二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
1 t9 `( t6 D1 P7 i& E- e  C
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
: N) c8 v+ P8 O4 N; f; H, x6 v; |) j   对于完全平方公式：
8 E& z/ i- x8 @" Z/ f) `   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
* {5 u9 u3 ^5 v9 _& u3 f' k1 p
    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
6 p) }* I4 r8 B& Q6 d# y    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
7 C: c. g2 o. w" i! W/ q    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
" t5 x5 r1 p7 X8 n, X
2 F1 s+ S5 G5 D" [  }+ {2 e6 D  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
: M: ~+ w8 S( V; N" \
  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
# F( N( ~8 E% J& ~   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
: v9 }; }% R- ~1 g$ C& \! c   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
( [$ B/ @: V  L9 i  .
' V" {  c7 g7 ^0 X- r6 O  {2 T   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
" n8 f( N/ l% Y   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
$ ?: u1 `% [0 A' c7 Q" ~    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
) P; B" P9 N' K- S6 J      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
& Y: `8 d7 u4 S/ ?/ U( l
6 b! ?8 x  e5 L 二、连续两个整数积的分解方法
! t$ \. J6 f, ]0 x* ^   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
" N  e0 ~6 ]8 T# m" a; N     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
2 W0 B' _( g% H% \& O7 r9 S- v9 O     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
7 N' b! r1 q; F6 g  S0 {6 n' T     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
: @6 _) a4 C, X0 p+ r% [, O     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
/ L  [& b+ D6 m, B3 N      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
/ A7 D7 V. K5 F3 ^4 b& C4 \: p     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
  u- I- X2 o4 @% v) Q     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
; {$ {4 H( |" [6 I' U       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
  ~: |1 j; J2 v# z     
9 s, T; E5 c/ {: P) z, E- {     ① n=4k-1 , 2-1式得：
0 }6 A# r* J2 `" g7 X8 L     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
! r! L" G- n9 y) ?     ① n=4k+1 , 2-1式得：
% F# l) R( ^; M9 C% z4 X     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)
0 d' n6 B1 w% k. `0 _( }
- z  t) ]6 M% k9 V   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
1 J" ^4 G: F3 _% J8 H. b   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
) e0 F% l3 H$ o' I    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
: K1 _# ]- H0 u$ m  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
+ A  \! A+ y7 s. D3 v$ L. p   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
4 ?( p$ I% A7 |$ d$ J  A2 ]
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
1 D" K/ p3 ?) Y    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
5 k. y+ `0 q/ }( N5 q. E  ~% P
. _) k, g" c4 M  n3 y8 f! o    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

: x: g3 O" I- A, z: u: u- K6 h) q, ~   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
. m5 E5 g5 z0 C4 c. ?- g   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
8 z& C4 m- g1 r3 ]   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
- M3 V( L6 @9 w: A& P1 H   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
8 i$ p' T. K6 o  c; _   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
1 o' K& l4 n- K0 l/ B, |) |   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
, U* p  r: s3 O   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
+ ^( K* w0 c: w) J
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
& @, h8 m7 G- I6 a' o3 J    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
6 K/ d3 M" [' Q: R5 Y5 K* ~/ w  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
1 j! c1 v* |2 M2 B4 q. G