数学建模方法——SPSS主成分分析法

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Ⅰ.主成分分析：
; J8 M% Q  _! ~8 o7 a主成分与原始变量之间的关系：
PCA降维：
: X# C1 ?7 U- x$ D1 h1 F1 v4 Y; OⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
4 h; Y- x9 R  }" J# `& fA.求指标对应的系数
1.方差图与成分矩阵：
& Q: p( ~3 B! x0 B  u) V5 u5 g2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
4.采用excel的公式计算指标系数
5.数据的归一化处理
) X5 S; P9 I$ q5 w) X' u8 b7 }a.操作如下：
b.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
B.附spss的免安装文件地址：
7 h  d3 K- d. ^9 TⅠ.主成分分析：
* l- n1 X$ N* Y+ U​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。
$ J" _* E: F0 p
主成分与原始变量之间的关系：
​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。

​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
8 V8 ]' N) R( [/ T
) ~& a. q8 m: L7 a​ （3）各个主成分之间互不相关。

​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
5 ^6 o/ t, g# i4 d& H. Q/ ]
PCA降维：
7 o$ q; W8 t( k7 K; R​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。
+ ~/ w- A" o2 ]! r9 k
4 }$ t. m5 ]  v* X8 L8 o3 d. C/ i​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。
/ ^: k) c/ V* U! ]  Y% F
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：





# N+ l5 [1 A6 \: i6 k7 k/ `




/ z2 m8 z& g( ~4 A0 ^
% w; o9 Z2 o+ D2 y4 A/ {$ e




' p( N. R$ w6 @1 q
; o/ V4 W) D: {$ V4 x

# K: Z: \5 T. a9 s" [2 c5 UA.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：

* h6 |/ M+ }; v1 |4 l" ^

2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
F1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10

3 H5 d2 i  r. m0 \F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

7 w4 b3 w& a  x; L) _(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)

3 E0 @4 J6 o7 a9 P7 N3 c. a3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
) K4 j% @+ U& _F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2

" [3 M5 f. D; ?& T) w/ n0 l4.采用excel的公式计算指标系数
将成分矩阵的数据列导入excel表格。
1 ?% Z  y+ i3 {% L- |- u# f
2 U7 ]8 S+ b; o2 W% `7 v
5 H  F/ D+ V3 b0 P( N然后通过Excel命令：
6 e& ~6 _+ {% r! c

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

7 `& v0 @0 Q1 u
5.数据的归一化处理a.操作如下：

! y7 _3 ~, I3 z2 w


- a# q2 G3 ~" A) o5 {b.得到归一化后的数据：


7 d3 H+ ^7 O& D* S7 lc.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

: p( U, k& }8 j) Z% k  K( z5 \

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

8 \; L3 s/ M0 q( N  ?6 {7 {
' r; A2 ]- r! B1 I1 C% l3 S9 Y