全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


) z# g, j3 Y3 e% V1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。

4 a6 z3 ]$ _' z+ m/ k8 s
1.2 等价无穷小


+ M: t; D$ S' J  a* ^6 O+ I3 b1.3 Taylor公式
熟记公式~

/ K6 H6 J- @  K2 J) x3 ]6 J( T
1.4 两个重要极限
* }0 K  G' Y" L有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

% `7 @1 B7 j- L0 ^
& x% Q5 ~0 U3 N4 L1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

4 }) V$ h8 ^  H, d4 V
6 G7 D! ?* b3 H4 h1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
3 W6 @4 J1 l! X1 G$ M% q; i

4 n5 \& y( |: a+ ~1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

! v' x; \  |+ O把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
% ]' \5 _4 K" ^+ Z! h

2 G; H; b( X3 ^8 u" \+ ?
8 ?( n6 V: t+ g0 i; F% k
2. 导数的计算
) V; i3 O0 y; L1 b+ p8 d. }8 l2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
6 Z# S0 H4 y' x! R' a1 K+ c

2.3 参数方程确定的函数求导
( X& S; i* R8 h; \理解过程。
: t8 J* U$ S; _, A; k
8 T7 s7 t, |. f8 [& ~
) k' F' c+ `4 a* {( f2.4 高阶函数
7 S0 E+ y# I6 q/ ^5 ULeibniz公式


常见高阶导数
; C7 @3 `) ~5 R9 k; y" B

6 G% i' B0 m; Z) |- R+ n
- s$ F6 i: M" h5 f7 Z2 o' G" i& A
7 g# t/ T' ?/ P! P6 S8 B3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

# D% A  C( i& o: z1 T9 m

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  8 C* Q$ t# v2 ]. t

8 {6 F$ A+ P, |# q" O; V3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  ' p! ?9 {1 y+ v6 e$ O6 b

: t% l/ H; }# O& s
+ O9 j3 {/ R4 w6 x5 j7 `6 [3 U/ Z
- I& `% J# g, [4 B- d
/ F! |+ ^+ r- \2 `' m; ^


1 _7 p- \1 W1 \  W
7 z* \* D( X0 V# l) k
  @0 a+ o* t2 X, p6 G
% h0 l0 ^$ Q9 P8 v