动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
, o2 X) [" h2 i: d6 x
变分法简介

% b" p* E  S" h& E- G变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

6 R. x3 y& i& c6 }/ |2 B, Z0 G1 变分法的基本概念
! [  ~7 \+ n% K& }1.1 泛函


6 M; F- O9 A# c7 _# B

: b' s. f% i" W3 n6 y$ U: r 1.2 泛函的极值

; ?; R; V6 @. a  d% N
; N* s% B& h, T, d: E! B; U- W2 R. {
1 s) k/ \* @# o- f) D. p* i; t5 X1.3 泛函的变分
6 ~+ f5 [& u# Z3 v3 E0 I


7 W. B- A$ j0 `- z4 [( E. a

1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
* [: m  M0 q# H6 |


1.5. 变分法的基本引理
& Q4 O7 }, G- e) a7 c) f
' w& S5 j; M% J6 Y6 ?$ Z& n9 _
1 W& V/ X/ x. f! `; W4 [# H
2 无约束条件的泛函极值
) @. b3 t8 F/ J5 E# G

3 X8 P. z+ \  t# ?9 R
2.1 端点固定的情况

3 Q0 S1 o6 V" {) ]$ j) y


2.2 最简泛函的几种特殊情形

' r+ W3 o1 O2 I7 }/ F) s

4 C( }) b2 u& W, y: e, o- M/ e
1 P0 u; E: q6 P0 F3 d& M- \例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
( N: E) m( a3 Z- v- ]" i  z
! B. c& s  R; L* a8 n" n: r


0 H% Y% d6 K% p0 }3 J1 u
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
! j% }8 i4 ]; V" R5 k8 L


2.3 最简泛函的推广
( _8 S6 u8 U/ B( Z7 R) C! S2 P最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

- v0 f5 l2 Q! `' v6 ~5 \! l（ⅰ）含多个函数的泛函

7 g2 w. [8 S1 y4 \% I

（ii）含高阶导数的泛函
+ O9 T8 A1 D" c( C% `2 L. W

0 ^7 {: \9 P" ?1 A/ F+ G
8 v4 h& `8 O5 C1 n（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
  c1 b1 w  w, t" W# @: K


2.4 端点变动的情况（横截条件）

) A+ U7 r; U- ]8 i) H
' Q. Z. J& [, P0 z( Q
* B3 @* E1 n, f2 e
横截条件有两种常见的特殊情况：

3 H' [# [8 H. b* D% P$ O
9 A% X; j; H  V1 r2 r0 C
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
% ^: o" \4 v4 ^; E+ `& J( B

# e9 K. Q5 c. N* [) T+ M+ h/ i
. }% |+ T& ]: h4 t9 `) O4 O
, {' p6 V6 H' K8 x: L* v( r9 t3 E
; w2 Y& L, n/ D2 E% d1 O
; p6 H0 i" W+ i! `5 i

& @2 ^! o- Z' p* T+ q+ L* p" |
4 最大（小）值原理

* @7 z; c3 N+ w/ K7 l6 J, {

1 }- d' ]0 t& u$ D. m————————————————
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