常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

' H9 R6 S4 M" l" @: _" N1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
' P6 G6 }/ M% V! G4 X

) X' n  O; V$ f" U2 @+ a  F
/ L$ X: X9 T; A( B在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
$ ?6 `4 B! ?& A+ ~1 v
" a7 h9 a) i! O. V4 P
9 ^2 J3 b% b  `1 B- n
这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
% s3 a" O& ]; \" F) l
数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
. Q3 a/ z: {7 G8 y; Z

* S9 Z- ~% m  q' O2 T2 @" H+ H/ z! j
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
+ w% W; b. f" `
- H- U- H8 v7 r（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
7 b1 q$ I, L6 f) r! k1 H6 M
1 ^1 M; Z3 o7 N4 ]# {( l


# B  e- z5 C7 T* a5 F/ t9 R- t需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

( I6 b$ L. W0 h6 h（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得



右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
( \# K# R" s  A+ ]$ U! v
/ g1 z7 |* W4 Q" ?, d  k（iii）Taylor 多项式近似
6 L& h5 ?; r, I1 z9 C0 g  b1 k6 }
0 S! s0 c: R+ E6 S7 b6 \- \, C

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
* d/ _, H# c( O: n5 @+ f6 d0 O- B————————————————
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