数学建模方法——SPSS主成分分析法

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" [+ A( H* D& `! t5 T  h/ `Ⅰ.主成分分析：
, @/ r7 A7 s+ @& C0 R6 _& A主成分与原始变量之间的关系：
- n. I! Q! x4 Q' E8 ?PCA降维：
+ d) M& l. C7 s1 I+ y% gⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
- W$ p1 v" p! i  T) b+ A* ~) {A.求指标对应的系数
% k% J, @2 p$ c1.方差图与成分矩阵：
4 K+ k7 h! k/ P2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
8 ~1 \- A+ Y0 Q/ Z2 J; k9 t3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
. H! ^6 L! |( P4 i4.采用excel的公式计算指标系数
1 i+ ~) [# x8 E% Y) D+ I5.数据的归一化处理
a.操作如下：
! t0 M6 R/ A# Z. Ib.得到归一化后的数据：
+ ?8 Y5 ^% j5 ]2 S+ @- {c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
" [5 j* b: z6 j8 cB.附spss的免安装文件地址：
Ⅰ.主成分分析：
. [6 x0 J% k4 e" l3 D; g. a1 T5 v​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。

主成分与原始变量之间的关系：
​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
' o% B" n* Q, L! q
​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。

7 Q# m6 R( V9 j" n  ^​ （3）各个主成分之间互不相关。

  x( l5 o* t, H" s. @) Z$ p​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。

- b. |* @- w$ VPCA降维：
​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。
6 i5 F! q3 E* t4 r) R% c
8 M1 w; t2 i% y9 o; e+ k$ O& q​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。

Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：
0 r, _- J& G# q6 Y2 K1 h
6 Y. `9 C2 B. D2 E! c% e7 z) a
. S; J. b& m4 C; Y# Z

9 g* c# g5 a( X( |. ^$ A+ y& ^
$ X8 ?% D9 y- z3 i/ B

- y* M- Y! }4 {5 e) L
9 Z% {) X% Y0 \( |; H% Z/ b



  q  G3 j& x2 v7 \; {7 G+ N

( q% E2 d5 [4 ~0 i9 S9 c
4 y! L6 \( @/ o2 }0 m% N; Q
$ Q0 ~) k8 r7 \4 f
. Z& e2 ]$ K6 v% k, c! v
( Y' v/ K- ?. [% g' k& {. E  Z
% K: f6 |# D" `7 l- ~0 C0 ?" s% |A.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：

8 d* `" A+ o7 _! x9 P

3 W% C4 X* ?5 d" R# I2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
8 P  y% N0 }/ d/ o! ?F1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10

" s: |! o/ ^  i3 E1 {$ F& C- iF2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)

3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
4 g! ^0 |  I, ~  s- KF=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2
% J6 d' q9 u% S' c# `  [& n
" @. P" ?4 _& [: Y! m0 E1 U+ x, n4.采用excel的公式计算指标系数
将成分矩阵的数据列导入excel表格。


' r. X1 e" V" V0 q2 u' k然后通过Excel命令：
+ C, @2 A3 N& ]8 w+ ^7 Q! B

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

7 D3 f0 E$ w6 t% h

" {1 ~8 D' `( }  e  S1 }5.数据的归一化处理a.操作如下：
" x- d- H& ]" L. N' d- F
8 P4 ]- s4 I6 _0 L! m& l. |
! K$ a  }$ `- F
9 l( f5 j2 H2 t7 Q
b.得到归一化后的数据：

6 p  [" @+ \. f! M' n. l
# v& g  f( p: v- z1 e3 e4 [c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

2 ?/ n  D  m! Z# [5 v9 n% S2 k