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s 等待制排队模型、多服务台模型

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浅夏110

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电梯直达

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发表于 2020-6-12 09:59 |只看该作者 |正序浏览

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1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

述公式得到平稳状态的概率分布。

2 M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布

2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队长

式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

2.3 忙期和闲期

个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S）该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2）店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数；（5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记

式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

例 2 某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

M / M / s/ ∞ 系统，其中

求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

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