（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法

杨利霞

（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法
3 \" Y  e& a( S* l
大多数据结构课本中，串涉及的内容即串的模式匹配，需要掌握的是朴素算法、KMP算法及next值的求法。在考研备考中，参考严奶奶的教材，我也是在关于求next值的算法中卡了一下午时间，感觉挺有意思的，把一些思考的结果整理出来，与大家一起探讨。
0 F6 ?+ |8 U# A7 @: C9 z4 |8 i
+ b& E3 @$ g) }2 e0 n. E( Q
+ S; K6 f* n, c9 y本文的逻辑顺序为
! S9 T, m+ W% I1、最基本的朴素算法
0 W$ n/ s( P) C8 W  w1 g5 \2、优化的KMP算法
6 e" F' ~% v1 x3、应算法需要定义的next值
0 ]( j9 k: a; r6 Q5 e7 Z- a  y' H4、手动写出较短串的next值的方法
5、最难理解的、足足有5行的代码的求next值的算法
所有铺垫为了最后的第5点，我觉得以这个逻辑下来，由果索因还是相对好理解的，下面写的很通俗，略显不专业…


一、问题描述
给定一个主串S及一个模式串P，判断模式串是否为主串的子串；若是，返回匹配的第一个元素的位置（序号从1开始），否则返回0；如S=“abcd”，P=“bcd”，则返回2；S=“abcd”，P=“acb”，返回0。

/ S3 X( r+ F# G5 m$ w7 L. m$ Y
二、朴素算法
/ M2 o# A- L$ z  u) Z3 Y0 B最简单的方法及一次遍历S与P。以S=“abcabaaaabaaacac”,P="abaabcac"为例，一张动图模拟朴素算法：

6 i7 m- T4 j$ L

2 n! f8 [& H- h3 G6 |$ t8 M
5 d; t; B- ]& |# {2 x3 `  {这个算法简单，不多说，附上代码


#include<stdio.h>
int Index_1(char s[],int sLen,char p[],int pLen){//s为主串，sLen为主串元素个数，p为模式串，pLen为模式串的个数
    if(sLen<pLen)return 0;
, a2 V, ?" e7 W  a    int i = 1,j = 1;
    while(i<=sLen && j<=pLen){
, Y5 N) Q+ Z, [        if(s==p[j]){i++;j++;}
6 n4 n9 i3 U) |  H' Y# d5 S        else{
            i = i-j+2;
            j = 1;
6 L* u: c! y6 x5 F1 _. v6 v1 b        }
; b9 @& @, |+ Z: e) F; a# M    }
; u0 d+ e- H  y9 G    if(j>pLen) return i-pLen;
    return 0;
}
void main(){
" ^5 s( S  h. m$ O. h    char s[]={' ','a','b','c','a','b','a','a','a','a','b','a','a','b','c','a','c'};//从序号1开始存
0 O. S- u! Y7 v4 o' H9 P% q    char p[]={' ','a','b','a','a','b','c','a','c'};
    int sLen = sizeof(s)/sizeof(char)-1;
4 ^& V" v  ~% {, S8 p; x% P    int pLen = sizeof(p)/sizeof(char)-1;
    printf("%d",Index_1(s,sLen,p,pLen));
) r# F3 \8 N0 H}
' K2 n( B; X2 Y; p3 {! Y7 F2 j* I# E' v1
$ M+ }- N$ b6 ~& i2
3
, ^' q  b! ~6 X9 F5 Q4
5
1 m9 @- t1 N; \2 M8 M  e" @6 b" s8 x$ m6
7
/ q; I3 F7 w  r; I7 z3 [5 C8
9
9 p3 x, e" X8 O+ W10
11
, b8 r: c# t: F3 }2 n5 X12
13
14
+ q% D: h+ k2 o15
16
17
1 w1 m$ O  U8 f  n2 g6 f$ d18
: `# K& F9 k5 D7 V2 G19
- Y: ]* e+ x  Q20
21
三、改进的算法——KMP算法
朴素算法理解简单，但两个串都有依次遍历，时间复杂度为O(n*m)，效率不高。由此有了KMP算法。
一般的，在一次匹配中，我们是不知道主串的内容的，而模式串是我们自己定义的。
4 X3 N8 Z7 j6 H4 d6 n- G  Y# L/ @) k朴素算法中，P的第j位失配，默认的把P串后移一位。
但在前一轮的比较中，我们已经知道了P的前(j-1)位与S中间对应的某(j-1)个元素已经匹配成功了。这就意味着，在一轮的尝试匹配中，我们get到了主串的部分内容，我们能否利用这些内容，让P多移几位(我认为这就是KMP算法最根本的东西)，减少遍历的趟数呢？答案是肯定的。再看下面改进后的动图：
% |! S4 L8 i; o0 w- @5 s* r


  b* Y- U# E5 W+ M
$ j* C* O* ]- W" I9 b$ R- U0 G7 |这个模拟过程即KMP算法，若没有看明白，继续往下看相应的解释，理解需要把P多移几位，然后回头再看一遍这个图就很明了了。
, c' r2 t) |1 [/ d% i5 f

$ _/ A/ V5 a: N) I- e! B相比朴素算法：
朴素算法： 每次失配，S串的索引i定位的本次尝试匹配的第一个字符的后一个。P串的索引j定位到1；T(n)=O(n*m)
8 z; b# s, [7 u* V9 ]KMP算法： 每次失配，S串的索引i不动，P串的索引j定位到某个数。T(n)=O(n+m)，时间效率明显提高
- p$ C' c, v% l$ X! R

而这“定位到某个数”，这个数就是接下来引入的next值。（实际上也就是P往后移多少位，换一种说法罢了：从上图中也可以看出，失配时固定i不变，令S与P[某个数]对齐，实际上是P右移几位的另一种表达，只有为什么这么表达，当然是因为程序好写。）

# n! L! f0 `" v1 S' k/ ?! x
开——始——划——重——点！（图对逻辑关系比较好理解，但i和j的关系对后面求next的算法好理解！）
! k) D+ Q8 g4 q' M3 O

比如，Pj处失配，绿色的是Pj，则我们可以确定P1…Pj-1是与Si…Si+j-2相对应的位置一一相等的

, W( d9 S  u# t# F7 H1 k0 r$ X& E/ \
, r, S  [4 j" h
. T# }$ e4 ?2 C0 g) [% ]假设P1…Pj-1中，P1…Pk-1与Pj-k+1…Pj-1是一一相等的，为了下面说的清楚，我们把这种关系叫做“首尾重合”
2 ]; x/ Y# B: X% h  s- m& D

+ q4 {& h9 `) M8 A: s
. ]8 k, W$ C1 o1 _* P
+ O- a/ j1 b; j那么可以推出，P1…Pk-1与Si…Si+j-2
; L! U% I/ e# B$ z3 U
8 z+ ~! e  Y, n! l


显然，接下来要做的就是把模式串右移了，移到哪里就不用多说了：
4 _, D2 K, P# Y0 D& D: i



为了表示下一轮比较j定位的地方，我们将其定义为next[j]，next[j]就是第j个元素前j-1个元素首尾重合部分个数加一，当然，为了能遍历完整，首尾重合部分的元素个数应取到最多，即next[j]应取尽量大的值，原因挺好理解的，可以想个例子模拟一下，会完美跳过正确结果。在上图中就是绿色元素的next值为蓝色元素的序号。也即，对于字符串P，next[8]=4。如此，再看一下上面的动图是不是清楚了不少。


最后，如果我们知道了一个字符串的next值，那么KMP算法也就很好懂了。相比朴素算法，当发生失配时，i不变，j=next[j]就好啦！接下来就是怎么确定next值了。
& @% u, E& R% G+ a0 ]# |" S

* E% f: E0 o! }, L) ]: @四、手动写出一个串的next值
我们规定任何一个串，next[1]=0。(不用next[0]，与串的所有对应)，仍是一张动图搞定问题：


: t' ?: }, C* q5 e* o这个扫一眼就能依次写出，会了这个方法，应付个期末考试没问题了。

, M5 l5 X- W0 r9 C4 s  v
7 e* C5 {2 O: S( F通过把next值“看”出来，我们再来分析next值，这就很容易得到超级有名的公式了，这个式子对后面的算法理解很重要！所以先要看懂这个式子，如果上面的内容通下来了，这个应该很容易看懂了：
+ n0 D, j2 f8 A3 ^  ^

% E2 v0 D. M, j4 K3 C( a7 O0 x: J
* D) w6 w' X7 x4 f. _
五、求next的算法
, ~! n( X& E& D" {8 e$ Z3 P终于到了最后了~短的串的next值我们可以“看”出来，但长的串就需要借助程序了，具体算法刚接触的时候确实不容易理解，但给我的体验，把上面的内容写完，现在感觉简简单单了…先附上程序再做解释，(终于到了传说中的整整5行代码让我整理了一下午)。
: e$ r2 l3 y+ c* D2 M

int GetNext(char ch[],int cLen,int next[]){//cLen为串ch的长度
    next[1] = 0;
  }* @2 E/ e2 K5 p, r0 z    int i = 1,j = 0;
    while(i<=cLen){
5 J0 z8 t* \9 B+ e, B% R        if(j==0||ch==ch[j]) next[++i] = ++j;
3 k' _! s% F6 c: q4 l2 [+ s* i* q        else j = next[j];
5 `# f4 V. i. D" r0 y9 Y    }
}

还是先由一般再推优化：
直接求next[j+1]（至于为什么是j+1，是为了和下面的对应）
根据之前的分析，next[j+1]的值为pj+1的前j个元素的收尾重合的最大个数加一。即需要满足两个条件，把它的值一步步“检验”出来。一是“个数最多”的，因此要从可能的最大值开始验；二是“首尾重合”，因此要一一对应验是否相等。
不难理解，next[j+1]的最大值为j，所有我们从next[j+1]=j开始“验证”。有以下优先判断顺序：
if(P1…Pj-1 == P2…Pj) => next[j+1]=j
else if(P1…Pj-2 == P3…Pj) =>next[j+1]=j-1
else if(P1…Pj-3 == P4…Pj) =>next[j+1]=j-2
…
…
. N3 ?+ l; F2 Q2 D5 T…
' h+ W! D3 e- z3 ?else if(P1P2 == Pj-1Pj) => next[j+1]=3
else if(P1 == Pj-1) => next[j+1]=2
else if(P1 != Pj-1) => next[j+1]=1
每次前去尾1个，后掐头1个，直至得到next[j+1]
+ f1 L5 t# Q1 W" Y: P1 A4 t
$ |* S! K+ N. t6 _
再进一步想，next值是一个“工具”，我们单独的求next[j+1]是完全没有意义的，就是说要求next就要把所有j的next求出来。所有一般的，我们都是已知前j个元素的next值，求next[j+1]，以此递推下去，求完整的next数组。
$ [, Z. c% S  c8 ]6 y4 L但是，上面的思考过程还是最根本的。所以问题变为两个：知道前j个元素的next的情况下，
  T3 ]: E1 M) ]7 D) K6 i①next[j+1]的可能的最大值是多少（即从哪开始验证）
②某一步验证失败后，需要“前去尾几个，后掐头几个？”（即本次验证失败后，再验证哪个值）
' |1 h9 R$ H5 T看一下的分析：


% a$ P) T' V5 R, w0 o# Z" A1、next[j+1]的最大值为next[j]+1。
# T  [% D3 N8 i因为：
# G$ _4 d" U* p; p$ b假设next[j]=k1，则可以说明P1…Pk1-1=Pj-k1+1…Pj-1，且这是前j个元素最大的首尾重合序列。
: g6 B$ `1 c9 [8 g* h如果Pk1=Pj，那么P1…Pk1-1PK=Pj-k1+1…Pj-1Pj，那么k+1这也是前j+1个元素的最大首尾重合序列，也即next[j+1]的值为k1+1
2、如果Pk1≠Pj，那么next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1，以此类推即可高效求出next[j+1]
这里不好解释，直接看下面的流程分析及图解
# U' u% z* d) v

开——始——划——重——点！
从头走一遍流程
①求next[j+1]，设值为m
②已知next[j]=k1，则有P1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pj-1
③如果Pk1=Pj，则P1…Pk1-1PK = Pj-k1+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k1+1，否则
% l* c0 e0 i6 ?& y+ b④已知next[k1]=k2，则有P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1
⑤第二第三步联合得到:
# x8 O/ x" e# r% Y6 hP1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pk2-k1+j-1 = Pj-k2+1…Pj-1 即四段重合
. j0 x9 _7 Q$ M% ?) Y5 H⑥这时候，再判断如果Pk2=Pj，则P1…Pk2-1P~k2 = Pj-k2+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k2+1；否则再取next[k2]=k3…以此类推
. ?' w; ?+ X2 F! A+ X

上面几步，耐心看下来，结合那个式子很容易看懂。最后，再加一个图的模拟帮助理解：
2 {# p- ?) k7 \. ^1、要求next[k+1] 其中k+1=17

! V2 ]' I6 o! [5 S8 ]
2、已知next[16]=8，则元素有以下关系：
& n: j0 [& O' s  r3 `8 m

! |% _/ I$ S! A3、如果P8=P16，则明显next[17]=8+1=9
4 y$ j9 `! r" O$ G' ^4、如果不相等，又若next[8]=4，则有以下关系
# C- M" @  z. {+ U" J' o7 i

又加上2的条件知
  A& s" e7 L3 D% K
8 O& E. h+ `; p2 Q' ^
主要是为了证明：
. R; D) p7 q4 M& P: p, {
8 g* x+ u8 V2 K
/ s  I( ~8 X- b7 _+ @5、现在在判断，如果P16=P4则next[17]=4+1=5，否则，在继续递推
6、若next[4]=2，则有以下关系


7、若P16=P2，则next[17]=2+1=3;否则继续取next[2]=1、next[1]=0；遇到0时还没出结果，则递推结束，此时next[17]=1。最后，再返回看那5行算法，应该很容易明白了！
7 f# r, V! d: \3 [4 Y————————————————
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4 H+ s# I; W1 @, J4 D0 d原文链接：https://blog.csdn.net/qq_37969433/article/details/82947411
$ p; V& }; r' C) G( p! m$ L
$ _8 K2 b; b, i; O1 b

% t9 n% o' H- [2 t