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[国赛经验] RBF神经网络简单介绍与MATLAB实现

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    1#
    发表于 2020-5-23 14:56 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    RBF的直观介绍
    1 u; I9 ]* }; w+ X& g, r7 j! H. \RBF具体原理,网络上很多文章一定讲得比我好,所以我也不费口舌了,这里只说一说对RBF网络的一些直观的认识
    ; P8 ~7 ^, r) `7 x/ M) V" E, L) T: Y/ p7 q
    1 RBF是一种两层的网络  a& y6 d  `  U/ L" [8 w
    是的,RBF结构上并不复杂,只有两层:隐层和输出层。其模型可以数学表示为:
    1 i  Q, l$ D' j, X- _
    yj​=
    i=1∑n​wij​ϕ(∥x−
    ui​∥2),(j=
    1,…,p)

    % Q* n7 g' ~+ B9 d) f/ {* s" q3 K. m: D
      p0 e. U: R, w. `+ _" i
    7 p% b' k2 K8 ]2 RBF的隐层是一种非线性的映射
    * j9 Y/ c6 j* s( B# tRBF隐层常用激活函数是高斯函数:
    9 d7 p; D- \% t+ k* J! B
    ) h, |- U, G, J5 Q8 d8 tϕ(∥x−u∥)=e−σ2∥x−u∥2​
    9 c3 n; f8 V1 E% R3 v7 V$ \9 m( m( u& G! ~* u* I' @* j! D; k( }
    , Y) C% I; ?* _8 x9 m5 G

    1 I  a: h1 Z, X( x  ?/ \3 RBF输出层是线性的
    5 e3 D& X. ^1 e# ~4 RBF的基本思想是:将数据转化到高维空间,使其在高维空间线性可分
    0 M+ [/ V7 T5 ^RBF隐层将数据转化到高维空间(一般是高维),认为存在某个高维空间能够使得数据在这个空间是线性可分的。因此啊,输出层是线性的。这和核方法的思想是一样一样的。下面举个老师PPT上的例子:
    & p  K! R% e; T  I4 |8 K  @3 x1 z" ]2 R- Z
    ) E3 ~+ t8 F, I; n, K% X
    上面的例子,就将原来的数据,用高斯函数转换到了另一个二维空间中。在这个空间里,XOR问题得到解决。可以看到,转换的空间不一定是比原来高维的。
    3 L7 w& Q" x' C( y: J# l0 d6 O2 v  o! y% V
    RBF学习算法7 @. b$ U0 w4 Q' q5 G6 _" I& M+ J
    , Z* `+ X! o0 I$ x0 B  r
    $ `( X& q6 l) Y5 W5 L& K

    0 [$ E# d2 Y3 b' g3 j" Y, \对于上图的RBF网络,其未知量有:中心向量ui​ ,高斯函数中常数σ,输出层权值W。
      c& g  E+ t  V- [学习算法的整个流程大致如下图:8 l+ J3 t* b' F3 D
    <span class="MathJax" id="MathJax-Element-5-Frame" tabindex="0" data-mathml="W      W" role="presentation" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; display: inline; line-height: normal; font-size: 19.36px; word-spacing: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border: 0px; position: relative;">WW
    3 y9 N9 Q4 Z6 ]  J* G4 o$ ^. p
    : h; k3 x) j8 U" N. |# O: L- N

    : T5 k7 Y' ]. K" C2 ^2 Y
    具体可以描述为:1 [# `2 O! s% Q
    5 u7 ^+ l5 R- g1 Z/ }4 C: b
    1.利用kmeans算法寻找中心向量[color=rgba(0, 0, 0, 0.749019607843137)] ui* L: A- v3 V* [: N8 z7 E% Z

    7 o' V8 b7 L" x4 N6 V2.利用kNN(K nearest neighbor)rule 计算 σ[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
    1 ~7 _7 E- n4 }7 O
    σ# T0 i1 Z7 ^5 F# }( d# M6 t
    i​=K1​k=1∑K​∥uk​−ui​∥2​
    5 u* ^, r  J' O% x6 h! \+ C% I7 [

    # j& u/ B& A" B7 ?4 q
            
    6 A2 f% N# L% C1 f3 m$ a3.  [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]W [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]可以利用最小二乘法求得
    ! q! G3 [3 X& k- I$ X* Q6 E- s( j* n5 f) ?1 d
    Lazy RBF
    ' c3 g3 h1 J8 I( ?8 }+ J8 ^, N6 m: a- ?
    可以看到原来的RBF挺麻烦的,又是kmeans又是knn。后来就有人提出了lazy RBF,就是不用kmeans找中心向量了,将训练集的每一个数据都当成是中心向量。这样的话,核矩阵Φ就是一个方阵,并且只要保证训练中的数据是不同的,核矩阵Φ就是可逆的。这种方法确实lazy,缺点就是如果训练集很大,会导致核矩阵Φ也很大,并且要保证训练集个数要大于每个训练数据的维数。  `; A: X( E2 Y, t8 r) p4 L2 ]+ F9 o

    2 m8 W/ T& F' c; B, q7 {MATLAB实现RBF神经网络下面实现的RBF只有一个输出,供大家参考参考。对于多个输出,其实也很简单,就是WWW变成了多个,这里就不实现了。% U! \+ b9 v( M$ H, k3 j
    ' u  Z' B+ s# n: `3 K1 l
    demo.m 对XOR数据进行了RBF的训练和预测,展现了整个流程。最后的几行代码是利用封装形式进行训练和预测。/ _. m: i' q  P- u4 c4 L% G

    9 d1 h3 q( A, L# q5 b# Xclc;
    # S4 {) n/ p* ^; p6 _clear all;, u& c* W3 |& h4 r# {* f3 h
    close all;
    : q" I# Q1 d$ }+ t6 W+ c" ^8 }) o! J! x) U& W) @* V0 q: o2 o
    %% ---- Build a training set of a similar version of XOR5 T# h# e0 u- {0 @
    c_1 = [0 0];7 x3 U% b" j4 ]( x6 z  D* f
    c_2 = [1 1];
    # c; Z3 ?- U" \. C* h0 p) l$ U9 K+ W! Hc_3 = [0 1];7 F. b0 Q! {5 O* f% d- R& `
    c_4 = [1 0];; w! K: s7 t% y2 {  l- B
    . S. ?" D: T- R* V' S! V
    n_L1 = 20; % number of label 1
    3 n2 n  e, ~  X% An_L2 = 20; % number of label 2
    4 U! S  y5 l/ g, W. n$ g7 t" x0 u+ T; p- L

    * w- Q, j' p) B5 k, b* rA = zeros(n_L1*2, 3);
    - \. Y7 S) [& M% Y" OA(:,3) = 1;8 s6 N* Q6 D! ~# Y+ r8 Q( j
    B = zeros(n_L2*2, 3);
    - C: {+ l, E3 h; K' \+ gB(:,3) = 0;$ \+ l% F8 i$ J! w0 _, s1 ?
    , o8 ^. q3 M& L3 i+ K( q. t( v
    % create random points6 v; o: K7 m/ L+ O) e
    for i=1:n_L1
    / H$ K. T0 @' M8 c   A(i, 1:2) = c_1 + rand(1,2)/2;
    & L5 k2 [6 C( |9 R1 B6 J* c   A(i+n_L1, 1:2) = c_2 + rand(1,2)/2;
    ' U+ z* g* L$ [( R, L7 o: p. [2 aend
    ' c4 H+ V' r4 h3 N# P; s1 R  tfor i=1:n_L2
    ' o1 B! r) O/ E6 c7 G, V" C   B(i, 1:2) = c_3 + rand(1,2)/2;& {# D9 Z$ o) M; I& G. U
       B(i+n_L2, 1:2) = c_4 + rand(1,2)/2;% r( `. N( o$ G
    end
    $ ^8 x6 H* Y9 ~3 a& l& X+ `3 U6 Z: H' A9 w1 }2 F5 l2 C# _9 k
    % show points6 V+ ?2 V+ D: s0 ^/ c
    scatter(A(:,1), A(:,2),[],'r');5 Y0 {& C4 F6 ^( |7 P! W
    hold on
    7 @( s9 g* B. J7 g4 C' tscatter(B(:,1), B(:,2),[],'g');
    - H. }& c  p$ }X = [A;B];: s/ w# e& e5 r; H! D
    data = X(:,1:2);
    * j5 v. d6 M. V0 a4 N$ ?label = X(:,3);5 r1 D3 c5 I! W  L
    9 c1 k4 p, ?9 L) l6 s3 m% P
    %% Using kmeans to find cinter vector
    9 C# _) W& G! T/ _n_center_vec = 10;
    / T5 s% x& m7 @' M2 jrng(1);4 c+ n8 @+ ^+ G* V, z5 G: G
    [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);1 ?0 W) V6 W" [3 i1 C# c9 w
    hold on- v. x$ b$ I* E5 I
    scatter(C(:,1), C(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);. Q& {/ o) z8 k: r; C1 J6 D- K
    , X* e  L2 _$ L, q, O' c- z# y
    %% Calulate sigma
      ^8 Q& ]4 r( i+ W& Cn_data = size(X,1);2 j5 k) Q  p$ O; W6 I6 p
    . N% n+ S! g% P+ }+ G) W% a
    % calculate K& {: w7 J) f0 n  Z/ `( ?8 }3 V3 p  v
    K = zeros(n_center_vec, 1);2 C. J; X/ y# ]7 Y2 r& k* {
    for i=1:n_center_vec0 @* @7 L8 ^1 b* v- o. ]4 c( `4 ]) R
       K(i) = numel(find(idx == i));   B2 W* c5 P( ~9 z* w
    end2 ?9 B- w$ Y5 H! D7 d. S! y& h
    5 j" p2 w/ K; a: e0 s2 e
    % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector
    3 A& ?  K6 Y0 N& t$ y" R6 h6 U/ _& m% then calucate sigma9 p9 i, w! B8 ^+ q" n5 w8 O
    sigma = zeros(n_center_vec, 1);
    ( r9 R  o' A! s4 Wfor i=1:n_center_vec
    ! {- x2 N3 j5 C3 G    [n, d] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));5 x# |: _) q0 E) J* m( A9 M
        L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);
    ( {4 ]6 t4 [1 O8 h    L2 = sum(L2(:));
    5 H2 ?( a) q) J9 R- |8 e5 y    sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);) t$ D0 ^$ `" F8 [5 y$ ^" c5 x
    end3 M5 T* ]+ X2 @% ]' _% |9 t
    * H; j' d  l! N' u* ^
    %% Calutate weights( k( o- x, H  L
    % kernel matrix' J/ {; t( f; r  v8 A
    k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);  }( r- Z1 C8 }" c' u

    1 V& f7 G) {' |3 F, o7 ofor i=1:n_center_vec
    # O4 z7 y2 |% w  S! l   r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;
    % X6 s$ Z0 t" I# a- J* p; ?   r = sum(r,2);
    7 t3 H" S; c( L5 Y   k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));6 w5 T; K+ O; X% c1 W
    end
    " @3 H2 P" g. v% o  y; z
    0 a  q' f  F+ C6 F' C! Y* ?; R) h9 lW = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    9 E" L4 }* F* A3 Cy = k_mat*W;' O2 o8 [+ g  R9 A
    %y(y>=0.5) = 1;4 W2 i! _7 X) A& a4 z8 L- U
    %y(y<0.5) = 0;
    6 B$ `: i1 ~$ t9 }" \" ^6 R8 l2 S- _+ C! E" F& K7 A  m
    %% training function and predict function
    9 W# S9 w( }7 F9 w- e6 S[W1, sigma1, C1] = RBF_training(data, label, 10);2 ~' ^, f" @% }& U* g$ a5 b* {' I/ s
    y1 = RBF_predict(data, W, sigma, C1);2 I/ |' r; P' u3 v, ~
    [W2, sigma2, C2] = lazyRBF_training(data, label, 2);6 i" C2 l9 ~* a4 k, ^0 b* S4 E
    y2 = RBF_predict(data, W2, sigma2, C2);
    4 c1 p8 p, A5 Q9 Z: M( r1 Z. |8 J- ?7 x- E
    , f0 X  |- W6 N) M  r4 P& U" A
    上图是XOR训练集。其中蓝色的kmenas选取的中心向量。中心向量要取多少个呢?这也是玄学问题,总之不要太少就行,代码中取了10个,但是从结果yyy来看,其实对于XOR问题来说,4个就可以了。
    1 }1 T6 n4 R6 P: Q3 ^
    # M9 h/ F# J) |  N, ?2 MRBF_training.m 对demo.m中训练的过程进行封装( `# t1 x+ a) i
    function [ W, sigma, C ] = RBF_training( data, label, n_center_vec )/ C6 U. z4 H! r0 Q
    %RBF_TRAINING Summary of this function goes here
      F9 f7 i1 Q6 e6 h0 C, u%   Detailed explanation goes here
    + t- S% _  y. h- i, s8 N: H5 s8 [( G
        % Using kmeans to find cinter vector8 m: m7 X8 u9 ]0 ~3 Y9 d! q2 W
        rng(1);3 w# T# _) O6 W# z& j0 }
        [idx, C] = kmeans(data, n_center_vec);3 h% }/ j9 l: v+ Q, H
    " M; \; [. |& ?& a
        % Calulate sigma : m$ F' [; ?$ Y, r; Q
        n_data = size(data,1);
    - B+ x" G  Z  _; P5 @
    / E1 ~1 w) T) O* {  w    % calculate K. p. B2 |2 _; f( Z0 [+ E
        K = zeros(n_center_vec, 1);4 w" m6 K2 d8 s# M
        for i=1:n_center_vec' V% s( R1 l5 V
            K(i) = numel(find(idx == i));
    3 t( L* [8 C- F5 N    end$ ^  `, ]( D+ {! n; t" K
    7 ]$ t8 ]4 d& K! B" y6 X5 a3 o/ b5 H
        % Using knnsearch to find K nearest neighbor points for each center vector4 S& R1 N- h$ k4 u/ e" b
        % then calucate sigma+ R3 ?" l$ p% h% p' X0 f5 o, N
        sigma = zeros(n_center_vec, 1);
    , R- b: ^4 d: c9 W* H    for i=1:n_center_vec* r0 p  ]' y* ?, ?
            [n] = knnsearch(data, C(i,:), 'k', K(i));
    4 d: k& ^  v: M: F        L2 = (bsxfun(@minus, data(n,:), C(i,:)).^2);
    : ]* m! K( z( D$ |( [# K        L2 = sum(L2(:));- _# H+ Y5 [: D" \# p
            sigma(i) = sqrt(1/K(i)*L2);1 M) f1 W8 w& Z3 w+ I2 v( D
        end
      K5 T+ M) O) q% @7 W, O# l8 G    % Calutate weights$ h  ^# `! n: Z8 I5 I( t, y
        % kernel matrix
    6 g/ G: f" K1 m( {* Y( I, ]& |' v    k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);( `7 g4 g% W8 N3 Q3 l' o( t, C1 j
    , M$ F$ W& c! @: A
        for i=1:n_center_vec! y! F" j/ Q$ ?% S8 @5 [1 ]
            r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;( {- B' j& A* N4 K
            r = sum(r,2);
    0 `7 I' Y# f) ?        k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));
    3 x$ h9 Y7 I; W! U3 _' V& W    end
    # K% O* D2 [- @' o
    , J& }/ T* `) b  q, K; X8 [9 c- o    W = pinv(k_mat'*k_mat)*k_mat'*label;
    3 H  J! U9 [, @6 {$ \; r1 ~end
    6 L4 l* J% n! c  _4 I/ F: [2 t& S( y4 ^4 H; H+ Y$ ?3 p5 {) k
    RBF_lazytraning.m 对lazy RBF的实现,主要就是中心向量为训练集自己,然后再构造核矩阵。由于Φ一定可逆,所以在求逆时,可以使用快速的'/'方法
    ) p* N, u% Q- n" x0 D; I; n& p
    9 u" I" V! P. D3 Xfunction [ W, sigma, C ] = lazyRBF_training( data, label, sigma )6 P- X* u/ i% \0 l6 p% G6 ~8 K
    %LAZERBF_TRAINING Summary of this function goes here
    ) r6 H- ^: G$ s# ]%   Detailed explanation goes here
    ' m, N& \; W; O+ a6 x) x$ |    if nargin < 3. L; L) W9 C7 E# C" T7 |
           sigma = 1; & V  D) d; ?3 ~
        end1 l# C9 g' j9 l0 r5 ^
    / v  E4 P% {7 x% O  }9 M4 Y, k
        n_data = size(data,1);
    4 {: S4 v' D$ `6 L% G    C = data;0 @8 D! @2 m+ J( g: r( `1 e
    2 r! d( r" w1 g% M% C
        % make kernel matrix
    & Z5 h' f0 v# h' C0 V  G    k_mat = zeros(n_data);& e% Y/ y7 ^- u: l. K
        for i=1:n_data
    ; p# I$ x- x2 j/ N* x! S' B       L2 = sum((data - repmat(data(i,:), n_data, 1)).^2, 2);2 v9 {; G* @4 ~
           k_mat(i,:) = exp(L2'/(2*sigma));
    9 |- \4 w5 s9 I! m/ _    end8 d; x4 p& E& w- _7 g
    3 M$ G, q( S  F& B; `! c! |
        W = k_mat\label;
    . K* H6 Z# Q/ `/ B, aend1 U$ A" M; z; m3 t" ~3 ?( z9 s, t9 }

    : I9 C4 m0 I" x  Q+ YRBF_predict.m 预测
    8 _+ ~. W& w  u/ W
    0 s- Z* G6 i- P" wfunction [ y ] = RBF_predict( data, W, sigma, C )" G! p, ~$ Y. R  T. v+ A  |! O
    %RBF_PREDICT Summary of this function goes here' J+ @% @2 x- {, y' z( P8 k
    %   Detailed explanation goes here# {! w; |6 b6 M
        n_data = size(data, 1);- o  v6 J# u6 T3 h# ?6 z3 H
        n_center_vec = size(C, 1);
    / B- I: I6 d* v0 ~7 i' R4 D    if numel(sigma) == 1
    7 ^: A  t8 j' H. f: a       sigma = repmat(sigma, n_center_vec, 1);
    * c( O0 X5 v+ j4 f/ a" H    end
    2 m1 ~% I" r: W! z
    6 k1 ~! F- b6 ~    % kernel matrix
    5 R& \) w2 |9 `9 U* P    k_mat = zeros(n_data, n_center_vec);5 L/ A- C+ c! ~% G8 v* Z5 ~0 Z
        for i=1:n_center_vec3 J- t( L0 ^% P; l2 M
            r = bsxfun(@minus, data, C(i,:)).^2;8 k& }+ l* J1 B) o9 [% k
            r = sum(r,2);1 X  r( w! l" k# [; R
            k_mat(:,i) = exp((-r.^2)/(2*sigma(i)^2));" z: u1 y5 u2 U$ K
        end
    ! M" C# N2 Q/ B& ^5 }& k
    # L. V+ Z6 I- m- J$ K% ?$ o4 j    y = k_mat*W;
    ( T0 t  ~5 q! ?; b: @: w- wend
    ( X$ j, a  n: k" ^( c1 f2 l5 I8 `: Q! A: V, `, h
    ————————————————
    9 u5 J( u9 M3 ~$ y1 N! T+ G1 j版权声明:本文为CSDN博主「芥末的无奈」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。8 H0 F' z3 t0 D0 M2 s# B/ w
    原文链接:https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/728084960 a/ Y, \+ A. W3 t- q1 B. t
    6 D5 @, _5 ]  a0 Z3 d
    0 B. M2 U/ d% `$ |' h. _

    $ P9 z, k: G' K6 X
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