偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。

  ~/ k4 N( p5 W5 Y. n$ _
/ l# e& M1 |# r( C$ Q* Z

3 E7 i6 i* P/ A" ~3 O8 [1 |
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
& `; U9 i" z6 z" U1 K7 E" ]

( h0 {- p8 J8 @

7 q6 }* c: `' e' W5 P+ }. o+ l利用如下的 MATLAB 程序：
" n4 l0 \8 Z1 d0 d- Lclc,clear
8 ^$ w$ E) v& S3 z" z4 bload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
+ @0 J# J: R' u' K0 e5 x3 kmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
6 x- q$ R) w  Y1 @$ P5 P) ]rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
6 N0 @. V9 V; n* }# `! e; pdata=zscore(pz); %数据标准化
3 t$ }( M! I% T7 @- m+ F1 ]; M- S: S: mn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
! H  }' G$ \6 Ux0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
# }& Q+ Z' R( p6 [chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
& U5 Q+ f# a0 ]- b4 R2 efor i=1:n
, C9 G) e  q+ {2 N2 ~3 C%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
- |/ A# d6 d5 k, e9 c8 @9 I( v( J    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
) P! H# [3 K. k, T+ E    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
9 v: Q8 d: g! U! e6 o+ M) E3 {* S    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
5 o. d% O" G6 E4 A/ `' d    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
6 P0 E* N' d8 z' Y- N, m; C    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
4 _8 O* Q# Z. t* q( B9 e: c    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
4 @" r& h, X, V, ^8 O+ X5 q    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
( m0 r7 b- O  A$ {0 y3 B2 M%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
) `% U0 x* ~: X1 A6 E        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
0 }/ P) G% \- Z4 d3 x- x        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
7 v2 i3 U3 ^& {# |0 j: P        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
: f0 P7 ^/ Z% b2 v) o, V8 Y, I    else
( n) x& h4 j5 B3 D! \! X6 i0 d* q        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
9 i; B0 R$ O: d" ^' n        break
    end
$ V+ r# S+ ^- Z) Tend
# |' O* U/ [- D, Z4 Qbeta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
4 H8 ~* @; H$ y+ W! Q6 \# Ybeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
7 n7 T8 t9 n3 L& K3 Emu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
2 _$ h# B1 f. h% {" f3 C4 ~for i=1:m
. D, Y5 ]2 L6 H0 K; [. _9 k1 |    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
. ]4 m! X0 U% b( S* ~& Tend
" K+ Q& h6 L% v! g; G9 Cfor i=1:m
9 K. Q8 X7 j0 b' B, S  \% g    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
* c  P4 R2 @: n; Vend
" g; x* s& ~2 r, ~& a1 o$ j7 Tsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
- {/ l. S8 P2 g
: f% w" p# `, T; B
$ }6 J) e. F8 v9 [: I- i% p

# V" Z& Z. Q$ l2 x7 X0 u9 |1 D/ `& w

; X7 |  p/ x2 s3 i从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
4 Y) k3 q+ R. g) l( L1 G# \

6 \7 |1 M, j7 ~/ v/ R" d' h" {# ~


画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')
6 ^  }, h: Z' s  Q
画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：
5 D$ ?, z$ p( o$ z
) d( P5 k& X, W. ^6 S4 J% g& Hload mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
( T; O* w, E8 Y# F4 `. F  Byhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
+ Z3 z% T" S( `* [8 ^1 e& m7 Dy1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
8 O. X2 I$ p  }/ k& Ccancha=yhat-y0; %计算残差
6 l+ A. a$ J( ~subplot(2,2,1)
) @) V2 m1 r- h. f; W( `plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
% ?! Z+ ]5 T& J7 Xsubplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
0 \8 i# P9 G! B: V0 z, Hsubplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
& U4 J* p, p# h+ q, S; t* B
5 Y4 {* ]2 ~  U+ K- P0 S- R: N1 V

1 O/ P0 A+ j$ i% ^1 k( t
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1 ]5 k2 e+ E- G