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[建模教程] 时间序列模型（二）：移动平均法

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浅夏110

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电梯直达

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发表于 2020-5-30 15:04 |只看该作者 |正序浏览

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移动平均法可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

简单移动平均法

近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平均法预测第 12 月份的销售收入。

计算的 Matlab 程序如下：

clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8 705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);
n=[4,5]; %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组
for j=1:m-n(i)+1
      yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);
end
y12(i)=yhat{i}(end);
s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
y12,s

加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。

例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年的产量

计算的 MATLAB 程序如下：

y=[6.35 6.20 6.22 6.66 7.15 7.89 8.72 8.94 9.28 9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1
yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)

在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预测者对序列的了解和分析来确定。

趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为

例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发电总量。

解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法来预测。

计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
load y.txt %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);
n=6; %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1
yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
m2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1
yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
yhat2
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21

趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。

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