全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
( G& Z% R0 J4 D" M: O1 M; G% g
2 f+ E+ ?% O3 A- [9 f
) u0 ~, C" O; |. P0 S: |1. 求极限问题
% O/ c& L' ]" e% q; t2 e1.1 洛必达
) Y# w; T! p) M  v, `- J( m没啥好说的。
) c/ R( u( o* G  W" j4 F

1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
9 b) d% K# R* h: k  e熟记公式~


3 n! o, `; p  @+ A: U! d( S1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
. J6 I  N1 l1 q
/ M/ f0 y% `  T. @5 t9 t1 T# E5 x
" Q) l" p9 N. E) k7 ]1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
! k2 e9 S, A6 ^( Y
4 o2 E$ [  U0 Y: I/ J$ P$ i遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
/ ~# t0 b, c2 r* k4 j1 f
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
. f$ c# u& p; N4 Q9 L1 }! `4 U有这个思想就行。

# U: e0 I, f  l% M: q( |
8 C9 B8 ^+ P4 h: _9 X1.8 利用积分
8 ^) W( m8 \; G3 s看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
% A6 t. t- j9 y, M8 e* _5 j( \' S
+ @2 ]) t- ]$ n! G$ T' d把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

; w. `3 }( T- n6 {' H' {

$ R3 H6 \. M% L3 c; D
8 L" S1 Y4 l2 X$ t( A9 C9 X2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
" a6 R& N+ a2 ^0 ]

; J/ ^5 b  ^( L2 F' G" V" r+ C: P2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


7 A" s9 ^9 k2 @! X2.3 参数方程确定的函数求导
  ?% t$ K+ q- @5 J# e理解过程。

% T" c% g" o& Q: ]8 G& Q+ g" g
/ r+ N2 R0 w9 u8 t6 c$ J2.4 高阶函数
3 R. R) ]0 _: k8 j  ?Leibniz公式

$ B* p8 j" `5 z6 `3 t+ W0 Z
1 K- d# [2 U, ^% Y9 O+ N常见高阶导数
& O5 y, l9 G9 F
8 @' ]7 }7 ?" T8 r
3 w/ Q/ a& E3 Z
% s! t( A5 b9 q* X6 ?
! ^$ V7 @# W8 z, ?+ V4 T, _3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
+ Y; @6 I3 g7 ^
. e# o" L- i* |

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  , d! `5 p) `6 M% Y( X, Q- `

3 }* v, c- P7 w( ^8 i; h' b. X3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

; b6 I3 d6 U) ^  W. ?% ?


3 y; P1 ^) P8 n

5 b# ^) a" ?/ E. G0 y! U. B


! J. {% X  y7 J! e1 V* l* v9 V4 [

! P( F% p: n* I7 Y3 f
# a. q6 C8 K- Z4 a' O2 H0 O: z