常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
2 l3 y' q5 h1 A5 F1 E4 Y# ]9 W  n! REuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。



$ D" _9 o: O  Q: \2 K8 v8 D2.2 Euler 方法的误差估计
! X/ \) D& Y4 s: m) i% i对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
( W5 v$ X. ]- t



6 b+ m' n+ y$ ]
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
( M1 O9 B2 a0 S$ ]. Y4 G% i3.1 梯形公式
* e4 {, O4 f% L/ q利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
) m( h. v7 J% \5 `- z1 H1 J4 ^
% p- {+ G' B, u+ q- x3 [
7 w% L# s/ Y' V% f4 I
! A4 ]7 J2 B: U3 Q+ q这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
- d0 D- e9 Z/ U' v* y2 {/ W0 I
& Q9 L: T% O9 ]/ C9 y直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
) q- w& C( O0 a! U2 Q' A


& ~% G* E3 M) D1 Z& }如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
3 ]; m5 g; b. H# H$ f5 ?
3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即



0 T% F5 G& o  Z式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成



改进 Euler 法是二阶方法。

8 T% |+ }0 Y: Z5 @2 V8 U
4 ^6 D6 Q  r. E3 v$ G5 d, a6 n! t* P————————————————
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