模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
# }( K7 S( W; x1 ~2 Q; \+ }
1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵

* y1 h4 ?5 B6 Z5 B
' g0 j3 |; ]6 @3 H3 i

n 阶等价布尔矩阵

$ W  V! ]5 }! r2 o8 ?$ t
$ ?& L6 B. v2 E2 n/ |
! F" S2 u. F& C. I8 K0 d模糊分类





3 O! F+ ^/ ]. W
0 a8 n2 e8 o6 o+ g3 b4 U1 @
9 R+ A" C, t! Y( O. E
& B8 N8 a4 e  F4 `+ E

1.2 模糊相似矩阵

! Q4 e: K9 l" l' a
9 G' M& v$ i. x7 s! E, X

7 ]6 e7 Z. A. D4 [5 i1 p! K5 f
& s9 `! t9 g# [
! ^7 d8 W* H" K
! o7 ~* i  O' g# k4 c, w5 d
7 K  R) N: i: Q2 模糊聚类分析法的基本步骤
' _6 {+ y# |* J( }Step1: 数据标准化

$ a' N7 t* J2 D( U& t(1) 获取数据



(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

% q" b$ Y, [+ l- o( M8 I% k① 平移—标准差变换

% a8 |: c2 R6 J

; D4 R- D% S9 R6 |) N8 g& |② 平移—极差变换
  \+ }; P: N7 q. o
2 p  w* U" B* v. p& }- H7 p$ c

Step2: 建立模糊相似矩阵


3 ~% V8 ^/ Q. `$ H7 u
! [, a5 e4 K9 _6 k" h. _, \(1) 数量积法



% {2 }3 n6 G1 v" A; t! M
2 r  U& f3 t" B! F% C(2) 夹角余弦法



7 [, Z3 W: o1 I6 K: R% l4 z(3) 相关系数法



& j" u4 ]( y4 d3 n, r- ^% }4 [0 @1 \(4) 指数相似系数法

) o7 A* j4 y1 w$ o: r
- q6 I& Q6 R. F' `: C% G0 f
: w& M. h* B) X' j( C(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
2 f- I4 F4 }; r9 O9 d2 e


6 t7 e, `# ^% {0 R. r(6) 算术平均值法

- ]) e8 v& `3 {+ v. _, E

(7) 几何平均值法



* e; }9 |6 ^/ X" t* m1 \0 }(8) 绝对值倒数法

4 ^4 _. k) U7 l
% m) N: h, ?  S. T+ F- h
4 i. J9 M# F& _( c7 z1 p1 j(9) 绝对值指数法

$ f5 k: _+ M& U9 u+ X/ S
% o/ e5 z: [9 ]
(10) 海明距离法
6 F# L" b. `7 Q# y7 y% `

) X" c$ G3 B" l5 x+ O" ^* W% A5 [
(11) 欧氏距离法
% G0 f) T4 g( I


(12) 切比雪夫距离法


. [+ y- \$ H, b% y3 s* {
  X3 ~5 l% j' D: w: O) \, {5 \(13) 主观评分法
+ C/ i) Z8 O5 W0 g# q4 u7 ?
3 K0 I4 Z3 n) ?& L" }0 ~
6 o/ ]+ C! y+ O1 `3 `
+ o. d! U3 S3 S+ Y+ xStep3: 聚类
0 ]: C) G. _* r/ v% F所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：
9 C8 b2 Q- E- W* v! p1 u$ d
(1) 传递闭包法
/ q0 l& ^/ Z. `1 ~2 S从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法
8 b, g8 L7 U  p7 o9 @- B0 F: {
/ C( @1 o1 y1 t% J9 V& }  [

: R. I( U+ T+ h$ U; V0 C4 b

0 D& [; d+ f6 b/ n$ c(3) 直接聚类法
% _" K5 O+ T  T7 \" D  a% I此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：



. M: r9 e$ ]" G) v( H3 模糊聚类分析应用案例
- j/ W. N- q4 M8 R) j$ y6 t例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？



( Y+ C& l0 i$ c7 r1 j

8 X: m  M1 ~- l9 H( m解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。



" y; l8 p) k  d  {到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

（1）建立模糊集合
. J, v$ N3 w5 |2 V, h4 R
# p4 o5 R! B" T

9 g1 S# F/ P( C/ u$ I" j* P
# |) f7 c9 y: ?( G, Q6 u- h: X
1 Q( ]2 r' [! T) m. Q! G$ N- S
1 f1 \$ }, T3 {% z$ m（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵

+ L( P. w" N  ^: |% ~% Y1 c6 s

（3）求 R 的传递闭包



其余观测站属于中间水平。

（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

2 [2 I9 V% b9 f$ V7 E
7 T4 b: j; H, H* k4 M, K" s0 @; r3 D



0 d! }' b+ K6 y8 T
; S/ O2 W$ Y. @（5）求解的 MATLAB 程序如下：

i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序
' D3 Y! K( S# U4 Q
a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
9 d, O! z6 p" N( b5 S6 Y. y8 D251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
! c  P% H4 }! N6 Z8 e; x' ]/ ?/ V246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
% {/ u0 ~" Z" w$ a- P258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
% l4 G5 E7 d: o5 s  B  f/ c) K- f453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
. H, r& C7 w6 `, t158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
' J7 g9 k; S  Pmu=mean(a),sigma=std(a)
8 u2 `9 Q3 f, ]6 d4 ]1 M/ Afor i=1:12
% ^- n! P3 j, x    for j=1:12
        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
end
r
, }( X6 q& B3 H1 dsave data1 r a

) d3 i( |, t7 Q& fii）矩阵合成的 MATLAB 函数
. ?  E: b- }# A* |% S' `7 f; A2 U
function rhat=hecheng(r);
; t+ a/ E: R! c2 m0 B/ T& {! Xn=length(r);
# J% a( c$ c9 F; J. E& N3 rfor i=1:n
/ v2 C" G* o# M* R2 z, y3 m    for j=1:n
" B9 Y, }" ^( E! h- c# Z: }4 S        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
. J% D9 e' n+ E. o1 rend
- X3 M1 u# \# A5 I1 J, J
iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

! A3 ?7 \: r: H6 z. W: hload data1
5 X; P" l$ y; @3 }. a8 S6 t0 V% j3 kr1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
) Z  ~# I& c7 R/ d, C- `- j, wr3=hecheng(r2)
5 g- b- \4 Q  Y) x0 V$ w( h- Cbh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1

3 v0 O; V5 S+ f4 B  Yiv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
# F5 @1 q+ Z/ t$ c
function err=wucha(a,t);
- ]$ {/ d$ x7 C; I4 p& ]7 Ab=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);
/ ~/ a) v" y; z; Z

计算28个方案的主程序如下：
5 G5 h% Y$ ]% a* U6 U$ k
, O1 b; _. L+ M9 G5 Rload data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
$ ~5 U! ~% u5 Q" gso=[];
/ |- N+ m6 w- s2 J9 }/ mfor i=1:length(ind1)
7 L: K( _) ^/ A* r' o  p4 A    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
/ D4 H8 r/ G0 G3 c  s3 ?            err=wucha(a,t);
0 W1 t: r1 B4 K# R            so=[so;[t,err]];
) X2 @  {$ R  V3 O* H. Q# K        end
    end
( o7 }8 j, U& t, oend
so
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)


' ]. u- v& m# p; x7 r! g
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4 k! k9 r1 P# D3 u