常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

1 常微分方程的离散化
; Q) c, g+ `3 P" ]8 s4 s2 C下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
  q5 i5 U& R. U. p7 L1 m  Z9 Q- s

/ G2 U$ p0 H; k: H/ v/ Y) R0 ~
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
$ V5 b4 _4 W- K; o4 J& O% _0 U' D# U
7 O& w0 X. T) G7 ~

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
, y  \4 s2 H  [- R+ \9 ]0 c所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           


# d+ s1 U/ B5 Q
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
- [& Z. l6 K; q+ j8 `) c0 A4 a; r$ G
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
6 H2 u2 L% k8 ~7 e3 J+ g0 b
2 N6 [3 D" t$ p: m# c
: S8 R# `6 f8 ~1 M
. `: F: `+ Q3 N( |2 k& B2 D/ e& c
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
+ k/ x# X# @3 ^/ n9 b" m
% S7 ?3 E# L0 ~' k! E5 b（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
1 V3 D0 @4 F- Y) a( y" q
% z7 R1 L% D) l9 J4 Y: Q
7 z! L# r) }9 m+ G! E1 H% `
  r; H  _3 `/ V右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似
2 r, \2 P- J  [9 P6 p

+ R  n: Y7 e8 [# m9 I  ~/ `0 s
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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