常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
( k5 D2 _2 H) X& n7 z, SEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
1 r% ], z/ r% U% d, ?" @  f) q
( O( b! G/ u1 v& D5 b0 l
, g- k6 J" [# R9 {* [
2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
: K. J4 h1 e% E% S



/ j& [1 k6 o4 F. @* z& H$ s, j% ^
. O" a; B3 p1 W' m显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
3 n- ^+ \4 x& V* S/ Q' {% Q
§3 改进的 Euler 方法
" f6 |( x( L4 o' W7 f3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即


$ _, d' [: F; {8 O; a; h
这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
, A& H) W5 ^1 K
+ b# L% I, v& ~! l9 x直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
1 `" d7 c( [5 M7 _: H, \6 ?
: {, f" h6 O+ M. E; U- F
9 o& s9 z; h# g
$ P* M: c* G; w3 s3 ~如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

+ D: e5 Y4 i( [+ H$ B3.2 改进 Euler 法
8 ?: k# G3 E$ h* Z& [5 ^按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
( _2 ?9 a( ?8 }9 Q9 v& Z8 o: |

( z2 L# @+ ~2 y9 P( m2 l# ?) g5 j0 p
式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。

0 T' Q* l& W' A为便于编制程序上机，式（11）常改写成
% \3 L  c3 T3 S5 {1 {


改进 Euler 法是二阶方法。
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( d/ i0 C4 n. m. l
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