二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
2 }. f! T' J6 Z0 _; p/ _/ |3 v
6 d% U4 }5 Q7 @9 k2 K  ] 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

0 _0 h3 \. Y% ~' P# r& |    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
2 w) N$ v: O. y3 I* m* A- |    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
& [1 M5 ]* Q& x! q3 C. }    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
' s$ [" {& J. D+ [8 d9 \8 O
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
: r6 G- k; M" \* D2 \   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
6 t: Z- _& q9 K   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
) s4 g/ V& {" k" o) u9 \
  .
  E  \$ e. Q- t. c2 `  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
' g2 B  n4 Q4 F0 V   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
% ]$ q" D1 G# P& |, a  \! a3 C      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
' Y" X: e9 r# y. ?! ^* f      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

" D% U+ }6 U& z) G- o: f 二、连续两个整数积的分解方法
2 R0 g: r# K6 \' g# |   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
+ c* N7 K$ E7 C, e     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
$ L( i$ I" f, x     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
+ j3 D3 y+ P. }+ X7 D; h1 |
   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
* t' `4 x  V2 T) b      a^2 ≡ b (mod n)  =>
% D9 |7 M. Q: d( i4 u+ g; @: Y     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

4 }2 L! \0 m* g# r9 D" Y! H   2、分解方法的另一个解释
# t$ @$ O3 V7 O2 a. M: ~; H    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
) `4 [# x  m9 }0 L* F1 {3 ]: {     
: k6 O% u( l4 U% M! {9 e( O# k# }     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
! u- R' ]/ M* \8 h) q: P+ k* c     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
, K- `2 L2 X0 a& j- _% T+ A: _) u
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
3 _! I' v8 j3 l# M( }' G   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
! L* }* s8 i0 J* f    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
) z9 v. y: \: |$ F; ^4 T8 X# [  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

$ C% |$ ?! X' U. P   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
3 b: N5 b1 T( I( `0 H    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
. R, s' ^. E; k) M1 T    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
! G+ w0 r; s+ Q( \    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
4 c7 f7 t& D! ~: c7 m# e
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
7 S& o5 i, z/ `" O1 S" V  I
   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
2 a6 E) q6 N. t+ f9 q   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
0 @& i4 _" a0 Y   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
3 V4 ?* h5 U0 @: U" r$ y$ P0 A) q   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
( k4 t% t% ], s$ h# L6 {   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
  v1 j) S  a+ x  l) Q$ n  i   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
$ P' b8 M- q7 G. x8 q# n  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.