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[建模教程] 模糊聚类分析方法

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浅夏110

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电梯直达

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发表于 2020-5-26 15:29 |只看该作者 |正序浏览

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在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵

n 阶等价布尔矩阵

模糊分类

1.2 模糊相似矩阵

2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化

(1) 获取数据

(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

① 平移—标准差变换

② 平移—极差变换

Step2: 建立模糊相似矩阵

(1) 数量积法

(2) 夹角余弦法

(3) 相关系数法

(4) 指数相似系数法

(5) 最大最小值法
               式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

(6) 算术平均值法

(7) 几何平均值法

(8) 绝对值倒数法

(9) 绝对值指数法

(10) 海明距离法

(11) 欧氏距离法

(12) 切比雪夫距离法

(13) 主观评分法

Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ，确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

(3) 直接聚类法
此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：

3 模糊聚类分析应用案例
例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？

解我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。

到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先，我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉几个观测站。

（1）建立模糊集合

（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵

（3）求 R 的传递闭包

其余观测站属于中间水平。

（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

（5）求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
for i=1:12
for j=1:12
      r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
end
end
r
save data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数

function rhat=hecheng(r);
n=length(r);
for i=1:n
for j=1:n
      rhat(i,j)=max(min([r(i,

;r(:,j)']));
end
end

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1

iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

function err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);

计算28个方案的主程序如下：

load data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
for j=1:length(ind3)
      for k=1:length(ind2)
         t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
         err=wucha(a,t);
         so=[so;[t,err]];
      end
end
end
so
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)

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