动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
9 O9 X5 o/ |* u, N
; v$ Y# z6 ]1 v1 ~5 @# C6 {变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

/ ^0 G, Q- k  [$ _9 [% K1 变分法的基本概念
: A' r$ X  F) l! D$ f1.1 泛函
( U9 {  A$ [/ W7 t
) V" L: }" r$ L+ K4 i


1 d0 V1 k8 v( ^ 1.2 泛函的极值
% C: b' w: V5 P3 j. Z

6 J9 D4 J; l+ d9 Q7 c8 ?: l
1.3 泛函的变分


# @$ ~2 H4 s/ R- }, U5 i
! q2 ~% l: H  g+ q: X" P$ G/ w8 H5 U
( R1 `' r) e& @( t  y6 T# G
1.4 极值与变分
0 Q/ [: `  f6 q; a2 I利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
- A. l4 `/ L$ h
. i, W- A- D: y- ?" m. _6 p! W

1.5. 变分法的基本引理



2 无约束条件的泛函极值
2 o$ e% v6 n! i$ j" a' H2 \6 l
, e! ]4 k0 V4 [- l
) ], f8 |- d' U; \
% I0 d/ d9 j7 r" a2.1 端点固定的情况
7 q2 X# H4 ~1 J
! _- F- X. l: r* Z( Q
) E  A% o2 t  }2 T+ \+ E
% Y1 }4 _' @# H% _: v
/ ?. \- \& b2 `  k- F$ \2.2 最简泛函的几种特殊情形
7 E) t  L" `( z8 _& F! }( O


# M' d9 ]* e2 K
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

7 _" \. @) l+ q7 a. Z
3 o# \6 G( y* c# u6 F0 w% J


4 x! J  G% f$ o) |2 T. b* i. Y% y例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


" G8 H& M% i$ v. ?4 [" E- D3 e
' q+ b5 c) x4 g# f# S2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
  @% ]2 E8 `/ ]( g2 @  w5 p0 v
（ⅰ）含多个函数的泛函
2 ]4 A( u) ^2 ?7 C9 z8 y
/ _7 H2 n7 T: e# Q* m% s  ^: N
7 e. j0 a1 @1 R) q6 J
（ii）含高阶导数的泛函
- y5 D: j, b: v8 k  X/ C  c

9 t  r! e$ M! a- I% J& ]. X
' X. h! i' J6 k+ U( ~（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
8 z$ ?: L, g5 C* ]: w: j0 X9 v


2.4 端点变动的情况（横截条件）
3 \- ]  w3 J. I; k% ^6 h3 Z: \
# M2 p( H9 n2 ?9 t; c
- Y7 L* r4 T' J+ t+ e5 O

. S# U0 v5 i' i, |6 I# _横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

  M! }- ]+ J! U* o) }5 w, w 3 有约束条件的泛函极值
0 y0 Z) E, _0 i, o在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
) |4 o) X  x6 ~+ i





6 @2 B1 A9 {" P( H' o1 t
& K, D7 b" i( C4 f* N
# L/ F5 S3 d* l2 u+ x1 n5 c
4 最大（小）值原理



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