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最小费用最大流问题

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发表于 2023-12-20 12:04 |只看该作者 |正序浏览
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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。% G6 @+ w7 I5 O
问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。
3 }" n1 ^8 f) E+ @" R! v2 q一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:6 ~2 ^/ n& `' f& N$ x  \
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
8 M$ _" H, o  c3 U5 {    n = size(capacity, 1);- F8 @8 a' ^  I# W' s6 S* C5 V  X

" u* K; B) L  E! D2 }; G0 a' f    % 使用最短增广路径算法
) p$ |) g/ q. i; I) S# I+ _    [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
( Z+ r. x, u7 H( [
( E4 l" ^: ^) Q3 F0 _    % 初始化流矩阵
/ P  g( `, K7 h    flow = zeros(n, n);: }1 W1 [; Z" }  n- r( @1 Q3 y# j
, S- I" Q, P2 T* J1 {
    % 增广路径循环0 Y: F! Z) I3 q: ]( h6 C6 A
    while ~isempty(path)0 |1 ~# ?7 N2 N4 ^! {# n
        % 寻找路径上的最小剩余容量
# F7 ]- }+ z, g6 F- \! Y4 M        minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));. i! W+ S* R: V
0 t% E# h2 |  u2 `* _  I2 x4 ]
        % 更新流矩阵和剩余容量! W% \6 b! C0 o9 h
        flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
, B5 u; G* p) `$ Z/ R2 r9 ^        capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
9 O- ]3 l8 R* U6 p3 F9 v  R        capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
3 @6 V( u8 _4 [0 Z' ?8 g% }0 K7 n+ o2 b( }
        % 重新寻找增广路径
' y4 c  O- i( n        [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);! R1 N2 Q% M- g6 ^3 {( {
    end: W# E) o7 f& n* i' ^- [: A

+ f& ^/ i3 W3 x8 F    % 计算总流量* B" H; g# G7 w. w
    maxFlow = sum(flow(source, );# Q8 h9 Z) m* h5 S: L+ c' Y
end4 h6 W% V; E7 }2 A: D7 z. W
6 ?5 M% q0 S; @6 {  l) D
function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)( e! U, w$ h/ n. G( w' @% K  q. A9 x
    n = size(capacity, 1);! {" x( c, N3 g! K( r
    distance = inf(1, n);  I2 J1 K% _1 B
    parent = zeros(1, n);
4 L0 z$ P( U- q  Q/ S    distance(source) = 0;
1 e& H+ z; Z2 O* o4 d
$ _7 J, Z3 e6 A9 A2 ]5 a( d    % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径5 R9 J! c9 I7 y/ b! V! V2 f
    for k = 1:n-1
9 ^/ J6 \# U' G$ w4 B+ a. P1 a, H* Z        for i = 1:n
; {% C8 r  ^+ b" B; w            for j = 1:n2 a9 e& V$ u* I- b7 f
                if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
: }- V% {1 ~; Y                    distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
# @3 @  W) t5 M) q                    parent(j) = i;
9 J4 f* O3 }; N3 [' N# K                end
( t5 |5 G5 x% I# J            end
  _) y' R2 U1 N7 K) u4 |8 U        end
- F7 t- O" I. s3 a. I    end/ m6 I  v/ ?- _) C3 X

/ k+ Y6 S4 P' L, I1 a' Z4 K- {1 l    % 通过 parent 数组构建增广路径/ s& V+ u3 \0 w: m* r
    path = [];
* c- |  l+ C- e  s. p7 A9 ^    current = sink;
3 B$ B# b5 L7 \; D. N8 \' i    while current ~= source" @! e. m3 U7 y5 ]  D
        path = [parent(current), path];
- Z1 H3 f% w! a, }! c6 N& a1 U        current = parent(current);9 u2 K; G" d. q+ D- n
    end7 e) B# @: q6 }% E6 Y! o
6 g+ y1 Q- c" k8 Y( f  s4 z
    if isempty(path)4 ^/ c7 ^' k& P: A2 H# T
        minCost = inf;3 j6 ~4 Z& ?( ?. {* z; s
    else
) \# U; V; G) c7 \. e$ c        % 计算增广路径上的最小费用" T& r" h7 ?! M( }
        minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
# d" o7 o' k! K* s    end  A/ ?* {- O6 @: M( F
end; e7 i, P; X" j. X9 g" Z7 `7 j  K0 W

/ R! N! o+ `) Y2 H$ w" L/ ]2 M这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。% a- f! _# m3 V3 i" Q9 E0 q" x
, b7 T, K, g; ~& W: O" @/ O. D  e

+ O' v; @# [7 R# u' k# e% [! I

最小费用最大流.rar

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