偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。





6 ~( S7 H' S5 {. \/ K8 l表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。


$ _8 o$ M* Y0 t" {; K; s9 s

利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
; w% h) _- f3 X8 B' fload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
  P# j3 v* n  Z6 x% S2 qmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
5 p% `2 M' G# \; m, V/ X9 |, Jdata=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
6 y) u3 l7 Z7 a; Fnum=size(e0,1);%求样本点的个数
4 n$ g8 ^: T1 V9 ]/ c0 c3 Uchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
* ?+ `* ]" N5 x6 ~- V%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
9 Z, [" I; O" C' n    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
) R( _5 p5 M, N% R1 l    val=diag(val); %提出对角线元素
! j- i0 W8 r% n" e# l    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
  t4 ]) W" _0 O) j3 S" y    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
6 J4 h% l. ?% }9 @: t" `2 R8 e) y/ r' u    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
/ a4 D! s; y+ N. R* R8 _4 H$ F    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
2 J/ r; k4 b, j, v/ J& K1 t+ E* r%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
8 x. j2 @1 Z1 B& s) q# O    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
6 a9 A1 L' A1 k    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
% a8 N' @; A4 f9 f# s7 G    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
* x) a6 T+ T' C0 X* i%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
9 G# d  L! x( W* ^        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
5 v5 q7 m& k9 T/ \: _        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
9 i& b* z/ x) J& e$ J; w        press_i(j)=sum(cancha.^2);
. i; N+ ~) N1 m6 \8 o, C    end
3 V5 O" m: n. N- r& Q2 K% [    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
$ [' S  @$ J; i2 @9 f' A        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
* d) W: ~: n+ Y* E3 b$ ^' H4 e4 F    else
$ q! Z; g0 D7 ~7 B/ I        Q_h2(1)=1;
: J+ x- m7 e9 f4 W! R    end
7 O$ R' W7 }7 D' z    if Q_h2(i)<0.0975
+ J9 M- ^4 o7 ^4 N        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
% R/ h! u  Q% Q5 R3 w# U+ ~        break
7 @4 b8 v" o# F- j6 ~1 ?" A8 A    end
! i+ _2 R7 V# pend
! f$ j& }4 P8 ebeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
0 m3 L$ @: c9 p* p  h  j7 i每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
* D' K/ ^6 I1 b, Csig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
# D3 h2 W8 \; [' \for i=1:m
, B5 M3 Q8 n# ?. [8 y; j. B$ W. g% p    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
4 T8 x+ R4 L( j! P, R6 ufor i=1:m
5 \* w. Q0 }5 A& u    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
2 o3 W( F% Z% W% N' R9 b6 J
' I, ]5 N+ q. E4 P# L  D$ i# M

0 {$ J9 n% r' q
3 U/ @+ C% i1 _% S7 O9 E: r7 e& Y1 p
: K3 T: T: s% [# _% E; s1 H
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
5 R0 x  t" E1 {4 Q+ L/ U5 a7 ?# _8 }

$ ?9 j* L- `* P& y


画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
8 J$ P% b/ v9 u8 G3 S5 e* J
% ^' n, z% i: p% ^' j画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

6 ?" P* T2 ^7 e1 J, E4 {8 }  bload mydata
" r$ p' S7 d" @9 F, l& |num
- s% y  I2 _) E$ E0 U1 q- w. Kch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
# T* U$ o' R" m. ry2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
2 c& p9 J3 t5 u  Y; J. M& |plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
: G3 u3 j  n: g
- T1 k& z8 m0 @" U8 Q- n

& G% ?. @0 N3 c
0 N; _0 b1 W( s$ F( ?————————————————
+ e& K, ^3 H& a3 C版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
, v  V4 G7 a" t4 G7 [$ g原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273

. d6 o% \1 O% I% q/ \9 [, }0 r/ s
5 Z. O* \# ]% |, }