排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。

' y9 o: D  ^) c& e. m1 P7 T6 T7 I  E) i1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。
$ X' ?3 w, M" t9 I$ d9 Z; D


+ G( D: P& }3 y* G- i) r

2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
  ~+ B. M* q8 `% ^$ l1 ]例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
: c9 c/ ?. O$ i4 k
5 {4 a2 q" }: X* `9 A+ W
3 T: T3 G# n8 O. [9 Y2 i
" U1 P+ X* I+ w0 }model:
s=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
- {5 y5 p9 Z0 \5 d; E* OL_s=lamda_e/mu;
0 ?  [/ e; v/ {6 \) _eta=L_s/s;
% _# S; {) ], G  m, a- n! ^. T' |end
8 Q% Q0 r, H$ J0 ]8 t3 P6 _求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
  A7 k/ }% N6 N3 a2 c: J+ M; m
" ^9 e1 x0 e0 n/ G/ g9 p2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为





# r# W6 O# ^8 H4 p由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
5 Y) _% r, E6 c; n! c( {9 u
: j% g' g, O+ m; W6 Y  bmodel:
7 h; `, W# l0 {2 wlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
, l) J  C- r- F' _Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
, P( M& g; V  N: eQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
* {* ?# _2 M% g+ |( _8 _eta=L_s/s;
- K, m* P* x$ C3 q' P7 Dmin=s;@gin(s);
" }6 D' e' \2 K2 m/ E/ Yend
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。
2 s2 `0 A4 ~. }2 t* D( b
求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。

第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
* T; g9 t) A& n4 ^/ O) ^4 r; Y
; l( V5 @3 I9 M* B( j1 w2 kmodel:
lamda=200;
7 f- q! q, V0 |, O' V3 r8 d$ [* kmu=60/3;rho=lamda/mu;
6 @. E8 B" Y- b@pel(rho,s)=0.05;
end
/ m. I$ |6 z4 d2 G4 ?; Z! I求得 s =14.33555。

第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

6 k$ H% S% g* e/ n# o8 qmodel:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
7 H+ p6 m+ V# D; lQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
7 P1 _+ }- V/ z# xL_s=lamda_e/mu;
/ p# w5 D4 H  h9 ]8 J1 i# Seta=L_s/s;
end
比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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# C& ]$ \8 d, {- l* m$ I
1 A6 y; \1 x  D