自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
0 K+ }0 O- e6 m& G5 {函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
" d1 r. v8 F# T- M函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
  x+ P2 z8 g! T4 v3.将步长 h 更新为 h/2。
$ ~" `* d& m# g1 h, Q, `3 w4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
7 v, Y; P+ t+ a" X2 l5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

* D' y# A5 m  A$ F$ @8 I/ Y这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   , y9 `1 s# [1 E0 e1 w1 }
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) ! a& ?: b- ]+ C# N3 ~- s
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用6 o, L$ O- [2 v/ L) y% b
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用. k& |$ k$ H% M8 m; O
   
5. ( k& `3 T( B6 s; }; n6 }
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   ) c1 s6 d! F* s; x4 X1 e
7. k1=f(x1,y1);% b. h8 Q( o& B3 V# t9 |
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   ) J* w/ u2 v8 d\" J0 ^4 i
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   - Y3 s+ c2 c9 q. {3 [% @6 P
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    % r2 u$ {* x% k. O\" G; j- c
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    / s- C. f, B5 s; v' U4 Q# {
12. 
    + H, x$ h% x4 U' k
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    + m' v# S8 R\" d# G\" J! N
14. h=h/2;
    3 O8 m* E& z& F- r6 n4 [
15. 
    ) i, _' K) {/ O* A8 ^\" `; r( F
16. for i=1:2
    & x\" S# }% H6 c4 j& p* Q3 k, c8 U  P
17. k1=f(u1,v1);5 @5 l2 k$ Y( r% h7 w) M: P) B
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);, q$ x5 h  J\" z) K8 h' V) R
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    7 n# J( a. U% M3 T- C
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);% T/ U% {6 ~; \, O( D\" L. q
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;: O4 r/ }2 T. f( q8 A+ ], f+ d$ w4 l
    
22. u2=u1+h;
    & R. k2 I3 U* p3 o- V, f# ]\" V
23. u1=u2;
    ( j# Y! T1 M2 V3 b5 ~- U
24. v1=v2;. N3 u$ f* I1 s. D9 O
    
25. end1 r3 w8 B! D/ F9 C6 ^, V
    
26. 4 C1 R. Y+ k( Z4 Q' [. H# I
    
27. err=abs(y2-v2): b6 P5 L' t7 |; e/ I. [
    
28. 2 m/ x# @5 x# F$ ~
    

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