数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
4 F* e7 l( i  K8 M9 `
本题主要使用微分方程进行建模。
* t8 i9 u# C2 q5 b. j
8 F! ~4 c: u; o$ _2 e' `  r1 `（一）梳理题目
) l1 w; {, T% Y/ z0 J
+ G; |% x; N2 v8 W& H
( T, g( y+ }7 c1 u- }



) `* y1 u9 i( \* q, Y6 Q（二）Highlights which makes this paper stands out
: U2 L( y6 ^5 t* T& J  f8 M- E(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
$ c& K9 e) o7 i/ a; Q拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
3 w, f2 m, b1 M# a

" }) p! Z/ Q- q( q- y% m
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
- [" }9 [, G) A( n美中不足的是！！！
7 h5 w/ ]& v% i. d7 F, f没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：



1 {0 Z2 L- y' \( f
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
7 w+ Q' Y6 H1 r+ a1 m; l


1 e8 z) x( A( p7 P  a. I- P  G# V
9 w, M% w6 C8 {/ g% L9 G5 P8 `1 o2 l论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
8 d8 `( V2 T4 W( W/ h# I
) w% S2 H+ m  o$ F- q（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
6 t' L1 I/ E1 r, b# L7 T
( O# i4 \% c8 {" ^8 U

; h: B$ ~; s) a9 c7 F  S- D
这6个关键变量的找出，是不容易的。

5 u7 _; O+ x/ R8 H

（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
2 u9 S3 f) \' v# |SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

% m2 @# b3 p9 Q" J7 p  j  S1 o
* x4 O  ^: E( F
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

0 @; h* N" z6 @
& G# O% F% K0 L, K5 p
- z9 c$ o, p5 D. |# R$ u* T, E,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
' R" Y/ i; l# b( p0 b其它数学公式论文中很清晰

6 _8 B! C6 a" k# L( a- f! D


（3）求解模型
5 A$ @7 U1 k6 A! ^' R! G求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
& g+ d: C% p  [# _, r+ M; M: K


2 A' U/ S# k, Q' `


. c. C+ z1 P. v  l! a, u* i- v然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

7 q1 E4 t' O' X  U

6 k3 z; p: G& i  f9 y2 n
8 Z' }3 O0 s5 }' |
（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
! V) f/ @! L% _7 v- V# _, m论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
: n, E' C$ }3 n# F* S+ z: D" y  P$ d+ }) j
% j/ Z( V( N! V9 w7 Q" ]6 ^平均传染期函数：
6 x; ^3 M4 K0 `" T- ?9 u  \

( O7 [9 U: b# s" R: S  H6 I, L
/ ]' o0 E; }9 \* S0 U' _8 j! G/ q就诊率函数：



平均接触率函数：

' P* }. W/ y$ F+ W7 V: g7 V

5 z& ^; F6 |! C, ^; B模型预测效果图：


5 X. V, X, E0 g6 a
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