差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

( `9 k( @9 b: b5 q; L; y) f+ k
5 x0 M  k  y" ^6 M; Z: e
  a: [' {( k- V  k
' T& T8 C# j) ?3 x+ A满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
1 z" T' k0 h& z6 A# x; s4 E
# h* W2 x2 C  P6 n+ g
* K5 C/ i4 _9 |! N


; }  N4 V, F+ k1 Q0 K两个例题
4 M4 a; y: P2 M: [9 S
3 C9 |( \+ x) A) R0 x
% g4 K3 {1 ]: u' y" H2 M! T& @

# Z/ K) `8 Q. R+ V7 W: E. w解的稳定性
& }, g+ [. E# ~% b& `$ Y
3 A, U: u" d) Q- `+ q

3 m# x3 J/ q0 p6 i程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
+ D8 C0 }3 l& u7 z" C( D- M

3 u. D, w7 C' b4 |; |1 l
# p7 v; g0 R' m) V) b2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
3 [  o% c" d; y! a! M& D常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换



（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


/ j* h3 ~6 K3 N4 v. s) c" Y% ]
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
% c% @  x, v; N3 w$ V
9 d& [+ \* E  F4 i' J
* w. c* u: Z& v( c
2.2    Z 变换的性质
1 u, }: [2 M- q（i）线性性质
, Y/ B. ^, I( a) S' u0 H; D, y
3 [; f8 B- B3 y$ j$ U
. x3 Q; [) V; K# r
（ii）平移性
7 U2 {3 |! e$ s: P( U2 N4 r
5 X4 K8 B# d( u" r- q, l
$ h0 s; u5 L, K- S4 D

: G8 ^, M) r3 _" f例 3  求齐次差分方程

# K5 R6 l3 ^+ C8 d6 n2 w/ N4 }
1 c8 x6 D' ~$ t+ T5 H2 A' y
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3 d& \3 ]5 o2 |0 N
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