变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
* `# {; p7 t" H: H0 ^2 X( ^
3 a: h, M6 f& @8 M1 问题分析与假设


1 R! [( C$ j  L
) w+ v- a) f: u7 r, I1 P. x
; ~- Q8 q. p& \5 d2 |  \+ c$ M2 模型构造
* B0 ?: s( d9 g6 c& G1 m  ~9 e根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程



3 模型求解
首先写出问题的哈密顿函数

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3 d5 h2 V0 E& D, A% d: M

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, k$ ?/ B% ^( L) _) Y6 m: k1 q" x
* y+ d+ T& W0 Z8 o5 P  y' {6 t0 ~# l4 |将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序
! c+ I8 Z' x2 I, ]& s+ M
, V2 p* }) G  y6 [2 u. N8 C# \[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')


2 S* V+ r, r% p4 y& w  {  q( j: w
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# R( |, V- d- Y+ H+ u变分法习题
3 u/ R9 D8 i$ j* U4 I0 ]  Z. o
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3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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