面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

9 J! J- x: }' @5 j' ^
7 ^+ j. M: v- K) c" k# l
1 建立模型
' ]0 c/ }; o3 d) I; E- s0 t3 M   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
; b- h! \; ]8 T5 h8 l+ V% q6 @
记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
9 r" }* @7 z& Y8 s7 t* U. [
& M5 ]0 G' |0 H! H  e% p 优化目标为                            （1）

约束条件：

, r& i6 @$ d9 O8 K1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
, s$ N2 z& O# L8 I7 Y6 p
- }8 }* h3 J4 C8 @- u9 N6 @; I2 ~2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
* z. w8 F) `# Y/ _( Y
    （3）
8 d) H9 O, \* X& R1 T! S
可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
- w& @1 i: T0 Y
+ n3 t3 d2 e- h  t3 J1 A  Y                   （4）
& f) A' \5 L" M) ^
6 f% {. {8 e* v) a6 a) B9 G# C式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

2  求解模型
0 d8 N4 c8 P" m7 Z9 g5 j编写 LINGO 程序如下：
# V1 ~1 t  T9 f; A; Y
model:
/ N* B% S0 F# i) w, \* pTitle 面试问题;
* H; _$ \4 i, H+ wSETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
) b$ m/ C" N# q& i: MPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
9 L- M; N8 T( A& cENDSETS
% i& Y- X/ r( GDATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
ENDDATA
[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
: |: r6 r7 t" p( I! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
) Y0 g' d" f9 {% ]4 b! y计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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