动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
# S+ a  x) ?" [7 h3 X9 j
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
" }; h5 T# [+ }! ?2 t5 k. X
1 变分法的基本概念
7 @3 C! m; _+ V  X) c1.1 泛函


! l" X0 q! _- y4 E) l% W
+ l7 D6 d9 Z5 }: B' V 1.2 泛函的极值
8 ~0 S& ^8 a' S: J5 E1 n
! r5 p3 l* c& _1 O! E# O( C
; c$ O2 P$ V* \- o6 E5 z/ Q
% h: b- P* l7 H# v4 }" I1.3 泛函的变分
  ?; o/ d# p: F) }8 Q
9 c6 c7 U1 r: R, }5 u* f2 }
8 D9 A0 }) [2 R4 X2 O
. o" h% p0 p8 `7 f- H9 l
1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

1 i' m( m0 G4 d& b0 t! J( E
# a# a+ r9 Q; P/ O  L% u3 I
! i' h" b2 \! w- R, Q1.5. 变分法的基本引理
. m4 D: Z  {& n$ m% H% U
9 y/ [6 q- _* C9 s( M; O
: D" K# S/ @4 N+ o4 Y2 d
% e  l0 L) I% `) ~/ a# K9 c9 l' C2 无约束条件的泛函极值



4 t: I# d+ o$ b& {, y2.1 端点固定的情况
* t8 z% a  j. E6 ^


' g. Q3 r0 ~1 s
0 w" H  n7 U+ [5 t2 r2 r. G$ h# [2.2 最简泛函的几种特殊情形

; \2 N% e  J6 e
) H: x# {8 s# h6 Z6 E* k6 [: [5 L


例 1 (最速降线问题)  
  z5 K) \; k% n; Z7 m4 t' b最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
% m0 h9 K9 v# f: F. X" p5 L
, U0 A3 R: J3 b& @

/ @0 R: i9 Q9 ?. _; {* ]6 y

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

& A" B7 G  @! s2 _7 M8 f) i' M
( M9 u2 W+ d0 m/ x; G
2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



, t+ n* ^5 \5 O1 ~3 N（ii）含高阶导数的泛函

' o. v5 R+ [# u$ N/ ?! r1 g( `
0 U- b& R& z6 P) s) @: i
" _% C6 s9 u% [% S' A（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


0 u0 T- N) k  Q2 r) e* e
2.4 端点变动的情况（横截条件）
' a, h; Z* u2 F0 b" o


3 z9 c  A* P  D* J2 Q  \9 D
横截条件有两种常见的特殊情况：

4 b0 B% A' v" F# i* w
/ u+ L# _* @# |- S) }) u! b
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
. S9 K3 N: Q4 _, N. B! u
4 ~6 H8 B" @4 b- I1 T- L& m 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
  w7 S- Z7 e% v; U$ A0 ~
. {/ N* E) Q  K




0 r5 |' K1 M, K1 z. h
3 h% t7 j2 Q2 ?! j% {" T- y
+ Y8 \4 b, N& }, G* h
4 最大（小）值原理



9 s  J  F( J* r! h$ C————————————————
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* p) T. l0 W' f

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