排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
7 i. N% c% f; W7 i0 ]
! T; N; ~9 z+ @6 i, P* C# _

关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
+ F) \' G" x4 O0 f


: _4 T  M/ C& [( i) H下面给出系统的有关运行指标
2 M, Z1 L1 m3 s4 h' I" S


* u. b4 r% T& }2 y0 L+ z例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
& m6 R% B6 i" q6 I) I0 c7 H
* D3 D2 A( F4 G5 V6 r$ V. z解 用有限源排队模型处理本问题。已知



( d0 w0 {7 |4 u3 j4 t& g, q# Z
9 H, C1 Q( ?9 y- g) }6 P
' x! p8 n" k, r( f0 A" x# A# N# a4 d即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
* F+ v7 i+ n( u# L0 d
model:
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
load=m*rho;
4 }! m4 M6 i( j. R6 b' ^1 g' RL_s=@pfs(load,s,m);
0 M# X2 d" ^$ ]4 F, Y3 G3 Op_0=1-(m-L_s)*rho;
lamda_e=lamda*(m-L_s);
$ e: J7 O! C1 zp_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
( b3 X2 X# J3 L, z2 fL_q=L_s-(1-p_0);
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
end
( O, w  ~8 M) `4 ]2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为

8 ]2 S0 k8 O- A- `9 u
+ p( H6 n0 i% l! p; L
1 T( N" i0 ?- I2 `$ m* `

7 I: m* E2 J* r$ x0 y4 s
/ P& k: @7 ~2 ~# v8 F————————————————
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