自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
3 T5 l( H; U. l! k; e函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
0 Q! y' u7 p) u8 K3 T2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
3 h; Z" A" s2 B. x4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
* a  {* E7 p. X0 }& v5 ^  f& A6 b
* R" b* N8 F1 l1 I" _这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   0 W  Q) a* _4 z' n2 ^) x
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   2 U1 F' X: J; h/ y9 n  b
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   8 ]  ]% h. q3 i; S* B% H
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   7 C( {( B* i8 Y, |5 p; s* s
5. 4 b% S/ i0 w0 u: z\" r* Z
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   \" \5 t\" ^3 f7 J) U+ |
7. k1=f(x1,y1);& ~1 _3 B3 k2 @6 Z4 ~8 C, T) z- y\" Q
   
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
   4 _: G( }$ K* N+ O  g: O
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   - g5 G* H8 r# ]6 ]
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    7 o3 I& f! U& X4 u9 h
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    \" D* T' B. D\" m1 B, T( q
12. 
    , y( k. Q1 O5 U
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    \" E  `\" l0 p9 S; u9 w% [6 S0 k
14. h=h/2;
    6 p! `% ^; o$ v4 U5 @  A) x
15. 
    $ }$ Y7 U' T$ w$ j  [9 d
16. for i=1:27 Y& o9 O, f/ G& J9 K
    
17. k1=f(u1,v1);+ r, n; v* Z. L6 n\" t
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    & G8 g: A% ~% _4 u3 u' \
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    % @8 z7 k; C9 c
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    . P, z1 K2 U4 f0 f% \1 p
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    * X1 y\" B, ^; S! T! E
22. u2=u1+h;0 P( s3 K7 L! G' T# d) V
    
23. u1=u2;1 m. D7 f7 x$ Y5 e# b
    
24. v1=v2;
    & X1 b! {( K# P- y  L3 d: M  B! @
25. end7 _0 q9 g/ a/ _
    
26. 
    5 k$ D2 Q* R9 Q8 x
27. err=abs(y2-v2)
    ( s- u) e4 M! [5 ?
28. 
    , Z6 i9 B! D9 _& r0 y- d% i

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