一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
, n1 c  @- e5 L# P. ^   .
. q) Z0 H/ M3 u# H3 ?8 c- {. C   .
. C( G# g% Y+ ]) Q  .
6 P, `( e# k) X" _3 R, D  qm-1*rm≡qm (mod n)
# q; f; B3 @3 W5 | 上述等式相乘，得：
. p7 M5 V5 B" C, z! `/ V  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
2 [! U/ t0 K; {( c; l# g- v- m   则 qm=±1
& V; E! N7 W9 U, z' @) M& R. B  即 a与q1*q2*...*qm互逆
. m5 D6 y+ n  }& `9 G: g7 M7 K  例 求28在299的逆
  [- E) x9 U. R7 p, ?) M! q1 e     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
% q+ p2 I9 j4 ^3 ?3 f  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
- R; s3 t; z; Z' f  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
! v" T6 q- a0 G% H* R/ V  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
/ ]: W( g" e/ M: I- ~( j0 u  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
5 L2 Y1 {0 X8 _. c  V  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
- w3 _3 e! Y0 j1 o) i" n4 L; k6 I" o  5  resulte=(resulte*r)%n   
! `! ^7 W& @1 B2 q3 y  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
, a7 Y4 T0 K3 X6 R; a7 f1 E  ?  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
2 |( w0 W% A6 z3 N( c+ F% m! p0 v4 s# ?  9  goto 3