排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
3 X4 }, W2 w1 l5 t
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
9 h. s( c2 L  o0 J$ E
- H. Y) \3 y& z8 A: Y! A! X
" r+ d4 s, ^5 L# L" N  |
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：


& d7 O+ h/ J+ t' m$ F- r2 N


述公式得到平稳状态的概率分布。

2   M / M /s 等待制排队模型
8 ~, P% c& ^. n; C6 M+ [2.1 单服务台模型
. H: v8 r1 H) @4 }0 Y! |单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布
1 W: O& `: |2 B! z


2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
' k5 V0 Y* H' M' }


+ X: q8 F3 @# O( I) V1 o# k5 {
# D9 A. l: d7 J0 z
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
8 J& ]% d% P- A/ P3 l! K
2.3 忙期和闲期
6 L  R" E) K7 Z8 T
* W. j& w3 b* U

  t5 A5 F/ `  K/ T  H5 N; F' K* U6 J个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
% N7 J8 u/ G! F( l# q; u5 a( A5 r
2 M' U1 @. ^9 X  V* ]8 l3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
! O- f- H1 V- V) Y, X1 R! P2 p（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
/ ~/ d4 X& M; U0 @/ Q
& i6 |; [, Z5 z* H例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

* A$ K: t5 x4 I8 D. s/ t6 i8 P2 U. e
* m5 S3 m4 c; A+ M% D2 M
, [$ `+ G1 H  x- x8 L编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
8 b/ ~) Z& z# w! n  `) z0 JPwait=@peb(rho,s);
( n/ A. G6 _* C% \# f( o) s- X4 zp0=1-Pwait;
) r% X: x' D" C* aPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
: ]! s( j, K9 V+ m7 a' x; @% ]2 F设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

2 s/ w+ o2 W% }" X! H
! x  u2 R! g# W
, \" v5 M7 u$ L7 e$ z+ r公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
, [1 a; K; d9 p( q9 p8 b


5 h( i4 m+ F  @3 j6 p; [, M+ x, k式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

9 w6 E. j) N3 i6 H$ ~



对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
' U. C; p+ ^% {, ]  T9 m8 I


例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
# x. b1 h, P- K$ I& `: O
M / M / s/ ∞ 系统，其中

3 S1 A; C% N6 F# v) h
) {- a* N) z. x& i# d

+ S, l# I: v: @) J3 m( P
求解的 LINGO 程序如下：
  w9 p3 y- }2 P3 l& ~
5 ~' t/ k9 K1 S7 ?) c! qmodel:
" k; u: u& h: C% j1 E' @2 S2 fs=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
. g0 n# y5 M- lP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
% x5 g2 V6 P& B; {6 zL_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

1 y  @3 J3 i. H————————————————
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SHINee0525

感觉很好 很实用
* ~1 q) k; u" t% H( L4 C3 g