自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
8 h; _/ [  V+ I4 \! x函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
  d2 h: Q6 V' Z4 t; ^( F( [
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
5 L" e2 @" p( J  B- J- r+ \, L5 ]2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
5 |. r. _+ d0 h, l% a, t3.将步长 h 更新为 h/2。
6 y4 f( I  `  H8 u' L* r4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
/ U  B8 y2 e" t3 x6 A& E1 r- o5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
& l# Q3 ?* F( h
: b/ g4 b, G0 |这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应) J4 m5 T  Q% j; v5 k
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) $ E) o2 e% M1 ]& Y& {
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   - i) z+ L0 O4 D\" b9 ^
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   9 r0 i) ]+ ~- Y+ n1 Y( h; L# G- u
5. 4 B; b2 ]5 p. @7 A: d3 }
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   7 I8 ~& {  R% w. b5 q0 z
7. k1=f(x1,y1);
   , q9 s6 n9 C- T/ L& ^5 W2 j
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   * b; Y, \6 Q8 i1 B. V7 I- l
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);4 F% Y$ x; w/ T9 u* A% Y\" A
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);6 g: D7 Z) _4 W1 e+ B7 f; G! Z
    
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    , g1 z$ N* X9 i3 a8 ?* |7 P- g
12. % s4 E8 S; a) U; ^0 R
    
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    0 L! P6 |1 T/ h* U1 n
14. h=h/2;
    : |) _* A) Y5 h
15. 
      R! B. z# m; o  l
16. for i=1:2
    & D9 d9 H9 ^- [! ~9 E
17. k1=f(u1,v1);  Y4 u1 `, n* f, V) d6 k# Q9 L* ~\" |7 }
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);* a8 N  q5 J& v
    
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);8 E& k. L$ @  N. j& T9 W; m
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);! D) r' T  g3 @) o8 m0 z
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    / F3 Q$ V% u1 ~/ |5 F
22. u2=u1+h;
    + I+ T2 [/ o5 B# d, Q) E
23. u1=u2;+ G# [) d  z4 J2 T5 [
    
24. v1=v2;
    : G/ m5 r2 `\" m
25. end& [& N: @$ U  q* q
    
26. 
      q- J\" f$ t; o/ [2 o4 v' H: x
27. err=abs(y2-v2)
    ! x7 d% I5 c\" u. x. f: [5 c
28. 6 l/ X+ A+ y# s- l
    

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