常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

5 s$ b$ r: P) S$ }" w1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
, [" r6 ]% Y. l+ n4 Y4 P. I
, \# J  d4 H3 H2 v3 F9 l; c* M, |
6 z; U2 Q+ e+ i# E$ z8 K' @
2 x+ x! A" H* C  {在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

$ I9 B- u( X3 M4 ~- q- P. S) C

& \8 ~& V! {6 D# I7 c2 R这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
! E. D. o- e$ v' \- [
数值解法
+ _: j2 b9 ^) n5 z. J所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           


+ q6 h  }% O  M
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
  C7 r. E1 m; h
) Z. e: J1 @; J- C8 ?（i）用差商近似导数------差分方程初值问题

: z! L% U+ D6 S" X; y

2 n; `* J( v1 X  y4 ^: `+ b
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
- M  W4 q$ |1 e1 N- A. p
+ r. I" Y. D9 H* v& [1 p4 A$ |（ii）用数值积分方法
0 Q" U1 x  F, Q& F, I" P将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

4 H% l; E# k  {; w# I

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

2 r# U9 K  r, _4 S（iii）Taylor 多项式近似

# C0 w: j% r. [

, _4 M9 h. h6 D% Z  D# |% y以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
7 i1 W, c) f% k5 Y/ `————————————————
* ]& r( c' N4 Y9 x5 t版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703074


1 r9 [& t" O0 A5 c* w) a+ H