数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
! m* M& e- C% g) G5 }
. _, g% M! C2 j# c  Q4 g本题主要使用微分方程进行建模。

, N6 S6 T- ^- ?0 q# p（一）梳理题目
: F; @; F4 u. A
4 o: |$ e1 O. ?8 O' P

7 }  a6 N0 Y9 X+ M  G% S


, G! D7 t1 v3 @6 @) x（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
/ ~; s, A( T3 e
8 w& `$ p& C2 W' F+ b
& X: J5 v! H8 z
e i是第i天的计算值和实际值的残差
% R9 B$ r" v; k5 w" [/ Pe∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
; }8 c. n# `) d* k: r  ^) W; x0 X标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
. M& \7 v: i) s: W没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：




9 d# H7 i& e$ _7 M& @+ s% m9 N如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

' f5 C! p! k1 j* `$ m+ U4 C


论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

# U+ E' T0 G( X' M1 B; I
3 i+ m  g5 h' C/ e0 y& e+ E* t

这6个关键变量的找出，是不容易的。
  i: Y- M5 S7 a& U8 u" ^- l
: j$ e- V# u0 \

（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

8 k  {" l6 w5 T% `9 w$ q( s* \
/ Q: H2 J+ h8 [0 ?: [
; b/ _4 P7 s( A1 O( ~利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
% }& t7 x" F9 E+ Q) q! t+ y

" p, ~1 B, D8 i* Y0 v% u9 D& Q* Y) a
% H6 E& j0 R1 Z,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
$ J+ S- V9 G$ A2 b4 u
4 ]. ^1 y$ r2 p* a( t9 V
* Q" N" i' Q1 ?9 v8 F' [' \; {7 C
; d9 @0 l1 {; O
  ^6 l; _& [2 H（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

% r2 T9 |7 r9 O4 g0 G4 U: F8 E


1 }) t& G9 U0 l* w( B. D

( z. K) {" {2 D然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
1 p6 n. L6 ~$ c


, {4 o3 T$ F' v（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段




" \& h! Q1 J+ b
（5）根据实际设计三个关键函数
( F- w$ y, W6 k) A% o2 Q% ~1 f% c这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
) H! @3 Q# S; k; Q
平均传染期函数：


: l" N! A9 N; k, O
就诊率函数：

, v* o( S$ C- j) r5 g
  ]8 A0 o, x( r' m
3 u/ S( ?7 W! s3 O平均接触率函数：

1 X# @$ B8 T4 f/ K% c% I

模型预测效果图：

- z0 _& o$ ?7 C) V* n2 B* y$ F
; T: Q8 X9 s+ a3 b, z! s. L4 ~0 w
5 e" V; l% {3 }8 H————————————————
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