飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

- i) q5 I# s" ]0 ]  H" m% e已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
$ @1 e0 y( c6 T# h
1 S' G% h7 e8 w0 w- G2 a8 q如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

* ^" |  ]( g% z0 G; |8 ]$ H. R- ]

（1）问题分析

& G5 _9 p: c4 t' }. a这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

（2）决策变量
; P" h$ h1 l. b0 b1 R. t
设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

5 P) n0 f7 h5 ^（3）目标函数

优化目标是
, C  w. z( H: y' H$ I) m


（4）约束条件

需要考虑的约束包括：
, A5 w0 A/ d  I! P
8 G- ~2 n# L8 m. n% Zi）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。



ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
: ?/ b3 \) X' n8 W6 i4 g
  i% Y+ L, a/ e$ M
1 j9 c2 B4 v# v5 ?$ @
（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
1 E" Z3 o3 p; r. K# Ssets:
: U+ }: E# b9 Q2 m: e1 ]4 _col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
$ r+ c" x- k" Q6 d3 }) k/ o# n- Rrow/1..3/:b1,b2;
endsets
; o2 N2 T: `+ Q2 v1 C4 hdata:
3 W0 n6 q; P- D  D" U, ]/ Bc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
8 ~8 z$ J( ?; g1 G( a, b+ L1 `c3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
8 {  {3 I" U( _8 Xmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
# I0 i4 D6 [, p3 v: _4 H1 R7 z' rend


/ j. v0 d. Y4 p* O
6）问题讨论

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


. Z2 f7 o! G5 f6 [3 n
% B5 j; T. L% m6 x5 ~目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
0 ]! ^( l2 ^, K  S
model:
sets:
col/1..4/:
: T. h8 g. r2 V% j8 P" N4 a  Nc1,c2,c3,x,u,v,w,y;
. s7 E( r% w& Q2 A, B% u& Irow/1..3/:b1,b2;
- c8 m. u6 X$ [+ a3 ^& O4 Yendsets
0 F; w0 o9 \: }1 L* L6 o+ a5 cdata:
c1=200 195 190 185;
) a$ p; v/ y" Z6 I9 vc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
7 J$ z& {1 }  mb1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
8 g# ?% T. y/ H8 e@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
% ?, `+ B  K( Z  K( ?& [@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
5 W& X  H) N! Q; ?7 z2 |9 [@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
end
( H( A% y; O  F$ j' m. H9 f  q2 }

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