一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
1 f. u. I# A1 f. I) n( {  a*r1≡q1 (mod n)
7 s+ Y6 U7 j8 s! j8 N0 u9 X  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
  r# l. G' f2 E# K! ^" W, x( C8 |   .
. }& s0 p) Y: a# X$ e: Q0 F   .
  .
) t4 K: L3 ]3 d  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
4 E* k" p+ c" S/ ]3 R( n) Q  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
: ~/ F: l1 G1 q' U; Q' t   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
. s  _4 x1 n9 w$ o+ N' c; [( c& }   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
3 v3 Z8 W; {7 ]! t1 V' Y     28*11≡9 （mod 299）
5 `5 U( Q/ Y9 O+ k  Z     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
) E. l% ?4 _' w( k# T  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
6 I; I$ X0 B- h' |( ~3 {( W  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
1 Z5 w  e5 P( s$ U. B  1    输入a,n  
- F) Q8 s: K2 D- ]( e( q  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
! R1 i( |* Y0 D  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
% i4 @. f/ E) m* @. w/ [/ I  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
% `- K" U$ Y/ Y6 T  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3

( g( w% Q& G, U% ?