差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

" b) d/ u, h; ^* \) D. Z, q4 O# K1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。



: G+ w" \* ]1 e6 M; [' |7 t2 |例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
1 h; |  r( F  L
（a）假设
6 `5 T5 z9 v: K/ {令n = 0,1,2,...。
+ G- K5 P- j: }. }" U  |( U0 S

: V1 S  G2 [% B: T
. C! S3 D( `+ \' M9 F# t; _1 n（b）建模
% A5 U7 E2 z0 U! P" s+ `


8 d' j- l, p5 G' y1 _

编写如下 Matlab 程序：
/ w, l( h) `  s. X( d& \
& y! h  q% P) b' J* Zsyms n a0 b0 c0
* \5 d' k/ M: Q, n# x3 @. G& ]1 fM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
  D- K+ T& V; ]" N

  S7 o& \; x9 c3 H- Q
% q2 V" G; F1 H3 `5 v

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
; x; h" _2 B, l6 B* Zx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
  H  _7 k/ k1 A; m: r  c, d( p, ox=simple(x)




  x. Z2 ^- U1 Y/ c0 p: t  o8 N2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

' N1 ]7 i2 b/ F) j3 p' G（a）假设
: \+ a% Y4 a/ J( N: T# O/ i% |（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
$ C2 S; x$ w9 G9 @8 i2 R

$ ~6 a0 m1 g  Q, @/ i3 i4 k
( I% `! q: B: c( W4 B- J5 J8 r （b）建模

" C: ]' ]+ q3 s  ]5 g. R- R, H
6 c* R5 P" t) q! s: n

5 F" J3 c; m( P0 v
（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

1 W- }; t. O7 O0 c  [8 d

下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

1 q* P3 _, f4 ]! g  q5 G  H! q5 Z3   X − 链遗传模型
6 t/ H' ?, l, M: G. P- C( sX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

, Y; L( [" a" f) j) h（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

7 W/ C0 o8 _; ^3 ?: H7 a5 S& o) e

  w2 _" R2 G( [; c# |5 U- z

- S  G- P5 @0 i
3 o2 Q( q1 C0 ]4 Y, W, R6 M2 K) u
4 N. \) f: }% f( H8 j# B; [
编写如下 Matlab 程序：
$ x/ f' e! w8 ?2 G
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
3 f: F+ w( c, o7 E2 jM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
+ ?* M" {) C) Z& ^. L 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
# N. E  ], M  ]  i/ T: L0 l. p; cx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
5 L: Y& ~: J2 P& v( Lx=simple(x)


由上述程序计算结果可以看出
# Y6 `$ S+ U( V% a$ G1 A( r



————————————————
& Q8 s( m+ a) p, q版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
% ~4 _/ k! ~0 ]9 Q$ y8 D