全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
$ k1 A; ?% R' w0 Q$ v0 ?5 A! Q这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

5 o/ @# i2 y) }4 V% d9 Y! ]- @
1. 求极限问题
/ D' I  L4 r% h  R1.1 洛必达
没啥好说的。

- i; e! j. H9 z( B+ O- `" X6 ?
1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
2 A% e4 I4 F/ R/ ^7 h0 q5 q* c熟记公式~
3 \" x; A* `, Z
" C- }! j; z3 H4 `
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

2 @& d) G4 V- `, e
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

6 w2 |6 V+ g5 W7 O, t3 @( E
7 w  H# J" n( \- G$ g1.6 微分中值定理
) ?% k9 p. E1 m) E8 ?2 v& m遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
( |/ t+ ~/ I5 s
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
5 l7 g1 b! q5 m有这个思想就行。
: A$ t! j' l. ]! x8 B

7 Z' D* ]$ a) m0 B1.8 利用积分
8 K; F, G: v- H看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

. n0 N7 a6 `. W把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

: n0 x$ b1 `9 t( d
4 v/ v8 I' H& o

0 g% u) K- ^' K8 s* |7 W2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
7 F5 i- i7 s! w9 \: P% y如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
6 W# i2 J6 ?1 H9 S  K
% Q! t" k: R) x. B: f4 X
4 {- A3 n, L* q0 |2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
) q; e( |# n7 ?. ?1 T2 E

- Z1 ?7 n6 _& X: w* V+ W2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


2.4 高阶函数
Leibniz公式

& Y" @+ p: |+ T) m6 j- |9 q
6 F  d& k/ ]6 a* i* W2 B9 L. s* ]常见高阶导数

/ `0 h5 K) }: t
5 h$ Z) T3 n5 j+ C  _9 ?
. a! A0 t4 P4 D  Q! {( _: W; H
$ u. w4 z9 b- q# w; {1 B. X8 q3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
9 G+ t/ ?7 q2 E# W  ^, ]
+ _8 c" B- d0 R+ h6 g' B

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

) A  Z2 y3 n, i9 x* i; J
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

, c3 b/ j; u/ Y7 F
% ?  S$ t( g/ ?) R1 s$ g5 k  \

7 L+ u& j/ v3 Y0 b& U3 Q% Q! t


% J: O0 g+ h3 Y0 H
9 k5 |6 j, n4 M2 D7 G  |/ n

2 ]- v9 \* |% a& `

) y2 q  R8 o- S0 w) ]- V
1 t7 X" ]' n) p9 f