自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
1 H% }1 a, W0 S: u0 A  {函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：

5 T1 R; T- B3 a# y7 Q/ B2 {- m1 |1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
2 {# b: \; o5 V5 T  ]8 q' J4 I5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。

: P. t% @4 b* H. q5 Z2 c这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应( x4 `7 g6 `9 E& Q5 J! D7 k
   
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
   4 g1 H% J( g0 ]! p2 J
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用. h! X9 F- a, X/ I0 X, x
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   # }: g- [# a; t) @, J! S
5. 
   3 t+ J: D! }4 E8 C# Q
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解- k: d\" `+ d+ ^1 L& S+ [. w
   
7. k1=f(x1,y1);
   2 w- q+ l$ M4 Y* o
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);2 q6 L- ]- v: Y% w4 k
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);6 x7 N5 a$ C. `. s  d/ A, S
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    % ]4 w4 h; U  e! K. R5 D4 A
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;\" I/ f8 Q- l- ^
    
12. 
    ! O9 T\" v. f/ H$ x
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    7 m\" h$ u# ^* P, @& I/ J8 ?; x
14. h=h/2;
    \" V\" U. z7 q3 m\" b4 D
15. 
    ' a) r5 m# W5 {4 f
16. for i=1:29 A2 F: W) n6 r: _; e; w! ?\" p
    
17. k1=f(u1,v1);
    1 r1 T$ _8 x9 D6 S/ O! t
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    . N' n# N  ]0 N
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);& T: t# `+ Z% c  C5 ~9 T0 S
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);  W$ U( i  q) \+ z( W- q9 {: D' ?
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    / b! d8 H8 f7 D6 t. M$ N; R( e6 Q
22. u2=u1+h;
    9 Z9 }0 M2 L& _+ y8 T) ~& Q
23. u1=u2;& W# Q/ S- B3 t: ]4 u
    
24. v1=v2;
    1 }7 ^, R' r$ l- {- P3 H4 I# }# h! @
25. end2 m4 H2 G  w) f+ e5 o4 a6 T) G+ e
    
26. 2 t4 F, `5 a1 l5 I\" F3 y# M
    
27. err=abs(y2-v2)$ V- q# D5 x( ]8 m; E3 Z$ D4 U
    
28. 
    ; Q( r2 s( l8 h+ H4 t

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