动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
: P; i1 \8 D& _$ f
5 e( T9 g! s" M6 v' L* T( I7 J. e变分法简介
9 _2 U9 `  ]' d
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
! D7 x4 G. ?0 R3 Y7 @0 b" s  Z' k
1 变分法的基本概念
2 g& w& i, ]  U" G* F8 A/ a1.1 泛函
: K0 s% q$ Q) T4 x: ~& ?4 |: x3 c


1.2 泛函的极值
% T; h2 {8 V% n$ R& t$ S


1.3 泛函的变分


% F7 P( Z1 M/ ^
+ q2 {! J, t! P% [
3 Q0 r- r( |& T" B% |% u8 D; ^2 i/ ]6 N1.4 极值与变分
- u8 Z4 m+ e7 v* N利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
# l4 b$ k3 n  w! A  M

/ v3 O% N) E/ ]! B. i2 P' H5 |# R
7 C' b: S0 H& O- f1.5. 变分法的基本引理
: _' Y5 N9 G( d( R$ n

. S  V9 S7 Y, t% P* U8 v1 x/ v
3 o% }& x+ w6 M: p8 E2 无约束条件的泛函极值

$ m1 Q0 m. Y* |; u4 m$ d
3 c  a* H* Y3 A* j3 b; U" z
2 K2 N. M; W( {2.1 端点固定的情况

8 e9 N1 l. v$ O! W& A0 V% N" k! |
. O: y" `$ K/ `9 o
' O) f7 ~. w/ `2 y) d& z8 Q
2.2 最简泛函的几种特殊情形
* R  ?4 u. O0 A- q

% v8 ^- }( h" W# M) D! f

* N2 D0 X5 u9 b, z2 @4 V" ?
例 1 (最速降线问题)  
7 B6 @% W$ k4 X* {! K% u最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
8 p% O( g, v$ e9 }1 h/ G5 b# S: K" |
! x$ D( q% t  O* W6 ]
$ e8 N: S' g4 u: [( d- t, i# o

' d; Y, |( A4 `% B6 y, S5 D1 ]
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


9 }' h. h" U# T) Q: V; D" j; i
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

6 t3 K$ }4 ]4 `（ⅰ）含多个函数的泛函

# X8 G8 p% C9 T* r6 v' M1 H
2 n8 y" m$ W# p9 K
: G- I; H& n0 r* p（ii）含高阶导数的泛函



（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

9 o; `* m" w3 b( p9 z: A
( Y# j/ p* K& z' K4 L9 ~
2.4 端点变动的情况（横截条件）
- W: K" Q4 |+ f  U: j9 f

  p/ z# u9 s& |

横截条件有两种常见的特殊情况：

5 |4 A2 J3 L0 Z" q6 {6 Y

注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
' i: B# q( M& i/ b/ i在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
0 E% z, A, r: g5 d/ W+ E5 Q
! H6 M  p0 X- ~# @1 J




2 V7 |% x* a2 r


( a3 g# S- _* _* D5 B4 最大（小）值原理
) S. r+ V4 E  q
, X' ~" g7 T7 N% o5 T) \& P+ J

! H& _6 M% V; t0 ?' O1 s5 R8 T( a————————————————
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