一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
, K% |5 {! G7 ^2 n3 s5 \3 Z. R设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
: ^/ F+ @8 W% L# ]* `/ u; D  q2*r3≡q3 (mod n)
, Y7 J; v, g2 m+ Y   .
6 K* B$ z, r# ~4 I2 S+ E   .
; }3 w8 `/ n% I3 `9 e9 _  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
& \' S8 w* h) i  即 a与q1*q2*...*qm互逆
8 u0 _4 m: g& w( T, N1 r& P  例 求28在299的逆
& n! f$ |/ B1 u/ K" T' b     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
% S( g7 D+ w2 y, c% _0 A     -2*-150≡1 (mod 299)
; i% g0 F8 F) {% T/ b  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
8 o# I5 k: z2 Q& f" u     28*-22≡-1 (mod 299)
3 }3 L: P4 T. u' V) [  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
- I0 a& ^- n$ f4 I- ~  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
; Y: O) f8 p4 r0 Q8 y  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
% j: g3 R( i/ h; K  b  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
) g% q1 r2 Y" S; Z4 w