一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
1 A. x1 H( N4 q, o2 e" v) t9 e设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
! Z7 R0 k9 U2 J" u2 a0 d6 R' p   .
" f9 N& K& P- C/ L   .
  .
: s; @8 }* I0 Z0 ?$ a4 ~5 [  qm-1*rm≡qm (mod n)
0 x5 ~( O, ?! c. _# V# F5 y 上述等式相乘，得：
. m, u3 z* [2 I' P# j  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
) Q5 x9 l8 N  u# |5 U   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
6 K+ o8 c, a0 t4 t5 F   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
, s' o, F) W+ c1 h# k" t7 q) h     9*33≡-2  （mod 299）
, X9 ^7 x) H- h5 R     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
8 y7 H  ~6 |5 r! v, ?     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
4 P/ B6 N6 O4 m- V 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
, B: f2 c' j6 Z0 m; }  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
/ U: A! H3 F. L' O  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
7 C  l7 T, n. X  w4 C7 p" }1 c  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
# O- k5 f8 l  P. J) r3 p  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
& g1 q) a  `" w% p: }  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3