排队论模型（三）：M / M / s/ s 损失制排队模型

浅夏110

当 s 个服务台被占用后，顾客自动离去。 这里我们着重介绍如何使用 LINGO 软件中的相关函数。
$ V( W& ]6 z" y: o4 i
+ H) }& H% F9 n* j. p1 损失制排队模型的基本参数
0 E( _) V* t4 ?9 G6 m# p对于损失制排队模型，其模型的基本参数与等待制排队模型有些不同，我们关心如 下指标。

, c: K+ \( a  W. I" f0 O

! E0 P8 W/ u& c8 x4 v
" }. l3 @8 ?% y" Q% v
2 损失制排队模型计算实例
2.1 s =1的情况（ M / M /1/1）
- M! a0 X! b1 W7 O9 S例 3 设某条电话线，平均每分钟有 0.6 次呼唤，若每次通话时间平均为 1.25min， 求系统相应的参数指标。
* \* {+ r- c6 y3 j$ {9 V0 b
2 q. k( P+ p5 C+ T  D' u7 Y

3 r1 i5 f7 B7 b8 T# h; Emodel:
- A. k! m$ X: P# vs=1;lamda=0.6;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;
Plost=@pel(rho,s);
6 R6 V& F' N( i3 e# |% M7 Q# b" u- ?# tQ=1-Plost;
  I" a0 f( X& P7 w8 V8 Olamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
+ _$ p4 g* k' R6 qL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
- y, j+ \1 b. `% ]. bend
求得系统的顾客损失率为43％，即43％的电话没有接通，有57％的电话得到了服务， 通话率为平均每分钟有0.195次，系统的服务效率为43％。对于一个服务台的损失制系统， 系统的服务效率等于系统的顾客损失率，这一点在理论上也是正确的。
3 i( n. ]* V# Q# q5 f4 L" p
. r6 ^0 S' Y( U& ^9 W1 a2.2    s >1的情况（ M / M / s/ s ）
例4 某单位电话交换台有一台200门内线的总机，已知在上班8h的时间内，有20％的 内线分机平均每40min要一次外线电话，80％的分机平均隔120min要一次外线。又知外线 打入内线的电话平均每分钟1次。假设与外线通话的时间平均为3min，并且上述时间均服 从负指数分布，如果要求电话的通话率为95％，问该交换台应设置多少条外线？
4 N. e5 A4 x' r% w+ {8 X; ~  p% X
' ]* s2 t8 ]4 k# A解 （1）电话交换台的服务分成两类，第一类内线打外线，其强度为



& O8 H; V+ o% b: c" P7 n

0 o% H, |2 r9 {4 m$ W1 I由上述三条，写出相应的LINGO程序如下：

model:
lamda=200;
6 t& ]+ p) |1 U! z4 M3 K* cmu=60/3;rho=lamda/mu;
3 h; a# t3 J+ }; q' |3 MPlost=@pel(rho,s)lost<0.05;
- D' D) v9 S8 m" b( i3 SQ=1-Plost;
. j' `! q6 o" r9 \lamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
3 r2 l5 z1 [$ i7 iL_s=lamda_e/mu;
eta=L_s/s;
min=s;@gin(s);
; d, v) n$ ]! E2 Y: M6 K" Gend
求得需要15条外线。在此条件下，交换台的顾客损失率为3.65％，有96.35％的电 话得到了服务，通话率为平均每小时185.67次，交换台每条外线的服务效率为64.23％。

求解时，尽量选用简单的模型让LINGO软件求解，而上述程序是解非线性整数规划（尽 管是一维的），但计算时间可能会较长，因此，我们选用下面的处理方法，分两步处理。
' V( |& m+ g6 @5 F6 f' P
第一步，求出概率为5％的服务台的个数，尽管要求服务台的个数是整数，但@pel给出的是实数解。 编写LINGO程序：
, A+ m3 V+ p: |7 e( ?
model:
lamda=200;
4 k; l1 ?/ ~, T- Q0 u3 c# lmu=60/3;rho=lamda/mu;
@pel(rho,s)=0.05;
end
求得 s =14.33555。
  {% @7 G+ ], `( S: o! s. F
( _$ C6 ?  N4 o第二步，注意到@pel(rho,s)是s的单调递减函数，因此，对s取整数（采用只入不舍 原则）就是满足条件的最小服务台数，然后再计算出其它的参数指标。 编写LINGO程序如下：

3 n- S; o3 h) Hmodel:
lamda=200;
mu=60/3;rho=lamda/mu;
s=15lost=@pel(rho,s);
Q=1-Plost;
! L! s! ?. Y* Q4 ]. N! ~) wlamda_e=Q*lamda;A=Q*lamda_e;
0 [, i' s+ Q1 Q- p- Y5 HL_s=lamda_e/mu;
' w( Y% N0 F. B8 `eta=L_s/s;
end
5 {  ?2 G- }' l% i比较上面两种方法的计算结果，其答案是相同的，但第二种方法比第一种方法在计算 时间上要少许多。
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