全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
7 d6 H- P4 }: y这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
) F7 |! w1 X7 z( [

& L5 M. b* z; k: z2 T1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
% k" ^. T1 E6 O. ^

1.2 等价无穷小
8 F3 K5 T- K% @4 X9 q

1.3 Taylor公式
" U8 T; [  D- O' O熟记公式~
) L% U: I: R, T. \4 r/ a0 \+ v
! z$ w! n' t5 f7 @/ U( K
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
" P7 |, y( \  x  O& V! n! Z' H
7 P+ S/ `  o$ F$ ^  }$ X
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
7 j. O& i- v# @+ L# ~+ ]+ K
/ }& K- \0 j1 U$ M3 H
1.6 微分中值定理
! c* ~( X9 I$ J2 p2 i! ^" u; s遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

& k9 P* I& o  {7 ~2 P遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
/ y& \  D% \7 U6 m- D有这个思想就行。
( v! d/ C7 W5 O4 C' F& `" T

. {" l, D, H4 G1 I# |- _: H" e4 \1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
/ H2 S% a/ |1 ]; V
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
; q' r3 [* y& `: E

% S1 P/ {: N& a# C9 C

/ P, Z" q, [; k" |, M2. 导数的计算
  w' ?/ ?; @: l: @2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
8 |: D$ P  j1 k/ J+ u. ^1 s. m如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

6 I/ O( M: H1 W  c
* }" f& g/ B4 c, G1 g: ~! ?2.2 隐函数求导 对数求导
9 k5 `& r2 T( a# U* A当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


2.3 参数方程确定的函数求导
  F8 [" _' X5 {0 S; b2 y9 k. W! g理解过程。

7 b$ y7 E. w* X7 s
2.4 高阶函数
" Z! l+ }9 K& ~, w" b2 dLeibniz公式


常见高阶导数



& R7 C7 H7 W2 a( |
# P) k& k0 @, t! @2 a' R4 n3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

: U9 }8 e" ^" X5 F; w

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
    b4 z! K+ [2 ^4 t5 {5 F

0 v: W# ]5 n- q5 r3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  ; z; C& j' u, _* N. l

8 o2 ^  x) _* T/ n  ]
6 y  _; L9 F& `. Z6 F$ w



& U# N% v# y6 c) M. V
$ E+ w( s5 i: ]
* y2 w/ P0 B) ]  n


3 l' G/ q' {' A" C# ~% L6 n

/ Z7 f: d) p8 V3 `
- n9 Z  ]. q7 W  |