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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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签到天数: 74 天 [LV.6]常住居民II
 群组: 2019美赛冲刺课程 群组: 站长地区赛培训 群组: 2019考研数学 桃子老师 群组: 2018教师培训(呼伦贝 群组: 2019考研数学 站长系列 |
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
, o2 X) [" h2 i: d6 x0 {3 N' c: W5 I3 x U
变分法简介( D' X- `$ `. U" U7 s% x
% b" p* E S" h& E- G变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。% A9 V) D0 k, h3 n1 B3 |9 E# o
6 R. x3 y& i& c6 }/ |2 B, Z0 G1 变分法的基本概念
! [ ~7 \+ n% K& }1.1 泛函: C- A& M, h7 D; {, ?7 h. c) c2 @
( Y6 e! [2 b4 b2 o% n) P8 C9 \
![]()
6 M; F- O9 A# c7 _# B/ M4 ~& [+ Y2 f# U% k3 B+ J' U
: b' s. f% i" W3 n6 y$ U: r 1.2 泛函的极值* U. x2 u9 I# L1 `7 a) G+ `) U) f
; ?; R; V6 @. a d% N![]()
; N* s% B& h, T, d: E! B; U- W2 R. {
1 s) k/ \* @# o- f) D. p* i; t5 X1.3 泛函的变分
6 ~+ f5 [& u# Z3 v3 E0 I M' N$ w( B8 G7 ^; D8 y% H0 w7 V
* g _2 x* o' @0 T4 Y+ E
7 W. B- A$ j0 `- z4 [( E. a " s1 n! Q. m1 e3 _7 O
`* C- P/ ]9 f# A: ]) B0 X
1.4 极值与变分5 { R" ]* ^- j
利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系:
* [: m M0 q# H6 |% S% m# S) ]( y0 H2 [2 O
$ M5 L6 p: D: j: ?/ m. a8 C
1 j# Q: G( _( D4 D2 j* ?- [$ G
1.5. 变分法的基本引理
& Q4 O7 }, G- e) a7 c) f
' w& S5 j; M% J6 Y6 ?$ Z& n9 _![]()
1 W& V/ X/ x. f! `; W4 [# H! J; e A: ?* P4 F2 Z
2 无约束条件的泛函极值
) @. b3 t8 F/ J5 E# G$ q; U4 h. H" M" v8 @6 h& f) h
![]()
3 X8 P. z+ \ t# ?9 R- a1 f$ x9 R7 r5 N' Y
2.1 端点固定的情况7 U% s, K' ^7 r. c# a
3 Q0 S1 o6 V" {) ]$ j) y 5 z# u4 Y0 B' \
+ u. T8 U! K5 O4 g3 u
8 |" ~; T0 a; G5 i* a9 D
2.2 最简泛函的几种特殊情形0 k- p- X4 v) k% Z5 x z+ B$ n. k
' r+ W3 o1 O2 I7 }/ F) s % m2 Z# _# q" b5 R3 ?
4 C( }) b2 u& W, y: e, o- M/ e![]()
1 P0 u; E: q6 P0 F3 d& M- \例 1 (最速降线问题) , N( ~; q+ a% X- w% b3 Y9 ~
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。
( N: E) m( a3 Z- v- ]" i z
! B. c& s R; L* a8 n" n: r q; Q% C& N/ `
![]() 2 u# c( Q' F Q0 [4 s. L: O
0 H% Y% d6 K% p0 }3 J1 u9 s; Q7 h3 l% m6 E- U
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
! j% }8 i4 ]; V" R5 k8 L: p6 h" S+ D; S
* Y( m; Q# f+ d
, ]' b4 B& k! X2 @" X! s( X& R/ h! L
2.3 最简泛函的推广
( _8 S6 u8 U/ B( Z7 R) C! S2 P最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。+ x# v2 ]! l: l! a! K
- v0 f5 l2 Q! `' v6 ~5 \! l(ⅰ)含多个函数的泛函+ t- M/ C. l& b+ L, Q
7 g2 w. [8 S1 y4 \% I # c8 f) G3 l# g
' c- y& p2 N$ @, X
(ii)含高阶导数的泛函
+ O9 T8 A1 D" c( C% `2 L. W& N) ?! t' H, ^' d4 L
![]()
0 ^7 {: \9 P" ?1 A/ F+ G
8 v4 h& `8 O5 C1 n(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程
c1 b1 w w, t" W# @: K& z6 Z E9 a/ D4 w q! v; i
& M/ E" \' G) D0 w1 E
& H4 S9 T# f1 a4 @+ n+ y
2.4 端点变动的情况(横截条件)" f0 L# k# A, {2 t% T
) A+ U7 r; U- ]8 i) H![]()
' Q. Z. J& [, P0 z( Q
* B3 @* E1 n, f2 e # @- F" e. s7 q) i! _, y' }
横截条件有两种常见的特殊情况:6 Y* {0 l/ f) M1 b
3 H' [# [8 H. b* D% P$ O![]()
9 A% X; j; H V1 r2 r0 C% X( W' z1 w5 S" ?* Y: O* x' C, N! o
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。6 ~ n$ Q4 c7 z4 l% ?" i
# l1 C8 j/ D1 B a/ P# v
3 有约束条件的泛函极值! z0 X" R( U5 n
在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统
% ^: o" \4 v4 ^; E+ `& J( B, r* m# }! I, p# t) Z
![]()
# e9 K. Q5 c. N* [) T+ M+ h/ i
. }% |+ T& ]: h4 t9 `) O4 O![]()
, {' p6 V6 H' K8 x: L* v( r9 t3 E
; w2 Y& L, n/ D2 E% d1 O
; p6 H0 i" W+ i! `5 i . b* _; t6 O5 u9 {2 v
& @2 ^! o- Z' p* T+ q+ L* p" |! P( j% e7 _/ B
4 最大(小)值原理+ e0 \0 w: f- ]% e: ~& i' @6 J6 E
* @7 z; c3 N+ w/ K7 l6 J, { 7 {% s& T- c' U. B0 L! N
1 }- d' ]0 t& u$ D. m————————————————
& v/ Q; J$ s; x; P版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。& \$ [5 X5 a* q8 r& `
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9 @3 F ]" ~1 y, r- ]. U7 k5 w+ g/ D" f) q8 P9 W* Q, m, k
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