动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

1 o1 s* E: U8 G' ?' ]变分法简介
# V% k$ \  m1 X4 H4 A. r
2 N- l" l4 l& u8 {+ J8 l变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
6 W) B: ~& b% e- G
  W9 Q7 |/ Y( a( b3 M6 T1 变分法的基本概念
& M; j, p/ D- n2 ^& D7 @& {5 L1.1 泛函



8 E( m3 E, b9 a4 f+ e
4 E6 r5 B! J' K 1.2 泛函的极值

+ ~; X# {3 e+ V9 b0 u7 U
% j7 ^$ G) j+ e2 r  U& s" C$ b
# Y9 l7 s0 E1 f; q4 Q: `* h1.3 泛函的变分

. P7 D1 M! k" J7 h1 s+ {
* V* _' i8 a# g$ B
. \7 e) q+ b% z8 ]

1 W7 j: k8 U) U$ k' @1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

2 [$ p5 o$ E& E$ t/ ?: c1 N; Q

# j* u2 X  _$ [% g1.5. 变分法的基本引理



2 无约束条件的泛函极值
" B- I% x+ n( t2 B1 M! D2 J


1 X% S) }8 L8 A' Z3 [' X8 R2.1 端点固定的情况

( R1 X$ O9 w1 |9 n9 d) m' P

2 M/ W3 O0 Q  L
2.2 最简泛函的几种特殊情形

+ |  ?" \' _& T  U  N2 S) b0 O
+ p7 L; }! j5 D/ R9 |
- F5 t% |# D( D/ Z) {
# m" k7 Z7 Y3 B5 D  `2 `例 1 (最速降线问题)  
2 `4 b- G5 f/ I; Q6 c& v# A  S最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
" j6 l: ^; b, F! x- F
: v  S, q3 _2 s9 y


! N; [) Q5 d$ ?0 N! F
  w* t& R) t) [" _# ~0 n例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
! L# k# w' R4 E( ~6 r( t

; x9 ]' n+ W2 N* O
2.3 最简泛函的推广
- u8 C! }( Q) z' k最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



# U$ p# z/ l. }+ V3 H% I（ii）含高阶导数的泛函

' ]4 c3 }. J; z. |
! h6 w; s+ L$ r/ \# [
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程


( N  _, T# w0 H" K9 D0 C9 U/ y. u
. G7 e8 l, W& [0 C" G) E0 u2.4 端点变动的情况（横截条件）
3 i! ~* {5 O+ q+ j3 j; ~0 h

* }4 H( j5 j$ i9 J0 ~; [/ B1 \8 Y

横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
# Y9 v+ l, {! r


" U# C& ]+ V' H' E6 g: U
. V- @) _( N% D+ o$ t( U0 l0 D& S

5 Z& X; w( W) S
2 ]! b7 [) h/ v/ ]8 t: o

( N# z. i  o: H6 M- d1 O4 最大（小）值原理
) B8 a! Y# g. Q  I5 e- J
. x/ A5 A" _2 _; ?
7 Y! S8 P) D- X/ D) `  k) k
9 `4 P: p% |% k. I$ |————————————————
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8 u/ D  G1 i& q5 ]5 H