一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
" ]5 A* e8 `6 ]1 R* N$ A  a*r1≡q1 (mod n)
: {4 f8 J$ j# X. I9 O- S  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
4 t2 `% B7 U5 J+ M   .
8 V$ I' ?" C! G7 L/ w* k! ?   .
8 U0 B& G" R9 g  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
6 L% @# ^: |" @9 O2 ^8 U  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
% W$ ]8 W- e% l/ z     -2*-150≡1 (mod 299)
% D& [* {, {$ f/ ?* j+ Y  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
; J' l4 x9 z! D- t+ p  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
. }- |# j# ~! C$ u3 i; L$ D  5  resulte=(resulte*r)%n   
3 a# k% s( z  O  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
9 X3 V. H3 f9 ?6 T: J& r  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
9 Q* [  E0 I- |; l$ o: `
) x. x' z4 B7 q/ w0 I' z) N* Y0 |$ d