稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
; U0 V# `& V4 H1 \" E
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
( F& `9 O( R: L/ O5 x% Z0 _* h
自治系统、动力系统
/ G+ G8 F2 s1 b) G0 w* i% p$ H

/ ]  O. O3 [2 W/ R7 p
, J: C  ?$ W) M) ~2 J' c' ~2 D$ Q: Y
" [) e! t- o8 t+ x
相平面、相图、轨线

# O4 R" M) n+ b, Q+ O: w

* x0 v. H, U- X) ]奇点、孤立奇点



% Y. k2 L( e/ y" w- H- s
1 v  `/ m$ {# G
3 j% H- R* j6 r/ R 定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
; c  m: {+ x! S7 X' J
1 j+ e& e, a8 c/ u对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
# c# R1 I) q0 {; t. x4 K. @
! l% h& u6 Q3 k% x5 q定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
3 ^( s6 y$ T7 G
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。

（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

5 I( s1 r/ G5 Q（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
# r/ J" I3 I3 u- C7 S0 o3 q
定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
2 Y; b; B  p; D. S/ y9 W- Y
对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
) ?6 H! k5 |6 @, K6 r6 z


称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

, q- V4 u) ~, f2 A& g5 Q$ c定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

- k& Y  D& E! U- n

4 ?( }8 B: [" v8 d9 h( Y9 p
/ N' m- o+ C1 O( Z0 {9 J0 ~1 S
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# k( T7 C) x7 B8 c