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二次剩余值的关联计算(上)

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发表于 2023-11-15 20:10 |只看该作者 |正序浏览

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      二次剩余值的关联计算(上)

一、二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
对于完全平方公式：
(1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1) (m≥1)  (1-1)

在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
(1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n) (1-2)
② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
(1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n) (1-3)

  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1 k=75 2k=150 , 二次剩余后序序列为:
(150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)
(150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)
(150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)
上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
   根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
   81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
   ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
   或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
1、分解方法介绍
例2: n=299=4*75-1
   25^2 ≡ 27 (mod 299) =>
   25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>
   25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>
   (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
   23*26 ≡ 0 (mod 299)
   (23,299)=23 (26,299)=13    299=13*23

分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
   a^2 ≡ b (mod n)  =>
   a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
   (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
   (a-(i+1),n)>1 (a+i , n)>1 即可分解n

2、分解方法的另一个解释
设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
   (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n) =>
   (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n) (2-1)

   ① n=4k-1 , 2-1式得：
   (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)    (2-2)
   ① n=4k+1 , 2-1式得：
   (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n) (2-3)

从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
(150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)
所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2，即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
(1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3) (3-1)

而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
1)  1/j 1+1/j  2+1/j ... t+1/j (t<j)
2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j (t < j/2)
t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj

按m/j , (3-1)式变成:
(m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3) (3-2)

例3: n=299 \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299) 100^2 ≡ 133 (mod 299)
(100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299) =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
(100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299) =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)    101^2 ≡ 35 (mod 299)
(101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299) =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299) =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)    99^2 ≡ 233 (mod 299)
(99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299) =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299) =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)
按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
(m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2 (i ≥ 1) (j ≥ 3) (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.