一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
" Q" z1 l: p. P设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
" ]. @& p( L7 L# h  q1*r2≡q2 (mod n)
& z, Z$ w$ u6 I; D  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
* n% l3 c' e% j$ r+ x   .
  .
$ y, f  ]! n! L' Z  `  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
- t. y/ `5 N# ~# r  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
5 Z; `# O; L& Y0 b  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
: L: T5 t+ i' q% |" W0 b6 X6 r4 T   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
) t; r; }. X0 g9 P' `) |     28*11≡9 （mod 299）
7 d* u) @9 b! U% _5 e# q) R. M     9*33≡-2  （mod 299）
7 R6 L2 w5 ]0 ?7 C- O' Z! O     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
% b* x3 O1 e- Z: B" B, U  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
: P6 R7 N, S) j* q: _- s 下面给出其中一个算法：
  p+ z% c$ R7 W3 w, M/ s- C  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
0 L& _5 ?. ~$ }3 o; X  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  c: l" _& u! K% f  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
& R  [3 O* }2 a, k+ n. @0 B0 T  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
& Q* g" A9 G; j. b! K. ]) s( K) f  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3