二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
2 u+ x  ], W; i$ J$ _   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

( z0 ~$ N  o# i2 j, N- W- s8 r    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
# n  D9 r9 l) B, N) U    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
% s: n# V; U- R5 J( {" P8 l- L1 B    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
3 v, I) S+ S; `/ t2 ~
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
$ q$ k& M( O: n& m, _7 T" k
) S* h/ [3 J7 h# ]3 u  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
- Z( {% g2 a! g  L. \6 A8 A; `  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
, B( U3 g# a: @# x2 u' t& D3 }   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
+ f  h! P9 T2 @/ x$ j2 K   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
# D& ^& I3 `: V+ z, V" l9 ?  .
( v5 V/ v6 W0 w2 L   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
9 t* W. r* I: O! U7 A& L   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
" u! d( Z! K$ |  U2 c    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
% h4 K3 d3 f% X, k: Q6 m   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
0 f/ a. |$ t+ A& f& Y+ k) ?5 K      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
. N& \+ q3 @9 G     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
5 S- U" P0 D7 q5 J& e5 U0 Z9 y" @     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
/ U* _$ z/ b' P$ M     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
9 x  V6 l8 A. J3 c
   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
# o) N7 `: n) k* l! m: _      a^2 ≡ b (mod n)  =>
, ]* T+ Q1 t) a+ G- f5 V. n     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
  t( h8 o) }# x7 X5 H" R     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
6 n/ J- A8 q- V$ t7 E7 G- |6 G2 r     ① n=4k-1 , 2-1式得：
4 Q" j6 N0 g: [# x' K     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
4 S5 G+ W! d5 M     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
1 \( a: x* U. T" P: `2 C
   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
: J4 d$ ]. Q& a0 t/ s; ]   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
4 N% u6 h7 w: `  d& j5 I. r    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
% ?3 t2 x3 J5 L: Q% o; i    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
0 |) ], T7 z4 u/ {$ o
三、1/j (j >=3)的计算方法
2 ?& _% n* d" R3 K3 w  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
8 s( P. V4 a1 x3 U- k( Q
- p( _2 c; G9 n& E  V; E% p   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
& W/ L$ L! O2 f    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
4 ^1 X9 O+ S% @, v    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
! O: ]5 S6 h- ]1 e
/ W. u7 B+ S" b" T' h    按m/j , (3-1)式变成:
3 f* w3 k5 ?2 r! ]" k1 U; U    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

! p3 x7 ?0 K/ ^2 j2 t1 r2 z   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
7 s+ P6 B; e: C8 I5 Y3 g   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
$ A$ a- m' X- j% ?; E$ z   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
+ m" P- x8 H9 K8 ?/ o0 O5 F& h   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
$ ~9 |6 I+ m8 e  m0 f. o& h   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
8 J  j# s8 R" X$ s0 r. }+ D: E6 U   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

6 `7 [6 a) d+ L' q, F   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.