模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

9 v" _& E3 E5 D4 B1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵
) Y* t2 ^) S+ p% j3 ]) h& R! L- `# u
* u' }% ~$ ^7 [  H. x


8 N* ^5 h" \' W2 i* G! wn 阶等价布尔矩阵


! i0 n/ a4 ~8 j1 w
$ h; |+ O, G# v+ K模糊分类


/ y& o7 h7 ~( T& ?' [5 L- n! [
( \, E# l7 S3 J$ z9 D: U4 X  q
6 [* w1 d! [) q5 n/ g( U( F
- v4 ?  B$ E" U2 k) K1 e
' h/ I0 L) C& k9 T& V: \# V3 m
$ ^$ e1 a$ N( Q# G0 {0 W/ @: V


5 h' c. D9 y# q# {1.2 模糊相似矩阵
$ j8 f( H( u- h" u5 U4 E. @1 F
; j4 {0 l$ q0 d$ C2 ]+ r

2 p; ?* B( C( B0 H8 e8 m
3 Y" \, t  i6 ~" c

- Y" I- @4 ~& {$ Q. p. z3 y  }" H# B
. S+ A- A2 O! N  K9 U$ x- \
2 模糊聚类分析法的基本步骤
; p+ ?8 L2 ~7 P9 m! l5 }! v% TStep1: 数据标准化

- b: }4 |7 ~+ r* q+ l9 l(1) 获取数据



# b, W5 P5 H1 i(2) 数据的标准化处理
% E2 m7 n" Y/ \在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
  ]/ z5 K+ ~; U7 b
1 R" L7 a* _7 c3 k0 J① 平移—标准差变换

6 c4 G. i5 |& y/ A, {4 S

② 平移—极差变换
3 {+ d& d# W: H( Y
2 o! l& D2 y# o" R- X

Step2: 建立模糊相似矩阵
5 Z7 m% k' Y5 N, q2 G
9 r' U. ~* f  q0 |* v- W
. E- i: g, i! s( @
3 o( C! Q  }+ w+ f+ T/ g. s6 V* F(1) 数量积法
2 c  a% v" \5 p) r4 p% q, s
4 ?8 X/ d/ h+ r( ^/ r$ r# H0 o

+ b& n3 W& L: `) j7 v' {) C% M
(2) 夹角余弦法

' R# Z& y4 P2 B  d

& z6 _; H) M3 u2 t% N(3) 相关系数法
% G8 M4 f; ?& K4 l9 a6 a+ ]
7 x# s2 Z6 E% |. f# p
9 |% p( \. X7 p+ ^# D! l9 b
3 ?/ g& Y! ]$ V(4) 指数相似系数法
  @2 _! D) \& a, J5 {$ G
" X" y- {5 C2 Y$ v

5 R0 ^' F2 r2 {* b) q(5) 最大最小值法
% F% S$ X" T# d  L- P                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max

3 U% y" ]( }& H& o

: B( ^; j. }: o/ Y(6) 算术平均值法

$ Q4 t0 H8 D, o7 h: `" F. H  H
; ]' U" w2 L) \& D! }
' O7 W( H, N  `) T" s' u(7) 几何平均值法
6 L) p5 g0 r3 ]; x( R' r' r* b: n; a& `
4 A; i2 D% F) [1 \8 l8 G9 i. l
: c, _: u8 P/ D/ u3 t" _
(8) 绝对值倒数法
5 |- B; y; {- N* }


(9) 绝对值指数法
" M, D6 x( v) {* U+ Y# X
( C- O7 |( m: q8 T  i1 r1 u( ?

(10) 海明距离法

' Y, s5 I8 ^! H* H- o# n

(11) 欧氏距离法


# w% _; N) |$ k6 N. }
5 J8 m8 @# ~& F' P" U9 A(12) 切比雪夫距离法


) k! f( {& n8 [1 }  }, e, U9 M
(13) 主观评分法

  i% K' S4 J8 W' T7 p
( I0 F% t7 S5 ^, t
Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
1 d. Q5 I! y) n" d( l% l' `( Q
(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
4 C+ g7 ~8 O% A. j4 N$ c
(2) 布尔矩阵法
. s. v# Q7 J/ |

! s) M0 z1 h9 ]
& E0 F5 c7 E  J  ~1 R7 v0 T" t6 p9 T

(3) 直接聚类法
7 ]% p% {. |" i此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：

! f' W5 J' \/ X
2 q5 _1 i; ^' b3 v, L
3 模糊聚类分析应用案例
例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？

8 `+ p% R! S3 }) p
! N; w4 J5 ?, h( B  Z, N- N3 m# _
/ `8 d& u' v1 ]+ o+ U# ~

$ W; ?# H! O6 d3 o$ n0 U+ V5 `解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。

9 Y) x* E2 s" p/ [; P; R9 Z

到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
$ u3 A* ?0 m( i* ]( ~' `: E6 E
（1）建立模糊集合
1 y. X4 R) k6 h, b7 j/ B# F+ l
8 u; p1 {" Y$ p2 `* k  k

# c9 f" Z% ?. }* {2 Z) m6 J


" G2 ~  \+ J: d1 U, @$ Y$ C% J（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
$ T6 [! S- I6 L  s4 P
; Q& w0 Z' U7 \

7 R7 K) D* }% \4 X0 y/ o6 k: A（3）求 R 的传递闭包



" s' s6 O5 e& P- J2 x% ^其余观测站属于中间水平。

（4）选择保留观测站的准则
- l6 \4 q5 x+ j显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

' B# o- R8 p, M) W) L+ a4 V

" H* v0 K9 g7 b! r# U



# E) m% m8 s  p3 c. O（5）求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序

3 F& _$ v) w7 `+ H5 ~7 E/ fa=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
# v: k3 R. D* @6 f, x! c' G251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
/ B+ b! X* {7 {3 u% a# |- K/ \9 ]192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
' {& h7 z  u) L$ f% O* K/ ]246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
5 C9 k: m" l/ S" w0 l8 K7 P466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
# b0 b1 s/ E1 Z) d$ B6 Y/ C) V+ Z258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
/ T6 m1 r2 t; c$ a& j324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
; O5 [# q0 ^& P# ]' i/ L" a6 ^for i=1:12
    for j=1:12
        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
: d* t- ^( Y/ H; B% o2 A1 A    end
end
r
save data1 r a
4 V# O. d) o0 B; t, n
9 o7 S# W7 A" F6 k5 eii）矩阵合成的 MATLAB 函数
; R! [0 C% I0 S$ {4 D6 O
6 R) ^3 b3 e4 Wfunction rhat=hecheng(r);
5 P8 K0 }1 L3 w" p; `" L2 Pn=length(r);
7 T3 c4 ]; w% C: f& g( tfor i=1:n
    for j=1:n
" L" t. {# W$ x6 ?        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
7 x+ J" i0 |  {$ P/ Jend

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

load data1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1
2 U; \" j$ i3 W
* x/ t9 ]- ]4 eiv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

5 }  M) |2 P$ j0 s1 k) bfunction err=wucha(a,t);
7 r9 d% F0 ^; Sb=a;b(:,t)=[];
! J* e% c3 U& ?+ j" u& A/ R: y, ]mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
( s* a/ S) \1 @% serr=sum((mu1-mu2).^2);


计算28个方案的主程序如下：

load data1
# X7 O. V% G5 G3 e# w' hind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
7 m( ]5 @4 E" I9 T3 Z2 f- iso=[];
1 z  S/ Q3 t. T' N2 f! |for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
% j' A: A8 r# z        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
4 l: J# G* e) T' ]; i- [            so=[so;[t,err]];
        end
    end
end
so
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)
. Y2 a. ]4 o0 \
3 u# f: `. A- K; z1 C1 P, ]% w) q7 e; }
8 p, [0 }: H" b5 n
3 n' Z; q3 h2 ?) S8 J# s* |. W6 f. E————————————————
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% Z: i2 K( i- D" q8 B5 U3 e