排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

# R% i  g* @% ?0 z* J( ~1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
  w0 h# Q0 K+ t先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即

% U, B' T: q+ k
2 K2 I; \2 u/ _0 c; O' [


) m1 S0 d$ N  g

编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end

4 e+ G+ e4 o  H+ l' F1 e
: G& a8 B4 x2 I: M  r
) z: c) j" t. r5 J8 a* R* J9 `! f- M, L
编写 LINGO 程序如下：
, D/ R  Q" e" t. \- A1 Y/ n: N
model:
sets:
state/1..3/:p;
9 b, J, V- e. N7 A2 Bendsets
3 [. }( u6 f# i. v! rlamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
6 A$ Q8 m8 i% j6 S@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
: o# Z* ~2 w; v+ L7 M(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
) }- L' K% a( G3 c+ q1 B" U2 H, Z+ B! O4 Qlamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
# f. w2 T: b- S! v
2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
' m% r6 U8 O2 {# d" b' v; b) i


  k' c; m" I' h9 j, f& O. l
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？

+ u% c/ [( C" _" ?7 f" A

" c# X& [& o* I: h: l& T求解的 LINGO 程序如下：

model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
1 s6 @& e- g8 W% k! `1 T2 ]L_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
* B" N- w9 C* ~2 o; cmin=4*s+6*L_s;
/ {6 B+ V9 f6 v6 z2 T, Y@gin(s);@bnd(2,s,5);
: f  B9 ]( s! _- H) e4 b) ~+ U$ bend
( O& n' [; Z: T7 }; H3 u
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, S7 h; D4 l2 d; g2 E8 r原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89736116
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