排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。

, X9 l! i' N. M1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
3 I; T' @4 b8 G5 C/ M, Z9 n先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即


6 R* s5 j$ J6 j2 a: V4 n7 [



' \1 z/ D3 w9 u6 G! M7 `
编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
: m8 _4 Y- ^* u6 Wend
0 ^5 k# ^, c; T' G; M! d' ~) a: B
" x9 i( a! w# h, E: m2 i( \
3 C, j$ |: ~& N! M$ C* m
2 C' a; Z: v7 c1 ]
. a& _/ d+ }: i+ @. v编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..3/:p;
' j% o3 \( {: f+ k8 Z  Y3 T7 aendsets
lamda=3.6;k=3;
4 t0 q2 H; b- m- [' q; L$ Vlamda*p0=p(1)/t;
! m  p/ ]) k9 u8 D2 E(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
4 R; ~- N& Q: X# Q$ Y@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
* Q9 O' L$ ]" c: v" s' x) ylamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
8 }+ l* o/ I% D+ x6 o9 qend
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  



. A0 k! D2 H$ }3 Q7 k+ o- r3 Z" L
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
/ t5 w' }' V0 X5 t4 i. H1 [


1 d! V' h' N( l& P求解的 LINGO 程序如下：

model:
) `5 B& I9 G, _1 j: Xlamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
; g! I( X3 O" l( i9 k- G% `: AP_wait=@peb(rho,s);
: \; T) C$ p1 fL_q=P_wait*rho/(s-rho);
$ M& [) m1 A. j% R$ [( C/ i8 e) cL_s=L_q+rho;
$ G! A* n1 v- Fmin=4*s+6*L_s;
@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

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