一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
/ l2 t7 R! R+ D+ U9 Y. t  q2*r3≡q3 (mod n)
8 ~" L  f4 X# g& D6 {- G% W4 b   .
   .
8 d/ F$ ?7 G+ q7 I$ x  .
$ E/ u5 J7 Q: Z8 p- w  qm-1*rm≡qm (mod n)
' o* A+ x6 `& `/ I 上述等式相乘，得：
8 p* v& w7 [# O& x+ y" |" k  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
# E) S6 v0 \: v& ?" c4 A7 @  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
0 G# k* f4 f7 I& X& K% i  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
* k5 Q0 |+ [/ s& I( U- x( }( I* m     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
: |' @% y. q( w$ p4 `) i# S     -2*-150≡1 (mod 299)
  i/ w! ]; C  R. m/ L9 a  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
3 Y& A$ P) ^7 x9 l' p+ U6 b; y     28*-22≡-1 (mod 299)
% x# u) ~( s/ p0 |0 d  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
) W% C" `! [7 w1 o- @, j8 ^ 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
9 Y  D( F/ u; X0 \  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
; [) N' l3 f. H+ T: L  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
# F: Y) S: X( W/ P0 P  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
( ?4 e1 |9 `  ~, P! N# Y  5  resulte=(resulte*r)%n   
. Y/ c( b, _9 c6 o7 b" |  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
# u, m2 w! R" C' c- J  9  goto 3

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