差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介




满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解

2 {. e) t! B( l
* W  k9 Z' m/ T; W/ Y. ^3 z5 B

  l0 t# |# ?9 }: \0 ]
两个例题

: r2 j+ S7 @. _/ S( L( ^) J
( Z0 H9 X) f. W! H8 Y! w) G
% E  a: a& A4 B- ]' Y4 H
解的稳定性


. X. R: `" a4 M6 f8 |
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。



( R7 u4 M  l, z2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
: B2 a9 @/ g, }常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



- r" f& l! ^' ^) E2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
, t2 g% x, t# P（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
! J' U9 n' y- i, A, i: d( C


（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换


+ {; s3 b6 G: Z' p6 B& X1 d
( b% f* |  j/ z# \（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

& I# |. ]  i  X/ e

1 _2 a& @+ X- M/ k( N7 G4 j2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
. |5 o8 t! g: c: n
% A  H0 n4 G4 C) i2 t4 @( D' B
0 q  N1 E3 f5 F  V# Q: E
（ii）平移性




# Z+ X# q9 ?) s: R. U例 3  求齐次差分方程


: V! _+ F5 f0 L# x# j7 j, T
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