一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
1 {7 s- ?* O5 J8 J" l: Q0 |" W设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
( P+ G: f) W& m; j+ b# j: U  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
  X3 E* |# P, p6 h* [  q2*r3≡q3 (mod n)
) f7 X0 _* P8 L   .
0 ]) Z) j% L8 S" M4 H5 {4 R3 R  b/ P: P   .
9 F+ l) V. Z. c: P+ }5 H0 m  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
5 q: o" y5 n  b, x$ v6 r   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
! O3 X, u1 J6 a6 U  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
) S: O' M( O) x) p     9*33≡-2  （mod 299）
6 S- r! v- P: o2 R     -2*-150≡1 (mod 299)
' A% G: V# M5 K  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
7 a5 D- W( q. h! ^( s% m% Y3 M3 s5 Q( d  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
6 @) {7 M" M& i# [  1    输入a,n  
7 x: f- j7 @6 I  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
- b' ^% r; J" Z8 `  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
/ q  t! B* i) M/ D  9  goto 3
9 B4 v" o+ H$ u4 C: \( O7 C9 R
* m: v. h; n# a7 M. }9 j