排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
+ L& x3 H! _1 [5 w( e. T$ U
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
1 w6 J3 H9 C( I& I4 z" h& i


# k: U" \# \/ V- i8 ^6 W3 q. u为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：


7 c% _9 P" y" M. I! w

% e6 I- W: l9 `
述公式得到平稳状态的概率分布。
, @: z# e) D8 a9 M
2   M / M /s 等待制排队模型
$ i% X, a# m# a( _+ w( l, H2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
. E  z/ J+ }( u, h8 \& H% Y* s
( J  v+ u, F  s' {6 H2.1 队长的分布



, F. Y  J, I) s# q3 ?" k2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
$ m2 H* P. c) V


6 E+ i4 Y. c8 ?: l' t

式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
, u. {: o1 U- Z4 `4 Y" Z' y7 c" _
# w' a& ~: b9 Q. R$ ^2.3 忙期和闲期


6 P4 E) a8 ?) j6 f: _6 m
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

8 x- E6 F7 x  L' k（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
: E/ z; X2 ]% E+ R) j; T
例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
1 E3 u2 c2 D: i/ c4 o2 p


; u+ p0 H7 N3 A* h* a5 ^编写 LINGO 程序如下：
) x/ t% o5 f. A" n2 v% ?
  b6 C7 l% c1 V6 u0 O% lmodel:
0 g' A4 j; @& ps=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
' y9 Y" r! g$ e; q0 G8 UPwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
+ M: `7 b4 F6 h+ rend
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。


# a8 B4 p" z9 \
2 K  H) ^" S; ~: i7 U+ B公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记



5 e$ k5 k& w. S% y9 F式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

/ ]. ?/ g! B1 q- d" o8 I; f/ |( y. c
' E3 ~4 h  k  B7 a/ F
+ h3 h$ P$ J" J

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有


. Y7 l% H+ o; P- Q* o; L
8 }) |' |; R# `+ Y2 t例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

8 W6 r. T. G8 k7 bM / M / s/ ∞ 系统，其中
% a) y) O( |) w- s

0 e6 n2 s4 k( Z' {& D( O# G' R( h

/ f( ~! q2 a* W
求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
3 G0 J, `1 }- d- W: Ip0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
0 {& L- B" }5 \# [L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
2 P0 i+ ]( ?. Q/ s7 l, X5 L( k
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
) d, f# {. `- [! q/ P# [$ }原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
) z6 \( }' R5 p/ l" {7 o

1 C( P8 k5 c8 f' f7 U' U# t

SHINee0525

感觉很好 很实用