自适应步长的龙格库塔算法

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这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
函数的主要步骤如下：
  S: [4 v$ m) J7 p
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
3.将步长 h 更新为 h/2。
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
8 N  Z$ g& e6 X, ?, I: G5 m5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
5 u" `' n) Z' P1 d+ S# w
, B: F1 \$ |1 d/ O  L, \/ I( p  }这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。

1. %half.m 该函数用来调整自适应
   4 e) P* T1 y2 c' Q
2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) / G; N0 Y2 S, H  k3 \/ P1 _( S
   
3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用. {) _+ ?\" C* D! i
   
4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
   - l% ~7 F( [) _! L) [, |0 _  y: l
5. 
   ! l5 T( Q- x% W/ w) t' N
6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
   6 h- K7 x! e6 S% h
7. k1=f(x1,y1);
   3 V% ~1 X2 l/ [9 B, a! g. q
8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);+ b7 e7 i\" X( K9 o' a# o
   
9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);5 ]. W/ K) m. A8 @9 g9 ~8 @
   
10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);
    % t4 L3 Q  Q6 G' `/ ?
11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;9 B, p8 ^+ x$ U
    
12. 
    ( g; ?' Y& }( J6 F6 q+ Y
13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解/ w7 q: u# M( k5 f
    
14. h=h/2;
    / m4 Z+ g5 h* a9 ^' I' T
15. \" \% Y5 A1 k% }2 J+ r; l
    
16. for i=1:2
    1 I\" V\" n8 [) ^/ x0 C
17. k1=f(u1,v1);; M8 C+ X  t0 B3 |2 c8 Q
    
18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
    ( X- L9 T$ j\" I$ n* i# o
19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);8 \/ E' j. E1 l/ m' S' b( D7 C! g
    
20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);, S7 v9 W; u% j6 y
    
21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    $ R  H* f- A' |( h1 p5 |2 x
22. u2=u1+h;
    8 V  X0 Z) I' r  {7 s4 L9 g
23. u1=u2;
    + a* \, f4 T% |# ^# w
24. v1=v2;
    & C# y( ~/ W$ p# S( K% ~
25. end! P( M+ {: ~* I
    
26. + Z6 a& ~' g! k. j  p) u
    
27. err=abs(y2-v2)- c' \5 {& k+ |+ ^
    
28. 
    / n0 w& w2 c\" _  ?

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& c+ n* N3 C7 j: q