动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
4 ?  q& i* a+ |; f
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
' F) c7 O; P7 Q
$ o# I# W: b4 ?7 {8 h- n; l6 W2 C1 变分法的基本概念
" B& S4 }- ~9 [% ?# L1 X- A0 F1.1 泛函
0 s, \, x' n4 P; j' b* I5 X
$ _! I) [/ M0 {) d5 E+ [


1.2 泛函的极值
/ f# x4 f. t! e) k0 ]
( {+ {8 X7 J$ b! a; }8 H
% c. y1 N2 c. _2 ?. z# Y; l# }6 D
4 u5 B9 \, U$ v+ v! f7 k/ Y) E1.3 泛函的变分
! x; s$ [% Y$ l3 m+ u9 ?. s

2 B7 e& s! ?2 R& f: M! L# O! z) @
! `! u: f1 U7 w0 f

1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
- _& t0 M/ A3 R, v# K1 C6 b: _

" M  G8 D& K) \& ^( J
1.5. 变分法的基本引理


1 X: A2 j3 [# o7 ~: d5 i9 }" o# Y
2 无约束条件的泛函极值

& T9 S! w1 g3 Z) E
* [2 m2 T  p+ w  s
2.1 端点固定的情况


' J5 B$ a, s, ^6 H

4 l8 I/ _3 `4 B% Z+ Q  v2.2 最简泛函的几种特殊情形



/ k  i$ {( w% J! s' x; o
! c& O+ v* K( e% N9 N: g2 ^+ A例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
( D1 W2 h6 D& s, C7 m# \
/ K7 y* ?1 v4 U: k$ U

. [4 ?/ u1 I6 M5 ?
: f% L8 v- O3 ^4 n: D- N. s  ~
$ Y* U8 q# U* E: S  x5 W例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


7 r. E) J3 O& G$ ?! L) M
* e6 D* g" F* z% y" L2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

! u% G3 |9 g3 K（ⅰ）含多个函数的泛函


- v. n3 z1 n% z3 B+ _  Q! v! l( u! t
; G' J, @+ h. W2 x% l, I（ii）含高阶导数的泛函

1 p) e! f! D4 M2 x( [) g' m& @

0 {. k0 V0 O' G2 h5 U- h! N% `（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
: T% y9 J* L5 B' [. _0 r5 a: {
! N8 R$ s' a- S) i+ l* b- `  O

" R4 ^* y" x" n2.4 端点变动的情况（横截条件）
* V) n7 e- @- f. M% f
7 D4 q0 M8 ]2 ~3 A

8 H) T1 j* r5 i: e
, J1 l& u1 u  J! `6 b8 F6 t& i横截条件有两种常见的特殊情况：
5 z! B3 m" O; N2 Z# y7 b" _" f


- x. h& M5 q8 H) G注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
* T+ {8 h* c! c- _9 @# {! S
$ E+ D' u7 e9 ~/ K, E; {5 G$ l 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
' y9 g6 C% d9 j0 S' F


: m# v# k  p7 V; b5 v
; N4 \8 Z: g! c; o

( [5 c7 h; Q2 }0 w1 z
- U6 I* q0 m9 u' ?" N- y% N- P
6 b$ Z) P% d- U7 z+ S8 y4 Y" p9 `
4 最大（小）值原理
5 {5 f) C& I0 A- x3 H( g+ z" Y


/ U. A5 Q' W! B9 K0 u9 K————————————————
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6 P( @- \6 M2 c# x7 c; l8 i3 }