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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。% G6 @+ w7 I5 O
问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。
3 }" n1 ^8 f) E+ @" R! v2 q一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:6 ~2 ^/ n& `' f& N$ x \
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
8 M$ _" H, o c3 U5 { n = size(capacity, 1);- F8 @8 a' ^ I# W' s6 S* C5 V X
" u* K; B) L E! D2 }; G0 a' f % 使用最短增广路径算法
) p$ |) g/ q. i; I) S# I+ _ [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
( Z+ r. x, u7 H( [
( E4 l" ^: ^) Q3 F0 _ % 初始化流矩阵
/ P g( `, K7 h flow = zeros(n, n);: }1 W1 [; Z" } n- r( @1 Q3 y# j
, S- I" Q, P2 T* J1 {
% 增广路径循环0 Y: F! Z) I3 q: ]( h6 C6 A
while ~isempty(path)0 |1 ~# ?7 N2 N4 ^! {# n
% 寻找路径上的最小剩余容量
# F7 ]- }+ z, g6 F- \! Y4 M minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));. i! W+ S* R: V
0 t% E# h2 | u2 `* _ I2 x4 ]
% 更新流矩阵和剩余容量! W% \6 b! C0 o9 h
flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
, B5 u; G* p) `$ Z/ R2 r9 ^ capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
9 O- ]3 l8 R* U6 p3 F9 v R capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
3 @6 V( u8 _4 [0 Z' ?8 g% }0 K7 n+ o2 b( }
% 重新寻找增广路径
' y4 c O- i( n [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);! R1 N2 Q% M- g6 ^3 {( {
end: W# E) o7 f& n* i' ^- [: A
+ f& ^/ i3 W3 x8 F % 计算总流量* B" H; g# G7 w. w
maxFlow = sum(flow(source, );# Q8 h9 Z) m* h5 S: L+ c' Y
end4 h6 W% V; E7 }2 A: D7 z. W
6 ?5 M% q0 S; @6 { l) D
function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)( e! U, w$ h/ n. G( w' @% K q. A9 x
n = size(capacity, 1);! {" x( c, N3 g! K( r
distance = inf(1, n); I2 J1 K% _1 B
parent = zeros(1, n);
4 L0 z$ P( U- q Q/ S distance(source) = 0;
1 e& H+ z; Z2 O* o4 d
$ _7 J, Z3 e6 A9 A2 ]5 a( d % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径5 R9 J! c9 I7 y/ b! V! V2 f
for k = 1:n-1
9 ^/ J6 \# U' G$ w4 B+ a. P1 a, H* Z for i = 1:n
; {% C8 r ^+ b" B; w for j = 1:n2 a9 e& V$ u* I- b7 f
if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
: }- V% {1 ~; Y distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
# @3 @ W) t5 M) q parent(j) = i;
9 J4 f* O3 }; N3 [' N# K end
( t5 |5 G5 x% I# J end
_) y' R2 U1 N7 K) u4 |8 U end
- F7 t- O" I. s3 a. I end/ m6 I v/ ?- _) C3 X
/ k+ Y6 S4 P' L, I1 a' Z4 K- {1 l % 通过 parent 数组构建增广路径/ s& V+ u3 \0 w: m* r
path = [];
* c- | l+ C- e s. p7 A9 ^ current = sink;
3 B$ B# b5 L7 \; D. N8 \' i while current ~= source" @! e. m3 U7 y5 ] D
path = [parent(current), path];
- Z1 H3 f% w! a, }! c6 N& a1 U current = parent(current);9 u2 K; G" d. q+ D- n
end7 e) B# @: q6 }% E6 Y! o
6 g+ y1 Q- c" k8 Y( f s4 z
if isempty(path)4 ^/ c7 ^' k& P: A2 H# T
minCost = inf;3 j6 ~4 Z& ?( ?. {* z; s
else
) \# U; V; G) c7 \. e$ c % 计算增广路径上的最小费用" T& r" h7 ?! M( }
minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
# d" o7 o' k! K* s end A/ ?* {- O6 @: M( F
end; e7 i, P; X" j. X9 g" Z7 `7 j K0 W
/ R! N! o+ `) Y2 H$ w" L/ ]2 M这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。% a- f! _# m3 V3 i" Q9 E0 q" x
, b7 T, K, g; ~& W: O" @/ O. D e
+ O' v; @# [7 R# u' k# e% [! I |
zan
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