差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
+ f( b& }8 h7 n( R

0 ^3 ?9 C: h0 G7 f( D, t
& A# j# p# e% `例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

0 M/ g! p8 j7 D% K6 f（a）假设
8 N" h4 g* Q2 N令n = 0,1,2,...。



. W# r* }2 H5 l) g0 Z, N（b）建模

6 D+ g* |: K, L) i0 y8 U( e0 M


$ i% u) T1 }; B! |; x( X
6 O9 D9 \6 ?! z$ D7 I编写如下 Matlab 程序：

/ G3 N! b; `1 K6 j7 bsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
3 @) W: Y, W; s. i; g[p,lamda]=eig(M);
$ W4 R/ U% d4 e8 M- c- Jx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
5 Y5 x1 c: }2 R* _7 I0 ex=simple(x)

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：
; R( ~9 d! N- h! a$ l6 }' c
2 K2 Y4 E2 Q. J  Lsyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
  _  @# P% \9 G3 o2 g! y/ @x=simple(x)

* o- e4 n$ N' G: C8 M3 h5 X

3 u- r; |0 D0 b
2 常染色体隐性病模型
( g* T7 \, Y3 l现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
: I" ?, v* k* c3 Z6 s  j1 `（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
" }# d% u4 w; c2 K# S0 g; k


6 r+ x' B3 w. M/ A* } （b）建模
+ n$ o; d/ e7 h- g# A
, J, u% j. j3 S+ t0 N


) |$ y& O3 ?6 q- y. V) R) f
（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
- a: ]; o0 G. c$ ~" v
( ?6 F3 c4 {/ e- }5 j
2 G' R- u/ L7 [. f' G7 L% u
; F% V0 p7 J$ c% z下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
$ w9 l- A# G6 R+ V- T
0 D# ~4 x+ g0 n6 C" v  i3   X − 链遗传模型
8 n* Y- s3 Y2 Z; oX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
6 g! Z$ F" K8 n% n（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

" d' q7 r: h8 G* K

! L5 ?; i$ z- @* S6 T
5 C4 f- _5 b3 j. e5 O" Z
) G' D% W4 C  [8 X

! r. P1 U$ {4 a
编写如下 Matlab 程序：
* l" r; Y# _5 m9 P9 w
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
' I, ~& U! w/ ?5 B" t+ O, v: q 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
5 E3 m; Z- a. H" X2 u' P# e& s% a' }8 uM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)


& }  \% Y; K+ [. F( ~) k7 `由上述程序计算结果可以看出
* S3 N4 x! U( ], }. i

9 A" O+ S  P1 p/ X+ b- P

: Q% F0 C8 }5 ~$ k' T, [) `————————————————
+ b& `. c: z0 v, O/ w版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
+ j. ~4 d. ~; v( q1 w7 {- p2 H( J' s原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596

, L! ]0 D" P4 @0 B6 G( i+ A
2 f0 @4 C0 f( x, I