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[建模教程] 排队论模型(四):M / M / s 混合制排队模型

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    1#
    发表于 2020-6-12 10:03 |只看该作者 |正序浏览
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    1 单服务台混合制模型
    " I9 j6 J; M: P& H单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布,服务台个数为1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统的空间为 K ,当 K 个位置已被顾客占用时,新到的顾客自动离去,当系统中有空位置时,新到的顾客进入系统排队等待。
    : k  ~- n4 _' T
    1 n4 |5 D( \- B- v
    , h9 r0 ~! }$ W- o
    , w+ k, m5 e; s# W3 l
    , O3 _8 x$ U* A9 j1 \# `) [' Q5 {5 R& m& v
    由于排队系统的容量有限,只有 K −1个排队位置,因此,当系统空间被占满时, 再来的顾客将不能进入系统排队,也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率(单位时间内来到系统的顾客的平均数)为 λ ,则当系统处 于状态 K 时,顾客不能进入系统,即顾客可进入系统的概率是  。因此,单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为:' B5 c* i9 w) j1 a
    1 r# X+ k3 O: J& x

    7 n, K: M/ ?" w( V) S
    . e" W. |. ^2 _% V2 W/ _例 5 某修理站只有一个修理工,且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站,平均每分钟到达 1 台;修理时间服从负指数分布,平均每 1.25 分钟可修理 1 台,试求该系统的有关指标。
    7 p% ^2 O/ ^% X5 M! w  q( X! S
    ( s* W! u9 c; }1 C) T8 b解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统,其中- e8 k7 A$ o, z5 D$ T- W
    . r, w: ^3 b$ y

    / k: \# J& W1 E% L
    8 X: K% W' H, h: a) V. v( A' y
    ; U. T# @: _5 \7 u! V7 K: K! Y
    6 k$ R. c1 N( T3 w+ H% W编写 LINGO 程序如下:, w2 s: H1 X0 g  K1 g1 M9 q6 O

    5 s, G6 w/ H. Z, F. ymodel:
    / ^" h: C& U3 h! _$ Dsets:- E( x# v  V5 h8 P  @0 ^' V  L' \
    state/1..4/:p;
    9 ~& P8 u- Y# D: M8 E' [endsets
    3 j% ~8 A6 ^5 n9 n2 dlamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;4 g! T: A  h) G3 I5 w
    lamda*p0=mu*p(1);+ q7 t, L  d( H$ I* W  N8 h
    (lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);& M( P2 R$ t+ V1 v' C1 z
    @for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#% n1 x. L0 O1 Y5 T2 }
    klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));! E* A5 p' M6 _6 }. g* I1 S
    lamda*p(k-1)=mu*p(k);
    ! w" F* b* v+ E, k  wp0+@sum(state:p)=1;
    0 I- N9 O  z& i9 j2 @1 vP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
    7 t( a4 v$ I% H! j& p- a$ aL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
    + D5 E6 c8 t2 S; E# OL_q=L_s-(1-p0);
    + _9 ~) j. H* S) q! r& nW_s=L_s/lamda_e;
    ! g3 p+ {% j- F3 _8 ?W_q=W_s-1/mu;! S4 D( \; E/ W) b6 k
    end
    ; q& r$ s1 p9 O/ _9 V% `2 多服务台混合制模型8 H6 q  Y. P5 c! k2 p: P/ W
    多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 s ,每个服务台服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分 布,系统的空间为 K 。
    5 x5 ?7 d3 N2 ^& U
    ) v( f2 N! ^; i2 U1 I% v8 e: y4 [, Y由式(4),式(5)和式(6),并注意到在本模型中
      z9 @0 }3 z7 X7 ?3 A! ^9 J( V
    % l% \& E- [  b5 ^" a
    0 y& s; [$ ?: x" P0 w7 @0 |/ ]  f$ H0 ~/ f) }# D9 L* C4 a+ o
    于是* \" c6 g% X% x7 y; @
    7 {' M6 H9 U7 T' n+ D1 B

    4 `* \' h. n, v2 T! W8 x% c+ v/ N5 j4 O+ D+ w1 P

    9 S: r: `- z! Y0 t4 H# |( e3 p: q. P* L/ A) p
    / \- M- l; s) M- A3 c- ]8 [
    . p3 y7 j" z4 h0 f( p' H9 \
    例 6 某汽车加油站设有两个加油机,汽车按 Poisson 流到达,平均每分钟到达 2 辆;汽车加油时间服从负指数分布,平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车,汽车到达时,若已满员,则必须开到别的加油站去,试对该系 统进行分析。
    : o4 p: b- I& w, e
    - _0 i" M7 T  V$ q7 X6 ^9 |% \* R% r解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统,其中
    - ~& J, s8 i! a8 Q
    9 ]4 T: }  E0 Q; R+ K
    1 N2 W2 u. r3 y& G" I
      }2 s/ n3 V& }$ q" s/ G; ^1 T编写 LINGO 程序如下:
    , p  l1 G( e0 E& s( D) J1 P* @( x2 Z
    $ q% P# ^. D& zmodel:% K, m2 {* H( t, S
    sets:
    . {4 E* x" r+ l4 W- ]. Vstate/1..5/:p;" K5 {9 g$ K! v1 }+ Y
    endsets; w; k" m- ^  w2 F
    lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
    4 F/ w4 D! L( U1 olamda*p0=mu*p(1);
    ( [0 F* i8 x- [' r/ k(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);$ T& v7 q2 b6 E1 d. ]  S; L
    @for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:6 |$ C$ M: U4 T. ]
    (lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1)); / b8 C7 b( `% }, H+ E
    @for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:. F& N! E0 D" u5 J3 f
    (lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
    7 X' D& ^* X! b' T" ]lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);% R% H$ F  L/ @( z' o) T! Y
    p0+@sum(state:p)=1;
    % c6 F2 o/ m+ f5 `6 P' ZP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);/ A0 _2 ?6 K* l* E! @/ j
    L_s=@sum(state(i):i*p(i));8 w% b9 `& [; G: g, j9 M! J$ ^) [
    L_q=L_s-lamda_e/mu;
    / V2 l' c% s+ o/ dW_s=L_s/lamda_e;! J6 U# |' H7 }' K. `' s2 \; a; v
    W_q=W_s-1/mu;
    ) r. R" k  f  j% O  W% eend5 j+ m) _4 f( w2 C0 @
    在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中,当 s = K 时,即为多 服务台损失制系统。对损失制系统,有! X4 @- ]) W$ k  j

    / f' o1 l  ]  \/ G
    # M* G% T9 C/ h$ S1 J8 M, ^
    . P0 M( {4 S3 |8 ^式(52)称为 Erlang 损失公式, B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。2 ^3 K- p6 y- ]

    " V8 v# a1 Q* C0 u/ i对损失制系统,平均被占用的服务台数(正在接受服务的顾客的平均数)为4 g( S( }! g" H3 z  z- d/ D

    ( R" O) ]1 u' ^/ c6 H' K- Z+ t% ~- ]4 e

      j) ?4 Y7 {& I( \/ u5 P————————————————/ e1 G- C2 q2 I$ e, t* K0 A6 Q
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    8 f/ l; d3 Q& j3 J8 j3 J原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/897357284 G6 Y, a+ H, n* m

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