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[建模教程] 排队论模型(四):M / M / s 混合制排队模型

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    1#
    发表于 2020-6-12 10:03 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1 单服务台混合制模型# I5 J7 k2 t7 k* t# S& i
    单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指:顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布,服务台个数为1,服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布,系统的空间为 K ,当 K 个位置已被顾客占用时,新到的顾客自动离去,当系统中有空位置时,新到的顾客进入系统排队等待。
    ' K/ q2 ]; [" s8 y! V5 A8 h
    , Z1 T& z7 Z5 |( b( p  d0 O/ C1 O" C: i( h4 ^

    , P0 E0 f. x0 k' U" S0 |
    . _3 \& ~7 C0 d+ n- |5 L# `2 n( G. e2 ], i
    由于排队系统的容量有限,只有 K −1个排队位置,因此,当系统空间被占满时, 再来的顾客将不能进入系统排队,也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率(单位时间内来到系统的顾客的平均数)为 λ ,则当系统处 于状态 K 时,顾客不能进入系统,即顾客可进入系统的概率是  。因此,单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为:
    4 g2 }( O" O+ b" j* K1 N! [/ S( c4 G* \% t
    0 q: D. W" ?: n$ {% J! V/ J/ q/ i

      t8 D" L4 `9 z' u! H( P例 5 某修理站只有一个修理工,且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站,平均每分钟到达 1 台;修理时间服从负指数分布,平均每 1.25 分钟可修理 1 台,试求该系统的有关指标。
    / ?3 O+ d- t) C' C1 D& L3 {; m4 o3 O& m& O% R/ o9 f  u
    解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统,其中1 L7 R) V+ U7 N. J# F6 S
    8 {5 ?0 T; [4 A  o' G3 ~. L" I' A

    6 f; C/ t; r" B; \2 v- `6 A* p" j: v: j% E

    . q& c1 a9 H. w/ P$ t) a7 C
    + ~3 c9 Y( l5 ]1 h; L. H' }编写 LINGO 程序如下:: l" X# m, G  W1 j* o$ p

    5 f# ~! i& A- cmodel:
    $ }/ T2 y! `, Y1 q. u! Vsets:9 S$ T& Z& h6 M1 o/ _6 A
    state/1..4/:p;
    1 w4 I/ v, s" vendsets
    5 Y& U- n' |5 p' {& Blamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;3 h, w6 d  E& `% B& W/ W
    lamda*p0=mu*p(1);3 ^/ ^% _% m% b) g% Z& y1 b
    (lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);, R) g  j3 D9 t" q
    @for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#7 I. f* P8 G% p! n
    klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
    ; F1 b& W; L# `lamda*p(k-1)=mu*p(k);
    9 H3 m5 x# o3 V% Y0 M! W. ip0+@sum(state:p)=1;' ^9 X: @% E* E* \' v. r+ a- e
    P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
    5 x' f+ p8 b) g, {/ D& |L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));7 D4 g9 h6 `( Q# F0 R% n$ x
    L_q=L_s-(1-p0);
    . X- h" s0 u% eW_s=L_s/lamda_e;
    & s: m. A6 F  \  A/ E; a! _3 M. {W_q=W_s-1/mu;( b" Z2 E2 _0 _; |' w/ X: Y
    end: t% }% o, O+ x% b
    2 多服务台混合制模型9 a7 G3 a3 @( N! ]& \7 ]# t6 A# B
    多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布,服务台个数为 s ,每个服务台服务时间相互独立,且服从参数为 μ 的负指数分 布,系统的空间为 K 。4 m/ P7 V6 r: K- G2 \
    : ]- \0 s8 q2 S6 {9 s( L6 E, J6 F
    由式(4),式(5)和式(6),并注意到在本模型中
    1 }# ]+ h! W0 e4 X* g' H( m1 e; `1 V/ b1 a# J2 N" \1 i' M% M
    0 ?+ y( J/ P" w$ H
    . R7 ?1 b! p# S7 e8 x- C
    于是
    ! @+ Z/ P, x7 Y0 Q2 V
    0 C6 Z6 \6 h% q2 n7 v; z; c/ y0 C4 F. f  V. Y3 {

    4 X. o- G5 u- E1 `) A% X: B7 p
    % B3 a" e+ F; s4 a
    5 h! c3 O) g, L1 j
    0 q6 A; _" H  [7 o- W; O# s9 T: ]- `" S; z
    例 6 某汽车加油站设有两个加油机,汽车按 Poisson 流到达,平均每分钟到达 2 辆;汽车加油时间服从负指数分布,平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车,汽车到达时,若已满员,则必须开到别的加油站去,试对该系 统进行分析。, ^4 M7 [+ F% n
    4 B( x. A. {; D. l4 m5 z
    解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统,其中8 P% m" E6 t% y2 G

    2 M) ^: S3 |- [, Y- ]/ t5 ]3 k& T0 i# ]
    # ^$ v2 y' J& w7 q8 y9 J
    编写 LINGO 程序如下:
    3 ?. I: K' V1 }% G6 p8 ?  Y  ]% R' v8 n
    model:
    ) h& J: r5 Z# T! v; csets:. F  \  p/ _: `) H* w, f" [  ]
    state/1..5/:p;* M3 S& q  B4 t: r
    endsets7 F+ D8 {4 p1 R) V% D( t
    lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;  S6 A7 [' P* B8 p3 Y/ g
    lamda*p0=mu*p(1);- {' G$ z5 F' O, ?4 W8 y! Y
    (lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);% I) [* D& J1 o- c" \& O
    @for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
    0 f8 `$ s4 u" [4 O& t(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
    $ d% H/ V' Y& A4 P3 e@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
    6 H9 _: f8 Z1 d. h$ r8 B5 M( S(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
    $ P1 \9 Y* w' b7 ?lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);" z1 z, P9 O  F* m, _. e: [% V
    p0+@sum(state:p)=1;+ `/ t- L' w2 A2 _& Z+ r
    P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);% H) m  I7 ]" Z' c& X- W
    L_s=@sum(state(i):i*p(i));
    ' \5 x/ G, \/ d; M* i$ Q& P5 pL_q=L_s-lamda_e/mu;
    2 [/ I) {2 y: q) qW_s=L_s/lamda_e;; t- @4 p- k; u6 L# ^2 t2 B" b  e7 B
    W_q=W_s-1/mu;( t. L5 p* W, l  U) I9 E; V% |
    end
    # a; O, q' A9 t" ^. e在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中,当 s = K 时,即为多 服务台损失制系统。对损失制系统,有
      _# J4 x/ `+ _4 x2 W  W5 K& C1 z  [" O: u" _
    7 o9 J8 n8 v5 M( D# `

    8 D1 F3 r: X, `& a式(52)称为 Erlang 损失公式, B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
    # p$ `8 v3 G  L5 Q: {/ w" q
    ) y! ~1 ?8 a8 g" J0 f对损失制系统,平均被占用的服务台数(正在接受服务的顾客的平均数)为4 Y6 o7 M* ^$ c$ A) ^1 d

    9 J4 z! V* b$ E& a0 n' @+ X. r: K
    ( m2 \2 G9 [! H. |% S
    0 T9 @. q9 H9 F+ [0 S' `% K, V  O4 ?————————————————/ r8 o& S  h- F  j7 f
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    $ X- R7 b  @; B  N原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735728
    , ~! Z" L: f5 Q* B8 w
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    & p, I- r; S, J5 K3 z# i# {
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