常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
2 C) V5 r3 q" f$ |
+ i2 b8 t( X3 O6 A& f  v2 x$ q1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
' s0 L# K# X% L, J" @* ^9 |+ l( q
8 ?5 [# P+ o5 h  A" C

在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得



这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
# D7 Q+ ?5 |7 u& `

, Y0 V$ A  B, e1 R( W
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
: q( M" G" Y0 p) C
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
1 n- C( K/ l8 y8 \$ L1 m

) D5 I8 j' B; G' m9 f

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

% P! C6 b# F! O
: E' s: |& T( x1 h
, [9 t+ ~* {# _! r右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
2 ]: J, }4 i/ a+ l, X3 s4 m+ l
  A2 c5 W. d5 }4 {5 a（iii）Taylor 多项式近似
1 y3 \* J1 u5 ^
% W; y' b+ d# n; g* k# Z

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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, k- v8 a) y; x原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89703074


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