动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

3 Y$ O7 Z- K3 T0 [变分法简介
! p: o7 W/ K! G4 t( T1 M9 |: S; _
. X- S# K$ t; t变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
! k4 L( c* t& B8 y% ], v4 Y0 Z/ W1.1 泛函

5 v  U0 H1 f6 f: [

/ Z: O% j+ j: M; q+ ?$ U0 F, C 1.2 泛函的极值
9 L0 w6 L, M4 c9 j' _
6 ^# i( U7 Z. X. W

. e* Z! P  k0 p. G- S5 }  ?/ z1.3 泛函的变分

3 Y- Z# N* F3 r4 [! `% H

" c& p- d/ x* Z5 ^) N% ~3 j
# A7 ^1 w7 S7 @# b# a% N. D( N1.4 极值与变分
$ ]/ S: T1 n, o# }5 U  l; ^7 T6 C利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
$ ]+ k! M' h) t9 k; p3 X7 q1 p/ \! p


$ s  F0 c) @4 F4 F; b1.5. 变分法的基本引理



2 无约束条件的泛函极值
5 ~1 z/ ^, I: }+ X0 I" O5 P9 A8 Q
/ e) L) H. T( ~5 t: [

2.1 端点固定的情况
3 v) R; n9 T; ^: |3 T
" o% N" G& @. l7 g
' ?6 t7 t2 G! Q# f- h  v

2.2 最简泛函的几种特殊情形
- d/ P) n! m7 ~
* T# L$ w/ O, |* X



# W: O7 V6 i% |0 {. l3 d, q! K例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

! Z7 \: m+ @5 A  V+ t6 ?, R
8 @! V" |4 S) @1 v( U$ a! {3 U
) P- D1 Z% p( U; e6 d6 Q; j' P

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

$ M% y5 R5 O3 r, O+ m+ a* q

# z$ F% h2 q8 _$ R  M; {* \2.3 最简泛函的推广
8 h# H$ M& X( P+ d# M最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

& \3 {% X' r/ N# g' H$ e（ⅰ）含多个函数的泛函
, z6 ^% B* V1 a, ~


7 J+ h$ [) K2 Z# j9 {（ii）含高阶导数的泛函

5 `, D* P$ V+ X
4 d0 E! @7 [% q
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

/ e# [8 z0 [( v0 e

2.4 端点变动的情况（横截条件）
$ @& [  g3 \; ^, `. R, }  k
- E/ Z$ M$ B3 k: I& P; S6 \
; ~, ]  A$ ]( Q5 s" R- B

# G! Y1 P- L8 q& B- Y横截条件有两种常见的特殊情况：
+ ~2 G1 _! d) ^2 [8 z: G) ^. F

$ ~- k, H# v( q
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
+ X% k* y4 Z" `在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
% _+ C/ X: C1 {' d+ G, x" r
2 j* O' y. n: K' i" a; L8 m

' p) X# ?' G* \  B% n
) M, B# C" s' P6 t- Y


' s1 @4 |# u( F4 ^) i

. o7 R$ ^3 l- }/ z1 `1 j' j4 最大（小）值原理


: z1 v  h$ D" t& p* d) n
9 N9 N# t. }3 C- z: Q* U! A————————————————
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% R5 b8 h1 A! M: x
- w/ ]/ A& X2 ~5 m+ Y