排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
' K/ q2 ]; [" s8 y! V5 A8 h
, Z1 T& z7 Z5 |( b( p  d

, P0 E0 f. x0 k' U" S0 |
. _3 \& ~7 C0 d+ n- |5 L# `
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
4 g2 }( O" O+ b" j* K1 N


  t8 D" L4 `9 z' u! H( P例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
/ ?3 O+ d- t) C' C1 D& L
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中


6 f; C/ t; r" B; \2 v

. q& c1 a9 H. w/ P$ t) a7 C
+ ~3 c9 Y( l5 ]1 h; L. H' }编写 LINGO 程序如下：

5 f# ~! i& A- cmodel:
$ }/ T2 y! `, Y1 q. u! Vsets:
state/1..4/:p;
1 w4 I/ v, s" vendsets
5 Y& U- n' |5 p' {& Blamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
; F1 b& W; L# `lamda*p(k-1)=mu*p(k);
9 H3 m5 x# o3 V% Y0 M! W. ip0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
5 x' f+ p8 b) g, {/ D& |L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
. X- h" s0 u% eW_s=L_s/lamda_e;
& s: m. A6 F  \  A/ E; a! _3 M. {W_q=W_s-1/mu;
end
2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
1 }# ]+ h! W0 e4 X* g' H


于是
! @+ Z/ P, x7 Y0 Q2 V
0 C6 Z6 \6 h% q2 n7 v

4 X. o- G5 u- E1 `) A% X: B7 p
% B3 a" e+ F; s4 a
5 h! c3 O) g, L1 j
0 q6 A; _" H  [7 o- W
例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中

2 M) ^: S3 |- [, Y- ]/ t

编写 LINGO 程序如下：
3 ?. I: K' V1 }% G6 p
model:
) h& J: r5 Z# T! v; csets:
state/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
0 f8 `$ s4 u" [4 O& t(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
$ d% H/ V' Y& A4 P3 e@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
6 H9 _: f8 Z1 d. h$ r8 B5 M( S(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
$ P1 \9 Y* w' b7 ?lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
' \5 x/ G, \/ d; M* i$ Q& P5 pL_q=L_s-lamda_e/mu;
2 [/ I) {2 y: q) qW_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
# a; O, q' A9 t" ^. e在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有
  _# J4 x/ `+ _4 x2 W


8 D1 F3 r: X, `& a式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
# p$ `8 v3 G  L5 Q: {/ w" q
) y! ~1 ?8 a8 g" J0 f对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为

9 J4 z! V* b$ E& a0 n' @+ X. r: K
( m2 \2 G9 [! H. |% S
0 T9 @. q9 H9 F+ [0 S' `% K, V  O4 ?————————————————
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+ x+ m6 a% G0 c9 V1 {, G+ t3 y
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