常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。


0 h& d" R; D; d6 r
2.2 Euler 方法的误差估计
5 u7 ]& f( _. m' _9 ~7 G- W% G: D对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

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& R& h1 r2 r& m- W  v1 ]& X- ?: V
9 \2 W8 b$ f% _/ \显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
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( e4 G4 O6 y2 p2 H) {* b§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
0 Q0 p! n3 D5 k8 n5 `* K! i; }3 M利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
; p# j- M. @9 k) l. g' A

% c  X& J2 Q2 S2 v8 p+ `
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
, T4 A: D) E0 k0 L' I0 e4 ~$ a4 d
/ U, n3 z1 R  `( A! h. K直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
' ~+ n! t4 {( P" }3 e# D( D3 f

, [/ w& v2 E0 E- T% J
) }# T9 f; U$ P如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
3 p4 m7 p7 |9 I8 l
3.2 改进 Euler 法
" |$ C" L( }) R按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

$ J3 e( r: P" U+ m* h

式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

, W/ {: H+ P$ I2 \5 _4 |为便于编制程序上机，式（11）常改写成

0 t3 w5 p* K0 _# U- ]8 V- v
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8 M' Y1 B& z4 z  f, {- y4 W3 N改进 Euler 法是二阶方法。
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4 Q/ V  p4 p0 Z& l0 Z  {————————————————
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