数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
6 @1 u0 _7 B6 k8 F; R& N1 O4 J
本题主要使用微分方程进行建模。
( G9 p3 x7 S' W$ ]* J4 r$ g
" x- J: S7 e3 p1 Q（一）梳理题目
% p: {7 _5 B% @
4 }) {3 W3 P7 T# y  b1 v( d
; O) k* U+ h1 o
- n1 S; b+ E6 h* [/ P! B

. {, E" H; E. U1 j7 T- H
（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
: H) H; f  m, u' |) G

; l( G- X1 Z" ]! @( v; C
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
* U& c0 k, \# v; ]2 ~/ w/ m没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：



9 K8 [0 M* n  J' R6 W% F
! M4 _; z& V$ y6 @: F如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
' B! ~& Y; A' t. ~" P) J6 K# x
3 j7 I  t- h5 ~$ c1 e: s


, O) j$ `: h- Z论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
$ D- {# |: O/ ^" o7 g
/ i* K5 Z* T) l: @$ K


这6个关键变量的找出，是不容易的。
+ g% O5 T6 O/ q) x' S9 c4 g

: T: n8 c; U' h8 r& D2 l2 _& v
（2）基于SIR模型建立新模型
9 e! P/ f5 ~  ?基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
  `/ Y2 h  }/ I, @1 M0 ZSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
; U7 C9 i' x. x; N' v/ B


2 {# T" w- H( _+ J, F利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

5 W3 v% b7 d" C; w8 Y5 f

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
; k, O1 _; F: w, }) |其它数学公式论文中很清晰
. A3 c" B0 t; M2 y
% T! [0 \" [- ~; x
2 y7 j& m( ?$ a  |: y
# }: H! m4 Q  ?# {
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

# B, R% U2 Y) A  K
( |; w6 l- }. x5 Y: U; a



/ d: l( j* L  A2 }2 `然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
' \* L0 A- Q+ {( v

; X5 O- d6 F3 ]+ m, K
$ B- `: q+ z/ _9 ?4 R! J（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段




& o( h. S% w9 G: p
, m% b1 G& Q7 j: ]* u: Z（5）根据实际设计三个关键函数
0 I! [4 P7 k# E+ q. q( ^- f这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
4 S  r; A, Q6 S论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

9 U4 ?0 q+ J9 Q' u; y平均传染期函数：
8 I- P1 A+ }# A' \2 [; X+ F

! J; u. m6 Q( r0 h9 Z1 V
9 y! h% k) V* ?# ]+ F0 O* C3 M就诊率函数：
5 l& b1 K& t2 Y4 z2 |8 V% ]9 p5 [
7 @8 ], u4 A- _+ [* T  s$ ~

平均接触率函数：
: R+ v. ]4 L9 G2 z
# r4 N2 b0 \# ]  \7 `5 L+ B& a3 }

模型预测效果图：
2 }+ h1 \( ~7 N2 ~! H$ t' U
+ U% ]% [: d4 c  D; _
& D9 ^" N9 x8 @& i# n: u
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