一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
, E+ N6 ?2 z; r( a$ M" u; ~  g  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
6 ^3 H$ O7 j6 V$ E! h$ E; O% A   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
1 }8 f/ w/ t7 N" c# j, s) Z8 l$ I* c 上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
8 ?6 Y" B) Z. u4 }+ R$ V8 s  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
* G. {/ V. C: Z" q3 h4 P! u9 v  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
. t+ D+ [/ V& b- ~9 M: \. ?  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
6 a/ h4 X* \! F3 G7 D; G     28*11≡9 （mod 299）
" B2 m) M* N! N7 L1 o     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
) A$ Z/ t- V# V) s  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
8 }& U/ W" v% _: o  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
' Z# z' e! B; C 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
0 M& M5 \. ^, T; Q  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  x5 `# s2 m2 `. U8 C3 |7 s  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
2 o  N. z8 h# z- Y. U  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
5 M) A7 j9 _6 [$ q