数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
5 w+ `5 s2 M9 _% d9 s" [2 Y
本题主要使用微分方程进行建模。
+ y  ~' p" V2 `) Z
* A( F+ Y" G, M+ ?& ]9 v1 `（一）梳理题目
7 H. P4 q3 `) c1 R0 j& c


6 P% ^; b* l+ n- V( a
0 D" ~# [# i. M) r5 J4 U
& g$ }8 v2 J+ Y1 u* ~8 _$ p  G7 @
, u: j' t% k) K' ]& a（二）Highlights which makes this paper stands out
9 X, \( C/ _2 y! Q(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

7 Y; F. B1 j3 C) K2 F1 f. r0 x* m
8 c1 ~. }$ R% K# }0 t1 K0 K
e i是第i天的计算值和实际值的残差
9 R" T9 n, M& ]1 l- d9 pe∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
/ Z) G' B8 J' U: g: W7 x美中不足的是！！！
" G1 `- T7 d6 [1 K! r1 f9 v- L没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
' p( n/ X' a' V5 `' V# P

/ @! y9 k2 ]( C" _/ a- [5 j; L

6 j: E+ j  C' F5 Y+ `如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

& O! S2 U3 X5 b" [

5 S5 \% B# `$ `: C5 _
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

3 C) q. S8 r; [. m+ r（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。


6 g( @/ @1 T# H3 w- G4 k9 U

这6个关键变量的找出，是不容易的。
5 M0 z+ `# q- N" y

/ G" f6 z7 e; E+ J3 B
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
2 [& g. l8 F* {# |( b3 U) y# }SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
% ], ^" n0 r" a7 L" F& K


; @- s8 ]2 H# w$ _- G7 P利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

# I: N0 E4 k6 D! ^) h

( p! l, _8 y- b- v* W' C  j,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
  V3 I: C1 L7 J9 Q# s$ z7 R- g



9 e' O; d4 |) O- e8 D7 E（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
$ f) k- U8 w, C+ ?  `3 y

- `7 v2 ?: Y6 g
3 }0 ?+ f' W. D$ ?

9 o( \) D7 t0 w7 m
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

. v9 Y. z7 m, H3 J  H

（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
( i1 E/ C6 X( y/ b$ m2 w4 q5 y7 u


" U, Y+ X3 A9 @: a: P& }6 u

$ ]& h' T# X3 m1 Z( D( ]1 H（5）根据实际设计三个关键函数
+ ~3 ]: X* E" H) Z, Q8 M这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
+ C- t$ \2 A/ |  K5 m, w论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

* d: f) S$ o, R; d平均传染期函数：

4 ]" r' S5 y+ A* R$ n; I" I
3 o$ ~+ w' l- ?) x
就诊率函数：
" q1 f% G2 F& A  x0 U4 x
( B- q: s% s1 ?+ z: c8 ^
: V, S+ t$ e) D6 _. o3 \3 o# x
平均接触率函数：
$ A6 R8 N1 I( Y3 Q0 i) E


模型预测效果图：



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