排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
6 C* X3 V7 X8 c4 h
1 损失制排队模型的基本参数
对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。



& l& x& }" T. T( A

2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
$ J: J' F9 \0 g# v+ Y例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。



model:
9 z* I9 @: l+ O: c# r; Ks=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
! `9 U& x; d3 c9 [  @Plost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
, }2 k) V( z: @' f1 }! _2 g# i+ ^lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
4 G4 \  ^" R8 S7 TL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
$ n# G9 O, H. V* d) w6 u( U1 Yend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。

2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？

解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为
; W# l0 X  S- j/ C2 R7 f$ U
5 W8 c( G; ^7 ~( C' L: o& P
6 M( i4 n9 n/ Q; V. g
3 E" z. x4 l3 Z" z( |' L
3 o0 p: \, D+ \# K7 L1 V% y. L
0 O1 e/ I4 D2 C" D* U由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：
* A: T4 ?  _& s0 C& @3 Y+ r
model:
3 ~) f2 t0 w1 z4 Z* f  J3 Mlamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s)lost<0.05;
: {$ v0 q* Z% f+ f7 j3 rQ=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
4 r0 l1 c: x  b0 [* R/ j5 ?eta=L_s/s;
$ p1 a+ y& @# z3 Tmin=s;@gin(s);
end
* A9 y9 S1 l5 F; M求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

' O4 e. x; \* r& ~! H7 g求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
+ [4 y7 ?$ t3 a5 d. k
" z; k( L" K2 T, I6 d( e第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
# E9 N& p, @% E% f% u7 ^, [
model:
lamda=200;
( e- W; W( T8 G% P# S: dmu=60/3;rho=lamda/mu;
: d8 U9 F: I% u. t5 f4 w@pel(rho,s)=0.05;
. u9 r7 Y; h! Yend
1 U" Z8 _9 M2 D% b6 B求得 s =14.33555。

第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：
+ q( A+ u6 ]* u% m/ ]
model:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
L_s=lamda_e/mu;
9 j$ G+ n2 a; P1 ieta=L_s/s;
6 P7 U6 h6 k: @# Pend
" Q9 b3 V! l/ }% Y2 Z比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
; ]* G5 n0 y4 Q4 J4 i: X————————————————
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