动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。 9 O9 X5 o/ |* u, N ; v$ Y# z6 ]1 v1 ~5 @# C6 {变分法简介5 Q3 k5 f- h# z4 U7 Z- l, _1 j
3 }) n7 @% @6 ~7 w0 x
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法,有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果,然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。5 A. n6 m+ o- ]5 P- X
/ ^0 G, Q- k [$ _9 [% K1 变分法的基本概念 : A' r$ X F) l! D$ f1.1 泛函 ( U9 { A$ [/ W7 t ) V" L: }" r$ L+ K4 i$ B( j. Q7 t: _! V5 _
- t- Q: t! d% f& A8 D: m
1 d0 V1 k8 v( ^ 1.2 泛函的极值 % C: b' w: V5 P3 j. Z" w7 F# ~. H' ?4 ~) @ 6 J9 D4 J; l+ d9 Q7 c8 ?: l( H! x7 T0 [$ `4 w3 T
1.3 泛函的变分$ a" d; y$ X( x6 g1 K" M, [' o1 B
' j6 A0 m/ u% g7 E; i1 k9 I8 ` # @$ ~2 H4 s/ R- }, U5 i ! q2 ~% l: H g+ q: X" P$ G/ w8 H5 U ( R1 `' r) e& @( t y6 T# G( s9 F& {' R3 n2 \* |8 d
1.4 极值与变分 0 Q/ [: ` f6 q; a2 I利用变分的表达式(4)可以得到泛函极值与变分的关系: - A. l4 `/ L$ h . i, W- A- D: y- ?" m. _6 p! W$ L& c0 r" P2 ]0 ~
! Y, U% E V; X* e. t: Z; A
1.5. 变分法的基本引理9 T# q" D2 @5 s
* n/ u1 a' A4 r, p) K7 O 0 v6 u5 |* t7 {* ^$ F
: p, A, M& j1 ?1 Y
2 无约束条件的泛函极值 2 o$ e% v6 n! i$ j" a' H2 \6 l , e! ]4 k0 V4 [- l ) ], f8 |- d' U; \ % I0 d/ d9 j7 r" a2.1 端点固定的情况 7 q2 X# H4 ~1 J ! _- F- X. l: r* Z( Q ) E A% o2 t }2 T+ \+ E % Y1 }4 _' @# H% _: v / ?. \- \& b2 ` k- F$ \2.2 最简泛函的几种特殊情形 7 E) t L" `( z8 _& F! }( O# \; l: \4 Q4 c * E7 n9 w" o! s9 k$ m! L
# M' d9 ]* e2 K5 U1 H6 i. G" c6 d2 S9 D
例 1 (最速降线问题) ; h. o$ c4 p* y4 S) J
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli)于 1696 年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。 ~( a/ L. \. X* K
7 _" \. @) l+ q7 a. Z 3 o# \6 G( y* c# u6 F0 w% J# U6 X* V, R' E* b
# K! R6 v: u; ?9 U7 j- u8 L
4 x! J G% f$ o) |2 T. b* i. Y% y例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程" ^9 `9 h7 `8 M: @
6 H% G# \- d' r7 T+ J! q' r4 Z " G8 H& M% i$ v. ?4 [" E- D3 e ' q+ b5 c) x4 g# f# S2.3 最简泛函的推广' e9 l, }' [5 }# d8 }! M
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。 @% ]2 E8 `/ ]( g2 @ w5 p0 v& j3 x( f T0 ?+ P
(ⅰ)含多个函数的泛函 2 ]4 A( u) ^2 ?7 C9 z8 y / _7 H2 n7 T: e# Q* m% s ^: N 7 e. j0 a1 @1 R) q6 J8 Y; Z& ]5 b6 b- s
(ii)含高阶导数的泛函 - y5 D: j, b: v8 k X/ C c; k8 ~8 @4 `& i. r" z4 \ 9 t r! e$ M! a- I% J& ]. X ' X. h! i' J6 k+ U( ~(iii) 含多元函数的泛函、奥式方程 8 z$ ?: L, g5 C* ]: w: j0 X9 v t( Y2 u8 {4 [( S # M4 @% E6 U# B4 d
2 S K9 \# N' p4 Z
2.4 端点变动的情况(横截条件) 3 \- ] w3 J. I; k% ^6 h3 Z: \ # M2 p( H9 n2 ?9 t; c - Y7 L* r4 T' J+ t+ e5 O2 l/ r& n( J V . S# U0 v5 i' i, |6 I# _横截条件有两种常见的特殊情况:0 h# v2 B8 U' H. _$ p
) G+ P3 J7 H; S( [" ~ X/ | ; S2 ~4 D8 e" x* ]9 y q* _ ^5 r. _# I
1 u$ h, L; _/ D. T0 J
注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。/ `8 ] f7 o" n" P
M! }- ]+ J! U* o) }5 w, w 3 有约束条件的泛函极值 0 y0 Z) E, _0 i, o在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系统 ) |4 o) X x6 ~+ i# y5 |+ b" g# @! J5 N& h4 H ; ?& Q) u" i# f% g# E
& ~- ^; L, N# j+ t) ] $ `6 t. ?( j N0 r! k
- l: p" I3 G0 d* E, @( C2 F
6 @2 B1 A9 {" P( H' o1 t & K, D7 b" i( C4 f* N # L/ F5 S3 d* l2 u+ x1 n5 c# i1 i2 s Q4 C& n3 }
4 最大(小)值原理7 Q+ g+ ?* L; e& }! r3 @% x
1 V8 b6 m r8 t! Z4 Z 0 @& X, H9 g$ }8 R6 m
( S0 F8 i3 s; b, ? o————————————————" k& g6 w- K' u- n* o
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