自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
9 Y) ]  o$ D/ [7 w0 f4 p1 @& p3 D9 d函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
9 C" c! a  |0 p/ \' P2 }- Q3 p函数的主要步骤如下：
/ h' S; d! z/ u2 Q' |4 I2 D
. J+ d5 k, s* ^/ g% q/ j9 L5 }1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
; ]) w/ Z" `! u6 J2 r+ u5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
5 G0 `6 K- y+ O* n  M$ _
" \: _+ c4 h/ J0 u7 X这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   * o) B, f- c8 ~
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) 7 U2 _4 U/ h1 g( d
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
   7 e0 k1 y\" f& j
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   ) ?8 C* g  c5 n& e
5. 0 K9 m* V7 Q6 x3 @
   
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   8 a3 ^) T* j\" O
7. k1=f(x1,y1);
   3 N8 l1 e9 J- k9 l- E+ }* ?
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);: W4 l' `+ f% a0 D, h\" B3 J
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
   & R. B( p& T1 J
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    1 ]  v6 k$ \2 X9 u3 `/ R3 G
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    ; O2 V\" G! d9 i
12. 
    ! D  w8 Y3 }2 j* e$ u6 q9 }
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    : U) R2 b( G  O. U1 D7 J/ p3 f7 s5 \8 M
14. h=h/2;
    0 ^: k- j( [! ~
15. ' ?6 }6 L/ I  M  L# |\" @. k
    
16. for i=1:2* o( p! `: ]7 A$ ]
    
17. k1=f(u1,v1);
    / @( Z) W1 o3 i+ e\" B1 m' `\" C% x3 w: g
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    / h$ |( V9 {& t( P
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    7 Q) F$ m, V9 ]) b) O+ P$ H; |; H
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);) q6 [  D) ?+ l0 b
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;5 Y; _7 Y9 Z3 ]0 z9 N0 l$ |
    
22. u2=u1+h;
    ' c5 ~& u: b. k5 V3 b3 P2 Z5 v$ Q
23. u1=u2;
    9 m- X+ T- C$ Y8 ^' K- i- {
24. v1=v2;
    3 m3 U, X( P$ r\" ]' n- t
25. end
    6 ^, s9 r! o9 ^# f( b
26. 
    ; w1 }. U1 \6 X2 C% ]9 ]0 B) v
27. err=abs(y2-v2)6 v0 A+ |- w4 u; M' o' n
    
28. 
    ) \# s' V3 B8 U, w6 h

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, p- ~- x/ V6 J) B2 w' g