二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
$ z) G( h5 O; `( s# D   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
0 i6 L; a! E, C    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
; ^. {6 n+ S, w. I4 d    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
& ]. ~2 {+ H0 _5 D6 Y, I; W5 ~    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
$ a2 F3 I" Q$ M2 l, r; k  g8 C& z$ z
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  Z6 p+ v. L0 N+ ~  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
/ y! {# {7 b+ M1 f5 Y& J" q" W1 s+ C7 X   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
: i+ M3 E5 V8 i' P, B( {   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
6 K. S( i- `! ~" i8 p" k
9 O- P( _  U- ?) M$ ?# p  .
6 Z; b' B" x  [5 l  .
% \4 }- G: S$ P: T$ r1 r   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
( B* z5 |7 m& A' k   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
) x0 q. E2 X: ]0 B6 k- d- x. L    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
# A2 s, ^8 Z, Z; h5 H+ \+ D1 Y   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
) ]( H" b9 Z8 Z: p  y) B3 x      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
- c7 E9 A6 h2 X      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
7 D5 A% @- y+ N) p      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
* G* C) @  s9 W      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
# C7 i' X  L( T, u3 f+ A
6 \, O, {6 {$ P/ j- E8 F 二、连续两个整数积的分解方法
, q/ U: M8 b. `/ q4 d   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
* y  I# }! @; D& L: C4 Y* u, v1 t! |& M/ [     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
1 @9 Q! ~2 W! }% L     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
1 C, ]" o' Y& o' H) U" ?  g6 Q$ p8 G     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
5 ?8 Z, |/ P, L# c; `9 q7 N     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
' v0 D! S+ s. D2 b6 v6 X      a^2 ≡ b (mod n)  =>
4 k. l. X  N) V( t     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
5 {6 s; K. s, I) ~     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
! |9 |$ l# Q6 ]/ W6 \) P1 \' z     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

/ P) ]& A8 ?* v  `: v4 }, a   2、分解方法的另一个解释
9 o( h' ?, I- w2 Q, D7 u8 C    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
  [. \5 P  n7 L0 \     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
+ Z% ]# _8 F& N$ j       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
7 [4 T) |9 {$ J8 v" B+ n% g     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
5 `' [" _$ ]; v5 m) Y1 I     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
! Q$ v0 L) N- d. X; I+ g6 v     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

: D  C9 E6 ]- _! ^   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
& d  n+ L4 B" ^5 @    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
: ^- G) z* R' ~8 P. ?/ U9 s) c; s# K4 k
& ]$ L' o0 q# s$ H, L$ y 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

5 ~' J" Z  D; d" n) t   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
2 M7 K4 d* j8 v3 t    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
, ?: X: G( |, i6 Z- h% c- o$ `5 E
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
& {9 m! P' h- a4 W2 U   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
8 E$ F) U2 K) n3 i, A* M3 z   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
% p: U  q5 L/ w: R5 R( H' z   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
$ F6 T6 _* ~6 ]4 V- K   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
' j, K: ~/ t' r
& E- I2 _3 Z  q# w5 O   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
( q% d0 g/ D% p& D7 K$ t    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  f0 V" q, t, a  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
! M8 t$ K# q5 y: Z8 l! O, ?+ I