全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
! X9 Y, k4 x$ T* Y5 _: ~这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
) n+ z0 y1 ]1 d+ {, C% N, ]
, M& [, A1 i% x5 E
1.2 等价无穷小

$ z/ e& t  P- L7 I7 O. k9 l
: `* F" \- V. x0 y6 M+ J! g1.3 Taylor公式
熟记公式~


1.4 两个重要极限
1 ]' |: h4 Z# O0 o( _  S  p. G有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


1.6 微分中值定理
6 g9 M2 G: f7 u遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

3 D. X* J% \: M' n  k遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
7 h, i/ L2 T5 ^5 ?
1 t% N! G  X. z" `) t( T5 n
, S/ T0 g1 H- n+ S1.8 利用积分
+ V* t6 w$ Z* G) L看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


) o0 t( P" H1 ~0 @
4 D! Q9 ^0 R6 ~+ `9 K9 k8 W  v
2. 导数的计算
( _% g3 E- k/ B/ V: `  ^. L( w2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
1 s2 c0 b+ ]8 l, ^如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
# L4 v3 K( Z8 T3 I7 h7 ?
6 r" O% k* Y- }, Q1 r9 C
) _0 W- m. J: x% ?2.3 参数方程确定的函数求导
( ?1 f9 E1 |* w. ?$ j理解过程。


0 G0 y2 U+ p' w/ t& |  m8 }1 O6 P2.4 高阶函数
Leibniz公式


5 R7 s3 [! Q' X! J% e常见高阶导数

) m- {; F% [! n8 E4 P+ O/ n


3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
0 l- b" Z1 w9 a. I
0 ?; w0 L+ U; r. v* t

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  $ q1 Q, x- j, t& [! u+ u

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  + C! ~% Q$ W/ v  R5 s* F1 {: O7 a. q1 J: A

8 L1 l# g, Y$ t/ W. {6 u
& p* W1 r0 ]& b1 ?4 H' j7 C
+ ]5 j$ b/ R' t& q6 _
% }+ Q  A' X2 q) B7 X  p. p

' Q9 }& I+ E1 m
, c7 X$ u* p# _6 m

: I0 F6 E% g( L
7 N5 q+ L4 t4 V( ~) k" L