全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
$ F7 i2 {- {/ h" K, m* T7 R) @这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
# n+ [& P& k6 X( q3 e# {# }8 Z

1. 求极限问题
4 z- y4 h6 U4 g& z  U1.1 洛必达
没啥好说的。
" V. j8 O3 z1 _2 O
/ s# T8 ~5 z! e$ a2 Z. x
% i$ s: ]: N  e0 v- H# `% `0 K9 ?5 b1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
+ a' W0 a/ b" L( J! v3 x) \+ {熟记公式~
; e& F* h4 @3 C+ O

  w3 M( j+ Y1 x5 }1.4 两个重要极限
, ]& ]+ y- C* t1 n* ]有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

5 C1 }1 W; M9 ^# Y
1.6 微分中值定理
* g* _1 A& ^" d- A! E% |& p遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

& ?) E5 t6 T; E, P1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
. u- `: |. e! J有这个思想就行。
" E7 Z5 G! x2 K; r0 \/ i% Y6 ?

* U: j8 T4 l0 [* B0 a5 h, @1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
' \4 u9 Y' X' q
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
) F+ S/ \, f/ u$ S6 ~/ R

. c1 t& h: A& m' U3 W
: I  c/ O0 a+ `% T$ F' v1 f; e
2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

2 [$ W1 p( K; |+ E/ u7 C
/ R) _; e! f* [1 M; c2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。

: C2 u7 z7 D2 @" H
2.4 高阶函数
: O% q; f$ W# }0 {Leibniz公式
. e( w( I7 g9 I' v6 o; x

常见高阶导数

5 N' o# h; L7 C. d( ~8 B
% G' o* @! R( r+ O
5 n3 f+ K- G9 I& ~
9 P3 E' e; C% L; b( U3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
4 @: g9 s5 }" }% ^& e& ~5 J0 K! A
* i' u, s# i  a6 y! o4 P8 }* |5 [

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

3 c( T  G8 Q0 ^1 T, ^  q1 Z



' f& i. {( b$ T# E3 \
. n; Q6 |5 A6 {6 t6 M; S
* ~' s/ s5 x! F! v

' \: V: `. ?8 T( V; @
$ x7 [; K+ s! r
- t" ~& V% S- J* j


4 b0 F, B& _: ^: g; g2 S- [