面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？
* a/ g7 T' D( A) Q% y

5 C: `" w& o3 v: O
6 y5 I  V, m' g5 ~  P 1 建立模型
& R8 s, b+ g6 O$ S/ v3 ?; E   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
* S8 q, m/ c1 S8 ?1 c# h) {( e1 s
: `- I  n0 x3 Z 优化目标为                            （1）
( z! v' f+ f1 ^5 v, j* L( U
约束条件：

1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
* k5 v) Q; m* ]1 Q- o$ ?
$ O! e3 ~/ W6 _" v8 a! l% [6 x2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

  J  [' z- K. p$ a; n6 G+ i    （3）

1 s. B$ p/ R- Q+ w, N0 r可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
2 o3 w  U1 o% r: v+ B
2 R9 o; Y1 ^3 K8 R% s. q* S                   （4）
$ R. O$ |; ?' [! G# c" _* R
式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
4 j7 @# i4 N* m/ V" K8 Y
; a0 g, F: @, f. X: s( J& _/ A3 C2  求解模型
# r1 u/ s# Z# X" {4 X- O! C7 I9 u. I编写 LINGO 程序如下：
2 Z0 q' I8 B- J( |: Q
2 _- W( w( ^! Ymodel:
Title 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
  h% _3 M3 A7 I/ T2 u, t3 }PXS(Person,Stage): T, X;
, Z* a- ~  i2 P1 YPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
  W) z& Q$ h" ^- S6 BENDSETS
; H# v5 M+ c. j4 T9 q, ZDATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
, Y1 z- C  G( W% k, J# ~ENDDATA
: j9 T; \; }6 a5 f[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
2 u7 O: p9 d$ ~3 S8 J4 C    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
5 a4 L0 X% y) I% O1 n! x@for(PXP: @bin(y));
end
7 o# r" _* A. X: ~6 z/ L3 V7 O计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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