稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
/ R" Q, m; S/ j. b
本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

' I6 E) M4 S; M- G2 r自治系统、动力系统
& o" P8 x; S7 A8 s% C
4 F' i7 d" {4 {8 k9 |' i/ R
$ `; B1 G- Q( g4 @
3 k+ I: n7 x5 O9 O0 C6 P" f% r$ U
, B& S' ~1 d' z! g+ `* S" u
: h; E6 H! g% k: ?: _1 o 相平面、相图、轨线


2 m( S0 n- m' g
( J7 t6 ^8 n- j4 o5 Y奇点、孤立奇点



7 [( r/ n$ F* q# ]) d
7 G* d* B, I, k5 e8 N
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。

对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
8 x% a: i( h+ y! T
9 Y3 R- U! J6 ?6 _/ T定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
) g# B, S, i2 @2 p( U/ ~1 m# ^; d/ [& M
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
% `9 T1 i% T7 T7 N$ `) j/ U: Z
4 y- G/ E2 `. ]- {; h（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
. ]$ }/ q& C6 ?9 }4 G
; f+ g6 e- Z/ J% B+ O/ z3 c（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

% z( p( o( v/ m  g定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

% H- O* d' @+ S$ S" c8 f* t对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
( q9 ?3 ]( p  Y7 p/ Q! H0 u, M


0 v' {' O2 u0 U5 o: @9 |" X: H0 f, }称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：

3 n! O, c. `) Q. |0 z4 S定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

, ^# G3 \1 c, N+ T$ i4 e
  {3 e5 O& W7 i9 R7 M8 m


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