排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

. ?3 M$ H; P& H3 U+ P7 n3 w1 O在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
6 A8 j9 l) m' f: B2 ?. q
/ o6 }: h% \9 k4 c1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
& W% l" `1 @/ u- L

6 t+ \: g' E2 y5 z. i
3 Z& T: h2 `5 F' Y

  y0 {5 ?6 [. s% ^
- n& ?- m8 _+ I% |6 G  D
编写 LINGO 程序如下：

model:
9 u5 Q% o( v. B: ]s=1;k=4;lamda=1;
: W0 u: k5 W8 f" `7 ^6 ]L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

1 o7 p  h; r6 T7 r4 J; X

" E; w7 E3 B0 O' m( @
; F  N$ T5 z) G0 b4 x1 f编写 LINGO 程序如下：
( R2 c) [' W5 C% d' X
3 z& `. ^( q7 N+ J7 ?$ Emodel:
sets:
state/1..3/:p;
$ q/ I7 \. A, C+ m* e. Mendsets
. z( c# S2 j2 A) O5 f0 F! l, }lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
5 }$ `& k1 q( X$ Q( s(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
% O) s' @1 F$ b& w1 V9 y! M@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
' ?# Q* i8 k+ k5 J# v(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
: w9 B. \: `- ^+ _0 J- X, alamda*p(k-1)=p(k)/t;
' D" Z3 |6 r* q8 S- M% s; y( Tp0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
* T1 a5 f0 d! }8 J2 B* Y求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

, P& _/ B: v6 N2 ?6 z2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
. N+ A, P1 ^3 l! W* l) c+ L/ q2 Z
/ t+ N* Z  {% z8 ]1 P( X
! y8 o- q) e+ p1 R

例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
+ r, J  Z* F1 I) l) M$ d) E* \0 V
' J# d6 d6 I5 G; w6 d) {

求解的 LINGO 程序如下：
2 ]8 P7 ^9 {9 L# X
- l4 W9 {& T7 }% r5 Z) @) K* A0 smodel:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
. W9 u, S3 _: ?2 D5 [& pP_wait=@peb(rho,s);
5 }0 f0 X" K) W+ T2 a4 XL_q=P_wait*rho/(s-rho);
6 e/ B) c+ ^9 @3 x" n( _/ t; tL_s=L_q+rho;
# Z* G- x  W  a& r. Zmin=4*s+6*L_s;
, i6 v( q* s8 x7 p@gin(s);@bnd(2,s,5);
( g" W, e, u; H9 y) s' X  mend

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