排队论概述

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解决的问题
排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。

它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。
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6 q: _0 E* Q9 Y6 w( k1 H排队现象 作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算，从而获得合理的解决办法。
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& Z* F' j) o6 e# l/ B排队论的组成
排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成
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. g% X% E3 l# W! |' G$ b, V排队论的特征
3 g) [3 M% I' C: [* ~" @8 S' D排队论的输入过程：
①　顾客的输入可以是有限的也可以是无限的
2 E0 w9 I1 z* s4 p+ w( U1 q8 \②　顾客的输入可以是单独的也可以是成批的
③　顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的
④　顾客的输入可以是平稳的，即输入的期望和方差是稳定的， 相反，也可以是非稳定的，即随时间的变化而改变
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排队论的排队规则：
a.损失制：所有服务台都有人，离开
" }4 a7 J$ P% F  D, T$ p8 D6 s1 sb.等待制：所有服务台都有人，进入队列等待
) S  D" D: X! U. I* cc.混合制：所有服务台都有人，但是系统具有容量限制，达到最大容量之后需要离开
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0 T5 f) O  r' [. L排队论的服务过程：
) x; o; v+ }  {% F% i其中，服务台可以分为单服务台、多服务台，多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联，串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务，并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务，服务的规则如下：

& o! t' T  l! B' j1)先到先服务FCFS
2)后到先服务LCFS
9 R1 r9 W1 o" B: l8 [, }9 T) g3)优先服务
6 u( z$ E6 g, T* ^* i% ~' B4)随机服务
. [3 {5 O; c0 I# a# @
( Y$ @6 d( P+ ^; J$ n3 i8 W4 ?1 b排队系统的运行指标
5 f! M/ ]# S7 ~/ B①　平均队长：系统中所有顾客（正在服务的和在队列中的）期望
②　平均排队长：系统中正在排队等待服务的人数的期望
③　平均逗留时间：顾客在系统中逗留的时间（包含排队时间以及服务时间）的期望
④　平均等待时间：顾客在队列中的等待时间的期望
⑤　平均忙期：服务机构连续繁忙的时间（顾客到达服务机构开始到服务机构再次空闲为止）的数学期望

  c! B6 a2 s$ w6 q# h. \. Y7 O排队系统的表示
排队系统的数学模型一般用六个大写字母表示，中间以“/”隔开，即：X/Y/Z/A/B/C，其中，X表示到达顾客流或者顾客到达时间间隔的分布，Y表示服务时间的分布，Z表示服务台的数量，A表示系统容量一般为，B表示输入顾客源的数量一般为，C表示服务规则，默认是FCFS。
0 z  O5 m/ b' n* b) `其中，表示顾客到达时间间隔以及服务时间的分布的数学符号有：

M— 指数分布
% q& F1 L) z8 z) E1 H1 i3 oD— 确定性分布
EK— k阶埃尔朗分布
G— 一般（general）服务时间的分布
* V) O4 w" P3 c3 iGI—一般独立（General independent）的时间间隔的分布
例如：M/M/1表示输入过程和服务过程均服从指数分布、服务台数量为1的排队系统
% g/ v) x7 Q; h5 Q# A7 Q  S  I# _
& A8 U5 F  t3 DM/M/S模型：
4 |8 H* f3 Z1 y" _设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有s个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

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