（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法

杨利霞

（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法
% \6 {; O9 I4 `# `
大多数据结构课本中，串涉及的内容即串的模式匹配，需要掌握的是朴素算法、KMP算法及next值的求法。在考研备考中，参考严奶奶的教材，我也是在关于求next值的算法中卡了一下午时间，感觉挺有意思的，把一些思考的结果整理出来，与大家一起探讨。
6 O- P+ ~" K% O- ?" l  R
1 q. }$ z2 x: s% z
6 s) [% _3 \+ C$ m7 P2 L本文的逻辑顺序为
1、最基本的朴素算法
2、优化的KMP算法
3、应算法需要定义的next值
4、手动写出较短串的next值的方法
4 G4 i* E- I  M! [8 {2 y1 U' Z5、最难理解的、足足有5行的代码的求next值的算法
所有铺垫为了最后的第5点，我觉得以这个逻辑下来，由果索因还是相对好理解的，下面写的很通俗，略显不专业…

( p) D3 C( L0 m9 p! A0 {; i
3 K# ?$ g0 }: g' H9 t8 o一、问题描述
4 y+ u& L/ p' z* Q- o3 B给定一个主串S及一个模式串P，判断模式串是否为主串的子串；若是，返回匹配的第一个元素的位置（序号从1开始），否则返回0；如S=“abcd”，P=“bcd”，则返回2；S=“abcd”，P=“acb”，返回0。
, b+ E2 q9 g' u/ S( k3 u

二、朴素算法
最简单的方法及一次遍历S与P。以S=“abcabaaaabaaacac”,P="abaabcac"为例，一张动图模拟朴素算法：




这个算法简单，不多说，附上代码
( l. M7 t9 X9 c3 \6 X
( {9 |4 b0 ]; Q& j
#include<stdio.h>
int Index_1(char s[],int sLen,char p[],int pLen){//s为主串，sLen为主串元素个数，p为模式串，pLen为模式串的个数
. |' @1 o( S; M  V    if(sLen<pLen)return 0;
% p/ A8 g. T2 \" ?$ B    int i = 1,j = 1;
' a1 U1 j3 S, _2 E; C    while(i<=sLen && j<=pLen){
* m) j; Q& k1 x  L6 @! g; r2 \* R        if(s==p[j]){i++;j++;}
2 G% a, ^( ]# M4 H# X        else{
            i = i-j+2;
1 a' X& I3 o6 T* A' {            j = 1;
        }
    }
/ [' v) `6 d. B) Y% y    if(j>pLen) return i-pLen;
/ i) }- T5 F& L9 B; M5 B' c5 g    return 0;
}
void main(){
, \* b$ f% X5 O7 J4 y2 R9 q    char s[]={' ','a','b','c','a','b','a','a','a','a','b','a','a','b','c','a','c'};//从序号1开始存
) }' j/ A; q7 N& U& M8 r7 D8 n    char p[]={' ','a','b','a','a','b','c','a','c'};
; g# C% M, E% t( A# Q$ k    int sLen = sizeof(s)/sizeof(char)-1;
    int pLen = sizeof(p)/sizeof(char)-1;
    printf("%d",Index_1(s,sLen,p,pLen));
}
* A4 d2 Q0 J9 Y! R  ~1
* K! U$ T! e. v' u  ^2
3
3 g1 d: L) Y5 D6 ~: \7 x4
5
6
7
+ p( Z0 t9 j" T8
9
4 Y. f0 ?7 T0 x2 I% X10
11
' c1 X- x) c: {/ G, n12
13
14
+ F3 M4 ~. d) d& i6 d15
16
17
& t+ J$ f7 H6 p+ E18
  w( |. h- {; m  W; I; U: E19
20
21
5 Y+ Q7 g# _3 {' V三、改进的算法——KMP算法
朴素算法理解简单，但两个串都有依次遍历，时间复杂度为O(n*m)，效率不高。由此有了KMP算法。
一般的，在一次匹配中，我们是不知道主串的内容的，而模式串是我们自己定义的。
朴素算法中，P的第j位失配，默认的把P串后移一位。
- g3 |0 [- ]) u; T- R# f但在前一轮的比较中，我们已经知道了P的前(j-1)位与S中间对应的某(j-1)个元素已经匹配成功了。这就意味着，在一轮的尝试匹配中，我们get到了主串的部分内容，我们能否利用这些内容，让P多移几位(我认为这就是KMP算法最根本的东西)，减少遍历的趟数呢？答案是肯定的。再看下面改进后的动图：


& s2 H+ u& H0 n

6 z$ o' r, W7 Y这个模拟过程即KMP算法，若没有看明白，继续往下看相应的解释，理解需要把P多移几位，然后回头再看一遍这个图就很明了了。

0 ^  e! i" f+ ]- A% ]/ C
1 Q, ^! A) i; g- ]' F) D. O相比朴素算法：
3 I  V& t. B& C* z9 k* x' E3 F  i朴素算法： 每次失配，S串的索引i定位的本次尝试匹配的第一个字符的后一个。P串的索引j定位到1；T(n)=O(n*m)
# j0 Y7 g( s* d9 C  zKMP算法： 每次失配，S串的索引i不动，P串的索引j定位到某个数。T(n)=O(n+m)，时间效率明显提高
3 y  g' p: Q  a
; `8 {' l5 Q& B* y0 a
* `, J8 l* n& r9 g3 e而这“定位到某个数”，这个数就是接下来引入的next值。（实际上也就是P往后移多少位，换一种说法罢了：从上图中也可以看出，失配时固定i不变，令S与P[某个数]对齐，实际上是P右移几位的另一种表达，只有为什么这么表达，当然是因为程序好写。）
: z. |. q1 [/ v+ V/ V/ e

开——始——划——重——点！（图对逻辑关系比较好理解，但i和j的关系对后面求next的算法好理解！）

6 ?* O: K* D6 h, \. l3 g  j
5 _  E$ ]3 k7 z8 N& ?0 }' H比如，Pj处失配，绿色的是Pj，则我们可以确定P1…Pj-1是与Si…Si+j-2相对应的位置一一相等的

% n2 B( z8 d2 I* q- O
. q" ]8 M0 Y5 e6 z. k6 ]( J
假设P1…Pj-1中，P1…Pk-1与Pj-k+1…Pj-1是一一相等的，为了下面说的清楚，我们把这种关系叫做“首尾重合”
# }) v& ^8 C& h


2 L6 e# z5 t2 v) Y. ~9 R
! E, A" [; z2 K9 V- q1 {% C6 E那么可以推出，P1…Pk-1与Si…Si+j-2

1 c) `$ k- P' E1 S( S' F" l' v/ j

8 \1 v3 L; c. Y& B
+ y( D' J, h4 e4 N# q' }显然，接下来要做的就是把模式串右移了，移到哪里就不用多说了：




+ V5 B/ h/ w5 K4 {. _+ i0 \5 b+ }- R为了表示下一轮比较j定位的地方，我们将其定义为next[j]，next[j]就是第j个元素前j-1个元素首尾重合部分个数加一，当然，为了能遍历完整，首尾重合部分的元素个数应取到最多，即next[j]应取尽量大的值，原因挺好理解的，可以想个例子模拟一下，会完美跳过正确结果。在上图中就是绿色元素的next值为蓝色元素的序号。也即，对于字符串P，next[8]=4。如此，再看一下上面的动图是不是清楚了不少。


最后，如果我们知道了一个字符串的next值，那么KMP算法也就很好懂了。相比朴素算法，当发生失配时，i不变，j=next[j]就好啦！接下来就是怎么确定next值了。


9 R6 B3 i0 G6 R) g, t0 B四、手动写出一个串的next值
8 @: g4 W; H0 \* v2 ^, T我们规定任何一个串，next[1]=0。(不用next[0]，与串的所有对应)，仍是一张动图搞定问题：
; `7 v) D0 W7 h' z3 ^* f0 V
1 L2 M7 r. o  r0 W
, B+ A6 E9 k- G4 ?7 n# |& v这个扫一眼就能依次写出，会了这个方法，应付个期末考试没问题了。
* q1 Z0 h1 i. p; v
) z4 K, a, c4 C7 G
通过把next值“看”出来，我们再来分析next值，这就很容易得到超级有名的公式了，这个式子对后面的算法理解很重要！所以先要看懂这个式子，如果上面的内容通下来了，这个应该很容易看懂了：
: {7 X0 a" O7 \& |
- F2 U2 b0 f- v2 o( K; L/ `, ?
$ G: h8 c8 i2 B/ R" j' s, I& u: _

9 J6 r, u. _: c1 D" n+ Z0 J9 K; C五、求next的算法
终于到了最后了~短的串的next值我们可以“看”出来，但长的串就需要借助程序了，具体算法刚接触的时候确实不容易理解，但给我的体验，把上面的内容写完，现在感觉简简单单了…先附上程序再做解释，(终于到了传说中的整整5行代码让我整理了一下午)。


int GetNext(char ch[],int cLen,int next[]){//cLen为串ch的长度
    next[1] = 0;
    int i = 1,j = 0;
    while(i<=cLen){
        if(j==0||ch==ch[j]) next[++i] = ++j;
        else j = next[j];
    }
}

) R- E0 @5 A  e" i! }还是先由一般再推优化：
直接求next[j+1]（至于为什么是j+1，是为了和下面的对应）
0 Q9 K7 f0 e8 h! l$ t& Z" n根据之前的分析，next[j+1]的值为pj+1的前j个元素的收尾重合的最大个数加一。即需要满足两个条件，把它的值一步步“检验”出来。一是“个数最多”的，因此要从可能的最大值开始验；二是“首尾重合”，因此要一一对应验是否相等。
不难理解，next[j+1]的最大值为j，所有我们从next[j+1]=j开始“验证”。有以下优先判断顺序：
if(P1…Pj-1 == P2…Pj) => next[j+1]=j
else if(P1…Pj-2 == P3…Pj) =>next[j+1]=j-1
8 ?5 Z$ R) f; u2 pelse if(P1…Pj-3 == P4…Pj) =>next[j+1]=j-2
…
…
  \! n9 v& b: a& ]; n) J  \- ^…
  W0 B. b% c5 h+ }9 j& C2 U1 |3 Celse if(P1P2 == Pj-1Pj) => next[j+1]=3
else if(P1 == Pj-1) => next[j+1]=2
else if(P1 != Pj-1) => next[j+1]=1
每次前去尾1个，后掐头1个，直至得到next[j+1]
" d4 e2 T3 Y+ q% M( K

再进一步想，next值是一个“工具”，我们单独的求next[j+1]是完全没有意义的，就是说要求next就要把所有j的next求出来。所有一般的，我们都是已知前j个元素的next值，求next[j+1]，以此递推下去，求完整的next数组。
; E  d9 l8 V( R6 i5 R$ R0 R$ \& a但是，上面的思考过程还是最根本的。所以问题变为两个：知道前j个元素的next的情况下，
* Y- T* C0 n" E& j4 k% E( ?. a①next[j+1]的可能的最大值是多少（即从哪开始验证）
②某一步验证失败后，需要“前去尾几个，后掐头几个？”（即本次验证失败后，再验证哪个值）
% `" m0 M% C" y) R; G+ K7 p看一下的分析：

6 z! S! T" c# d* _& i! W$ @# _6 t
) _$ x  ?  m* }" X1、next[j+1]的最大值为next[j]+1。
因为：
假设next[j]=k1，则可以说明P1…Pk1-1=Pj-k1+1…Pj-1，且这是前j个元素最大的首尾重合序列。
如果Pk1=Pj，那么P1…Pk1-1PK=Pj-k1+1…Pj-1Pj，那么k+1这也是前j+1个元素的最大首尾重合序列，也即next[j+1]的值为k1+1
; E: R. F& \) M: T" C6 Z2、如果Pk1≠Pj，那么next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1，以此类推即可高效求出next[j+1]
这里不好解释，直接看下面的流程分析及图解
6 z3 z5 b2 C- f: m7 n6 d

开——始——划——重——点！
! V( |2 z$ T7 a从头走一遍流程
①求next[j+1]，设值为m
8 b: }0 f7 [6 r, G8 A, j②已知next[j]=k1，则有P1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pj-1
③如果Pk1=Pj，则P1…Pk1-1PK = Pj-k1+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k1+1，否则
④已知next[k1]=k2，则有P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1
⑤第二第三步联合得到:
P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pk2-k1+j-1 = Pj-k2+1…Pj-1 即四段重合
: {/ S3 d, S0 s1 F0 v⑥这时候，再判断如果Pk2=Pj，则P1…Pk2-1P~k2 = Pj-k2+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k2+1；否则再取next[k2]=k3…以此类推
6 u# h) Q! p, ~

2 T6 {7 M+ x5 I4 k' j, N上面几步，耐心看下来，结合那个式子很容易看懂。最后，再加一个图的模拟帮助理解：
6 p, Q+ P2 ]1 a% \" B1、要求next[k+1] 其中k+1=17
( ~4 W% a: K3 \% n1 z

2、已知next[16]=8，则元素有以下关系：

3 |& y& v6 ]( {5 [, |
9 t$ }2 o4 i9 q: O3、如果P8=P16，则明显next[17]=8+1=9
4、如果不相等，又若next[8]=4，则有以下关系
8 p2 H1 @. K1 Y  [, y

: r1 G0 ^% Y$ r; }. F- V又加上2的条件知
; D/ @7 m0 n1 f) `

主要是为了证明：
$ o$ y/ c( ~/ ~$ N# p
7 W5 w2 ?4 C" E6 I2 m9 _$ {0 I% _( E
# B  r: p* P7 {. |2 f8 j" B5、现在在判断，如果P16=P4则next[17]=4+1=5，否则，在继续递推
2 {, G: t% ?) ~# J! z6、若next[4]=2，则有以下关系


7、若P16=P2，则next[17]=2+1=3;否则继续取next[2]=1、next[1]=0；遇到0时还没出结果，则递推结束，此时next[17]=1。最后，再返回看那5行算法，应该很容易明白了！
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' D" H" r2 i- |原文链接：https://blog.csdn.net/qq_37969433/article/details/82947411

' a& S6 o9 C3 g8 M
/ Y, X) |8 G8 D/ e5 K: A
: ?) h7 H) X" T