飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？


3 Q# B/ q& j$ M3 H6 w- h7 d
0 h8 `/ N& r3 l8 w& k（1）问题分析
- {" {7 S* ^; w- i0 C4 u
9 v0 X  V1 e" {7 V  p& ~  k8 [( d; U这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
( B( @. p- M  `8 a
# f( b' U  }) H0 B2 T（2）决策变量

1 a) t/ G: M0 C# b设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
1 u( f7 e# j9 p- h# r& c7 g7 s2 M
（3）目标函数
! D; g7 Y, d8 V+ {& v) F! i: t
0 ^) G+ A& h& d4 _优化目标是
8 V% s% I& r% ], G: U( D$ P# ^
$ d$ Y" a' i' T' I

  j+ ^& f1 T" S8 e% S4 m$ I（4）约束条件

需要考虑的约束包括：

i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
( r7 r! t1 ^. e3 Y7 T
/ ]9 u$ S2 \3 J' l

7 {$ j. Y! v+ c3 N  Zii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
6 w* F7 W9 v% |# S5 ?* r


（5）求解 编写 LINGO 程序如下

  W* V  A! F' s6 D! q7 ~# n" ^model:
sets:
  Y$ K( P- E9 u- A. S2 M8 dcol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
7 N* h( p5 D; H( l6 o( i6 j) uc1=200 195 190 185;
; h3 G0 o  k2 g1 Z  r3 ^9 d& u3 j7 zc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
! W1 K, J3 v- a9 T: X' Q$ _6 Wb2=450 210 240;
: R; |  M7 I. I4 t0 denddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
/ ?" P1 b7 s1 ?9 `* D. y5 m: Ay(1)=10;
6 p5 E" h9 T; M1 v7 W3 [" _# s2 L@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end
% o7 p/ \$ T$ c7 M' Q" ^

6 o7 p: u9 U0 |* q" N6 \& l9 o
6）问题讨论
/ T1 d* n' r8 \
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为

# s+ d. u9 w7 c1 Y
: Z1 A8 y+ l. ^
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
) z; Y9 c. z- H3 X
# z! {" l% z- y6 @* i' Bmodel:
( m# _  p* _2 b* D6 X% Vsets:
2 Q" ?: J- O9 c2 d( Icol/1..4/:
9 L( {) s) w6 k- d' pc1,c2,c3,x,u,v,w,y;
, |9 Z$ s% o7 H' irow/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
c1=200 195 190 185;
% }5 X' Y( k) xc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
7 d; j$ g- Y9 f6 t3 g. U: Menddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
2 y6 V) ^. }. |' W/ C7 m& u! C/ Q! fy(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
& s$ {" ~4 Z0 U. t$ Nend

! r, k4 F* M- g. a
3 T4 U2 T' y$ a————————————————
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