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最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展,旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流,使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景,例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。
8 |7 h) n$ G% |% b6 c问题可以形式化为一个带权有向图,其中每条边上有一个容量表示最大流量,还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径,使得流量最大化的同时总费用最小。3 p" `1 b8 K* o% ]0 J) A
一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法,其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例,演示了最小费用最大流问题的解决:
4 T, v3 J) |4 d# j) xfunction [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
- ` F! |# n. ~; C n = size(capacity, 1);5 ~$ ]6 Y+ n$ E2 ]% _) `* D
, z4 L/ J% [2 ?; I- {4 o % 使用最短增广路径算法
7 S1 T2 D: z' I; ]9 ]+ B [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
$ M, t/ h* \. P' D: i) r; ?* N( @! P7 H4 D5 d
% 初始化流矩阵7 b- a6 V) g% {2 e
flow = zeros(n, n);
3 C/ L( r( I& \# b. W/ b, c* j+ k! l
^. q& d$ u w; m s% L % 增广路径循环9 Y$ X+ X, z, B+ G5 o
while ~isempty(path)& |/ |2 m4 g i; E$ I7 N
% 寻找路径上的最小剩余容量2 `' s/ y! E! x! y+ v
minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));
, Y# H$ i5 ?, ?
0 l0 L8 S' p. t: O0 B0 o2 t % 更新流矩阵和剩余容量7 V- g0 r5 t/ N4 {
flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
3 j) a3 J; }' n( x capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;) c! o: F, J* O2 b1 d/ u( G
capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;3 F7 n+ i1 f9 r/ P" ?* x+ d' ^3 q) d
* W; B- |; C H
% 重新寻找增广路径( H" Y$ N1 i( N0 D+ y4 r: C+ N* S
[path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);$ V" _7 s* T3 s0 M
end( J, z0 S6 m+ w) K- Q& X: m7 i
/ W( A+ q3 b/ c# N/ D' G
% 计算总流量
+ B, U8 T. ~1 _- W+ A maxFlow = sum(flow(source, );
4 r" B1 C! m9 ?" qend
, v, m: v$ \5 m% S, ?' k( @( K9 Q* ]! v: w
function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)
7 c+ Y9 s3 P. q. i: n; U0 o n = size(capacity, 1);+ p Q% u2 r+ f9 x4 e
distance = inf(1, n);
* S2 _( C* \" J parent = zeros(1, n);+ N% t' M x7 ?, i2 e. p
distance(source) = 0;
3 C( w$ B7 i' k1 J# r% h# B
_5 ?9 r% p$ U* t % 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径9 @1 |# N) i$ q0 ~3 d% l
for k = 1:n-1) S) N- I( k# w
for i = 1:n8 D& }( b8 B# E! J/ i
for j = 1:n
' S6 P8 \! L3 E9 @. C+ z if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
7 W$ `1 k6 O$ s8 ]# v distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
8 z8 m) H' X, H+ g: A/ k9 X5 a0 ` parent(j) = i;
- @ b5 v! Y1 K, a: e! e q end
" J& i* {; @0 g5 [ end- z. t* z; b: F0 \" g7 l$ S& C
end
5 q7 @& M9 A& p/ g' U! D/ q' p" x end
; \! {: G3 N C# T0 [' b0 A; S, Y; t
% 通过 parent 数组构建增广路径) ] ^0 l. b2 V0 p8 k
path = [];7 \; L! w" m; Y8 _
current = sink;# C0 H$ K+ ]; _' A
while current ~= source/ C0 V7 \2 t! u
path = [parent(current), path];) D( m9 T; a$ ]! _6 K* g
current = parent(current);) D6 f0 Z: ]# r2 o, j
end2 i }( L& ] E
3 P) _9 l+ x" W; D; S
if isempty(path)8 U+ @9 W3 n+ q- w
minCost = inf;
" [* P, C8 P6 w8 y% @ else
: W2 L% R8 L/ g8 e5 ^ % 计算增广路径上的最小费用+ {. V) y/ y% a4 }3 i! k
minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
6 P6 x5 O0 Z6 b9 k2 t end( O$ X {; Y; L( [
end- `* o0 Z3 \. d, C- M
- r# o; n; S: P% F这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径,然后通过最小费用的边不断更新路径,直到找不到增广路径为止。请注意,这只是一个简单的示例,实际上,网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法,如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。2 [9 u- g) N& ]
2 J- z# J' ]8 ^& R2 s5 X; `
3 Q' ^/ A* [7 S6 S' ~
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zan
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