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杨利霞

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发表于 2022-9-14 16:40 |只看该作者 |正序浏览

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哈工大2022机器学习实验一：曲线拟合

这个实验的要求写的还是挺清楚的（与上学期相比），本博客采用python实现，科学计算库采用numpy，作图采用matplotlib.pyplot，为了简便在文件开头import如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
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本实验用到的numpy函数
一般把numpy简写为np（import numpy as np）。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上import numpy as np。

np.array
该函数返回一个numpy.ndarray对象，可以理解为一个多维数组（本实验中仅会用到一维（可以当作列向量）和二维（矩阵））。下面用小写的x \pmb x
x
x表示列向量，大写的A AA表示矩阵。A.T表示A AA的转置。对ndarray的运算一般都是逐元素的。

>>> x = np.array([1,2,3])
>>> x
array([1, 2, 3])
>>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])
>>> A
array([[2, 3, 4],
   [5, 6, 7]])
>>> A.T # 转置
array([[2, 5],
   [3, 6],
   [4, 7]])
>>> A + 1
array([[3, 4, 5],
   [6, 7, 8]])
>>> A * 2
array([[ 4,  6,  8],
   [10, 12, 14]])

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np.random
np.random模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数（梯度下降法），给数据添加噪声。

>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵，每个元素服从[0,1)均匀分布
array([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],
   [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],
   [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])

>>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数
array([0.70944563])
>>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组
array([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])
>>> np.random.randn(3, 3) # 同上，但每个元素服从N(0, 1)（标准正态）
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数学函数
本实验中只用到了np.sin。这些数学函数是对np.ndarray逐元素操作的：

>>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2
>>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1
array([0., 0., 1.])
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此外，还有np.log、np.exp等与python的math库相似的函数（只不过是对多维数组进行逐元素运算）。

np.dot
返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地，当其中一个为一维数组时，形状会自动适配为n × 1 n\times1n×1或1 × n . 1\times n.1×n.

>>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组
>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵
>>> np.dot(x,A)
array([14, 14, 14])
>>> np.dot(A,x)
array([ 6, 12, 18])

>>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组（1 * 3矩阵）
>>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算
array([[14, 14, 14]])
>>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot
ValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)
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np.eye
np.eye(n)返回一个n阶单位阵。

>>> A = np.eye(3)
>>> A
array([[1., 0., 0.],
   [0., 1., 0.],
   [0., 0., 1.]])
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线性代数相关
np.linalg是与线性代数有关的库。

>>> A
array([[1, 0, 0],
   [0, 2, 0],
   [0, 0, 3]])
>>> np.linalg.inv(A) # 求逆（本实验不考虑逆不存在）
array([[1.       , 0.       , 0.       ],
   [0.       , 0.5    , 0.       ],
   [0.       , 0.       , 0.33333333]])
>>> x = np.array([1,2,3])
>>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长（平方求和开根号）
3.7416573867739413
>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值
array([1., 2., 3.])
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生成数据
生成数据要求加入噪声（误差）。上课讲的时候举的例子就是正弦函数，我们这里也采用标准的正弦函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.（加入噪声后即为y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ ～ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ～N(0,σ
2
),由于sin ⁡ x \sin xsinx的最大值为1 11,我们把误差的方差设小一点，这里设成1 25 \frac{1}{25}
25
1

）。

'''
返回数据集，形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
- N 数据集大小, 默认为 100
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)
'''
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
l, r = bound
# np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布，再根据l, r缩放平移
# 这里sort是为了画图时不会乱，可以去掉sorted试一试
x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)

# np.random.randn 产生N(0,1)，除以5会变为N(0, 1 / 25)
y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
return np.array([x,y]).T
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产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样：

隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下：

dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
plt.scatter(x, y, color = 'red')
plt.show()
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最小二乘法拟合
下面我们分别用四种方法（最小二乘，正则项/岭回归，梯度下降法，共轭梯度法）以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。

解析解推导
简单回忆一下最小二乘法的原理：现在我们想用一个m mm次多项式
f ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^m
f(x)=w
0

+w
1

x+w
2

x
2
+...+w
m

x
m

来近似真实函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x
1

,y
1

),(x
2

,y
2

),...,(x
N

,y
N

)上的损失L LL（loss），这里损失函数采用平方误差：
L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2
L=
i=1
∑
N

[y
i

−f(x
i

)]
2

为了求得使均方误差最小（因此最贴合目标曲线）的参数w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,...,w_m,w
0

,w
1

,...,w
m

,我们需要分别求损失L LL关于w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,...,w_mw
0

,w
1

,...,w
m

的导数。为了方便，我们采用线性代数的记法：
X = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2xNx21x22x2N⋯⋯⋯xm1xm2⋮xmN⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
(1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm)
_{N\times(m+1)},Y=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
(y1y2⋮yN)
_{N\times1},W=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜w0w1⋮wm⎞⎠⎟⎟⎟⎟
(w0w1⋮wm)
_{(m+1)\times1}.
X=
⎝
⎛

1
1
⋮
1

x
1

x
2

x
N

x
1
2

x
2
2

x
N
2

⋯
⋯
⋯

x
1
m

x
2
m

⋮
x
N
m

⎠
⎞

N×(m+1)

,Y=
⎝
⎛

y
1

y
2

⋮
y
N

⎠
⎞

N×1

,W=
⎝
⎛

w
0

w
1

⋮
w
m

⎠
⎞

(m+1)×1

.

在这种表示方法下，有
( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W .
⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎞⎠⎟⎟⎟⎟
(f(x1)f(x2)⋮f(xN))
= XW.
⎝
⎛

f(x
1

)
f(x
2

)
⋮
f(x
N

)

⎠
⎞

=XW.

如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续，误差项之和可以表示为
( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y .
⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
(f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)
=XW-Y.
⎝
⎛

f(x
1

)−y
1

f(x
2

)−y
2

⋮
f(x
N

)−y
N

⎠
⎞

=XW−Y.

因此，损失函数
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
L=(XW−Y)
T
(XW−Y).

（为了求得向量x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^T
x
x=(x
1

,x
2

,...,x
N

)
T
各分量的平方和，可以对x \pmb x
x
x作内积，即x T x . \pmb x^T \pmb x.
x
x
T

x
x.）
为了求得使L LL最小的W WW(这个W WW是一个列向量)，我们需要对L LL求偏导数，并令其为0 : 0:0:
∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y
∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
∂W
∂L

=
∂W
∂

[(XW−Y)
T
(XW−Y)]
=
∂W
∂

[(W
T
X
T
−Y
T
)(XW−Y)]
=
∂W
∂

(W
T
X
T
XW−W
T
X
T
Y−Y
T
XW+Y
T
Y)
=
∂W
∂

(W
T
X
T
XW−2Y
T
XW+Y
T
Y)(容易验证,W
T
X
T
Y=Y
T
XW,因而可以将其合并)
=2X
T
XW−2X
T
Y

说明：
（1）从第3行到第4行，由于W T X T Y W^TX^TYW
T
X
T
Y和Y T X W Y^TXWY
T
XW都是数（或者说1 × 1 1\times11×1矩阵），二者互为转置，因此值相同，可以合并成一项。
（2）从第4行到第5行的矩阵求导，第一项∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W)
∂W
∂

(W
T
(X
T
X)W)是一个关于W WW的二次型，其导数就是2 X T X W . 2X^TXW.2X
T
XW.
（3）对于一次项− 2 Y T X W -2Y^TXW−2Y
T
XW的求导，如果按照实数域的求导应该得到− 2 Y T X . -2Y^TX.−2Y
T
X.但检查一下发现矩阵的型对不上，需要做一下转置，变为− 2 X T Y . -2X^TY.−2X
T
Y.

矩阵求导线性代数课上也没有系统教过，只对这里出现的做一下说明。（多了我也不会）
令偏导数为0，得到
X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,
X
T
XW=Y
T
X,

左乘( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1}(X
T
X)
−1
（X T X X^TXX
T
X的可逆性见下方的补充说明），得到
W = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY.
W=(X
T
X)
−1
X
T
Y.

这就是我们想求的W WW的解析解，我们只需要调用函数算出这个值即可。

'''
最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
'''
def fit(dataset, m = 5):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
Y = dataset[:, 1]
return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
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稍微解释一下代码：第一行即生成上面约定的X XX矩阵，dataset[:,0]即数据集第0列( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,...,x_N)^T(x
1

,x
2

,...,x
N

)
T
；第二行即Y YY矩阵；第三行返回上面的解析解。（如果不熟悉python语法或者numpy库还是挺不友好的）

简单地验证一下我们已经完成的函数的结果：为此，我们先写一个draw函数，用于把求得的W WW对应的多项式f ( x ) f(x)f(x)画到pyplot库的图像上去：

'''
绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
- dataset 数据集
- w 通过上面四种方法求得的系数
- color 绘制颜色, 默认为 red
- label 图像的标签
'''
def draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
Y = np.dot(X, w)

plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
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然后是主函数：

if __name__ == '__main__':
dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
      plt.scatter(x, y, color = 'red')
# 最小二乘
coef1 = fit(dataset)
draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')

# 绘制图像
plt.legend()
plt.show()
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可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的（数据集每次随机生成，所以跟第一幅图不一样）。

截至这部分全部的代码，后面同名函数不再给出说明：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

'''
返回数据集，形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
- N 数据集大小, 默认为 100
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]
'''
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
l, r = bound
x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
return np.array([x,y]).T

'''
最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
'''
def fit(dataset, m = 5):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
Y = dataset[:, 1]
return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)
'''
绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
- dataset 数据集
- w 通过上面四种方法求得的系数
- color 绘制颜色, 默认为 red
- label 图像的标签
'''
def draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
Y = np.dot(X, w)

plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)

if __name__ == '__main__':

dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
      plt.scatter(x, y, color = 'red')

coef1 = fit(dataset)
draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')

plt.legend()
plt.show()

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补充说明
上面有一块不太严谨：对于一个矩阵X XX而言，X T X X^TXX
T
X不一定可逆。然而在本实验中，可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课，我们就不费太多篇幅介绍这个了，仅作简单提示：
（1）X XX是一个N × ( m + 1 ) N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数N NN远大于多项式次数m mm，有N > m + 1 ; N>m+1;N>m+1;
（2）为了说明X T X X^TXX
T
X可逆，需要说明( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(X
T
X)
(m+1)×(m+1)

满秩，即R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1;R(X
T
X)=m+1;
（3）在线性代数中，我们证明过R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(X
T
)=R(X
T
X)=R(XX
T
);
（4）X XX是一个范德蒙矩阵，由其性质可知其秩等于m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.

添加正则项（岭回归）
最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷，我们用所生成数据集的前50个点进行训练（这样抽样不够均匀，这里只是为了说明过拟合），得出参数，再画出整个函数图像，查看拟合效果：

if __name__ == '__main__':
dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
      plt.scatter(x, y, color = 'red')
# 取前50个点进行训练
coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)
# 再画出整个数据集上的图像
draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
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过拟合在m mm较大时尤为严重（上面图像为m = 3 m=3m=3时）。当多项式次数升高时，为了尽可能贴近所给数据集，计算出来的系数的数量级将会越来越大，在未见样本上的表现也就越差。如上图，可以看到拟合在前50个点（大约在横坐标[ − 3 , 0 ] [-3,0][−3,0]处）表现很好；而在测试集上表现就很差（[ 0 , 3 ] [0,3][0,3]处）。为了防止过拟合，可以引入正则化项。此时损失函数L LL变为
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2
L=(XW−Y)
T
(XW−Y)+λ∣∣W∣∣
2
2

其中∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣
2
2

表示L 2 L_2L
2

范数的平方，在这里即W T W ; λ W^TW;\lambdaW
T
W;λ为正则化系数。该式子也称岭回归（Ridge Regression）。它的思想是兼顾损失函数与所得参数W WW的模长（在L 2 L_2L
2

范数时），防止W WW内的参数过大。

举个例子(数是随便编的)：当正则化系数为1 11，若方案1在数据集上的平方误差为0.5 , 0.5,0.5,此时W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)
T
；方案2在数据集上的平方误差为10 , 10,10,此时W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W . W.W.正则化系数λ \lambdaλ刻画了这种对于W WW模长的重视程度：λ \lambdaλ越大，说明W WW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ = 0 , \lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO，就是将正则化项换为L 1 L_1L
1

范数。

重复上面的推导，我们可以得出解析解为
W = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.
W=(X
T
X+λE
m+1

)
−1
X
T
Y.

其中E m + 1 E_{m+1}E
m+1

为m + 1 m+1m+1阶单位阵。容易得到( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1})(X
T
X+λE
m+1

)也是可逆的。

该部分代码如下。

'''
岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数
岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
'''
def ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
Y = dataset[:, 1]
return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)
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两种方法的对比如下：

对比可以看出，岭回归显著减轻了过拟合（此时为m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3）。

梯度下降法
梯度下降法并不是求解该问题的最好方法，很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想：若我们想求取复杂函数f ( x ) f(x)f(x)的最小值（最值点）（这个x xx可能是向量等），即
x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x)
x
min

=
x
argmin

f(x)

梯度下降法重复如下操作：
（0）（随机）初始化x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0)x
0

(t=0)；
（1）设f ( x ) f(x)f(x)在x t x_tx
t

处的梯度（当x xx为一维时，即导数）∇ f ( x t ) \nabla f(x_t)∇f(x
t

)；
（2）x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)x
t+1

=x
t

−η∇f(x
t

)
（3）若x t + 1 x_{t+1}x
t+1

与x t x_tx
t

相差不大（达到预先设定的范围）或迭代次数达到预设上限，停止算法；否则重复（1）（2）.

其中η \etaη为学习率，它决定了梯度下降的步长。
下面是一个用梯度下降法求取y = x 2 y=x^2y=x
2
的最小值点的示例程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
return x ** 2

def draw():
x = np.linspace(-3, 3)
y = f(x)
plt.plot(x, y, c = 'red')

cnt = 0
# 初始化 x
x = np.random.rand(1) * 3
learning_rate = 0.05

while True:
grad = 2 * x
# -----------作图用，非算法部分-----------
plt.scatter(x, f(x), c = 'black')
plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))
# -------------------------------------
new_x = x - grad * learning_rate
# 判断收敛
if abs(new_x - x) < 1e-3:
      break

x = new_x
cnt += 1

draw()
plt.show()

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上图标明了x xx随着迭代的演进，可以看到x xx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是，学习率不能过大（虽然在上面的程序中，学习率设置得有点小了），需要手动进行尝试调整，否则容易想象，x xx在正负半轴来回震荡，难以收敛。

在最小二乘法中，我们需要优化的函数是损失函数
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
L=(XW−Y)
T
(XW−Y).

下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中，
∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y ,
∂L∂W=2XTXW−2XTY
∂L∂W=2XTXW−2XTY
,
∂W
∂L

=2X
T
XW−2X
T
Y

,

于是我们每次在迭代中对W WW减去该梯度，直到参数W WW收敛。不过经过实验，平方误差会使得梯度过大，过程无法收敛，因此采用均方误差(MSE)替换之，就是给原来的式子除以N NN:

'''
梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率
注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)
- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01
'''
def GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
# 初始化参数
w = np.random.rand(m + 1)

N = len(dataset)
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
Y = dataset[:, 1]

try:
      for i in range(max_iteration):
         pred_Y = np.dot(X, w)
         # 均方误差（省略系数2）
         grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N
         w -= lr * grad
'''
为了能捕获这个溢出的 Warning，需要import warnings并在主程序中加上：
warnings.simplefilter('error')
'''
except RuntimeWarning:
      print('梯度下降法溢出, 无法收敛')

return w

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这时如果m mm设置得稍微大一点（比如4），在迭代过程中梯度就会溢出，使参数无法收敛。在收敛时，拟合效果还算可以：

共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradients）可以用来求解形如A x = b A\pmb x=\pmb bA
x
x=
b
b的方程组，或最小化二次型f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(
x
x)=
2
1

x
x
T
A
x
x−
b
b
T

x
x+c.（可以证明对于正定的A AA,二者等价）其中A AA为正定矩阵。在本问题中，我们要求解
X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,
X
T
XW=Y
T
X,

就有A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A
(m+1)×(m+1)

=X
T
X,
b
b=Y
T
.若我们想加一个正则项，就变成求解
( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX.
(X
T
X+λE)W=Y
T
X.

首先说明一点：X T X X^TXX
T
X不一定是正定的但一定是半正定的（证明见此）。但是在实验中我们基本不用担心这个问题，因为X T X X^TXX
T
X有极大可能是正定的，我们只在代码中加一个断言（assert），不多关注这个条件。
共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长，可以参考这个系列，这里只给出算法步骤（在上面链接的第三篇开头）：

（0）初始化x ( 0 ) ; x_{(0)};x
(0)

;
（1）初始化d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d
(0)

=r
(0)

=b−Ax
(0)

;
（2）令
α ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};
α
(i)

=
d
(i)
T

Ad
(i)

r
(i)
T

r
(i)

;

（3）迭代x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x
(i+1)

=x
(i)

+α
(i)

d
(i)

;
（4）令r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r
(i+1)

=r
(i)

−α
(i)

Ad
(i)

;
（5）令
β ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.
β
(i+1)

=
r
(i)
T

r
(i)

r
(i+1)
T

r
(i+1)

,d
(i+1)

=r
(i+1)

+β
(i+1)

d
(i)

.

（6）当∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon
∣∣r
(0)

∣∣
∣∣r
(i)

∣∣

<ϵ时，停止算法；否则继续从（2）开始迭代。ϵ \epsilonϵ为预先设定好的很小的值，我这里取的是1 0 − 5 . 10^{-5}.10
−5
.
下面我们按照这个过程实现代码：

'''
共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数
- dataset 数据集
- m 多项式次数, 默认为 5
- regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化
'''
def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):
X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)
assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])
w = np.random.rand(m + 1)
epsilon = 1e-5

# 初始化参数
d = r = b - np.dot(A, w)
r0 = r
while True:
      alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)
      w += alpha * d
      new_r = r - alpha * np.dot(A, d)
      beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)
      d = beta * d + new_r
      r = new_r
      # 基本收敛，停止迭代
      if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
         break
return w

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相比于朴素的梯度下降法，共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差：在m = 7 m=7m=7时，其与最小二乘法对比如下：

此时，仍然可以通过正则项部分缓解（图为m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1m=7,λ=1）：

最后附上四种方法的拟合图像（基本都一样）和主函数，可以根据实验要求调整参数：

if __name__ == '__main__':
warnings.simplefilter('error')

dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
# 绘制数据集散点图
for [x, y] in dataset:
      plt.scatter(x, y, color = 'red')

# 最小二乘法
coef1 = fit(dataset)
# 岭回归
coef2 = ridge_regression(dataset)
# 梯度下降法
coef3 = GD(dataset, m = 3)
# 共轭梯度法
coef4 = CG(dataset)

# 绘制出四种方法的曲线
draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')
draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge')
draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')
draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')

# 绘制标签, 显示图像
plt.legend()
plt.show()

————————————————
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原文链接：https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062

zan