T
sigma = zeros(n_center_vec, 1);. y z3 c f- H2 @
for i=1:n_center_vec
% I. H+ g' W4 B( i7 y [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));& J3 X9 H7 e* i4 {
L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);6 F; r0 Q$ S0 [, W; W8 S; v
L2 = sum(L2(:));
2 X5 p; r& d. U sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);
7 V& Q3 N: i) l/ T5 P( @) F: m end4 O8 G1 ~# {. Q* L0 A
% Calutate weights
3 i; `; j3 }" c5 W: ~ % kernel matrix9 S* D* |9 l6 H4 H+ X3 U) G
k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
; e2 k! l) `7 J9 \' I# S8 L3 F+ X9 `4 ?' |: _! y
for i=1:n_center_vec
7 ^! ^& ~6 c+ ~( { r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;7 K6 g9 X& k ~5 f9 f
r = sum(r,2);
f: s0 ` Q, x k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2)); K. b+ n$ y$ ^# e' O: Y- G
end
# H4 I: a7 K- W2 Y7 ~ h. d* ^# [+ c# p4 H5 A. N
W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;: c! Z7 f/ z3 W
end' F0 I; Z) u: }0 r X' T7 W
8 g! l) a- O$ @1 VRBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现,主要就是中心向量为训练集自己,然后再构造核矩阵。由于Φ一定可逆,所以在求逆时,可以使用快速的'/'方法3 O$ T. \; _/ }
2 H! s, A3 V) z& ^" c$ p
function [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma )
+ ?# h1 _; R: U5 T& N%LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here0 H& {- H. S0 B# N- A# X
% Detailed explanation goes here9 L8 U: Z7 H1 y! |% G& I1 t9 D
if nargin < 3' N. D+ k! U* a! G; X$ B. G
sigma = 1;
% Y4 U* A$ N# ]$ f/ | end
+ s2 h# J7 }8 E z$ ^8 v# W+ G$ h
8 O1 ]- s$ \. }0 ` n_data = size(data,1);
2 H( i+ \& @ C! { C = data;
; V; T0 Q0 d9 o W
" o W# t% ~' j8 W6 `5 y" S % make kernel matrix6 c* H% R ~7 _
k_mat = zeros(n_data);& R1 q+ X0 Q3 d& W; l+ Y
for i=1:n_data! N; @/ R; y2 u6 L" X+ g
L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2);
7 g" Z1 A( [" h: T& D9 U/ n k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma));
6 |$ I! L/ Y# v end
: e: S) h: u: O f$ i2 I* j. R& ~1 H+ [
4 d& @1 v3 L: y3 s: r W = k_mat\label;
( y7 `& \ e( y3 j0 a6 bend4 n- j, z. A2 c0 M
0 Q" j1 f7 s! O. ~5 {RBF_predict.m 预测
; x3 K6 O" ?$ c1 ?# k$ w4 t5 e8 x. A$ j
function [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C )6 l8 _9 \) `; P4 S5 \
%RBF_PREDICT Summary of this function goes here! X, }4 ~& Q1 w4 p
% Detailed explanation goes here! C+ l9 m" S5 {- a
n_data = size(data, 1);
, B: n$ j3 ]/ Q! { r* _ n_center_vec = size(C, 1);
1 B8 s; T9 l& q& w, y! W1 K% T" d if numel(sigma) == 1
, X4 O+ H u6 T q4 H- m sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1);/ w* Y. T' H& H, H- ^* F: [
end' X$ ]8 L- H4 D% C1 M2 N- Y& W
* U1 e7 `6 f. \
% kernel matrix0 z5 o. ~( r) d6 u: e$ @
k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);
5 q# V/ d G1 [0 [. W% z- d for i=1:n_center_vec ~2 ~# `8 w' o$ M; U. b
r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
9 ^; o# q2 s, `6 H- y) {/ j r = sum(r,2);; t& e7 r" q0 o4 ~+ ]% E }
k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
0 R2 X& n; U5 X( \2 Q end
1 e$ ~$ b. y: P3 U- n" h
. g9 }' ^" P/ ?# o; Q& ` y = k_mat*W;! m+ P1 K& h% G T
end3 w7 [- v8 Y: g$ M3 Q+ j
' \: d) E' \' ], D' ]* W8 y# U
————————————————. k, J2 s$ x! o
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~! n+ Y: L0 Z0 [( }* `5 W, B* j: P$ d T9 G( j
& o; W7 w1 Q% Y6 P8 Z A/ w
0 I9 X9 V5 b' A7 _" y |
zan
|