matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
. }: Y* Z3 _1 Q2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
, j  z+ f1 ~# o, E' x4 |" |5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
1 E9 |% f6 Y  T8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
) ?% G- V3 S; l9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
7 h/ _7 N1 W& J) x9 w0 u, e' N10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   : @9 M$ ?4 I) l; y/ [$ r1 f
2. b=[2,-1,-1,2]';& z* a& q4 m; |
   
3. n=length(b);
   9 M# L! f: X8 v; G- j  z$ M) _) [
4. w=10;
   # W( F; |+ i5 A0 w
5. D=diag(diag(A));# I4 z6 S; U- r# N3 b9 o4 L
   
6. CL=-triu(A,1);
   % e% ~% L. g, ?' ]7 D( S2 O) N4 b
7. CLZ=CL';
   5 ^, {/ b; d1 }8 P
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));% a( x7 p' j1 n4 D. C; @
   
9. M=L*L';/ E/ Y1 s! A9 R
   
10. C=inv(D)*CL;
    - C+ `0 b4 r8 g
11. u=[2,3,4,5]';& ?3 w\" u\" Z* Q4 M/ t2 {- W# \
    
12. g=inv(L)*b;$ G# C, Z; T0 _
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ; a7 X6 C/ @\" z; U  \
14. v=L'*u;
    2 S$ P- U; ~* q3 ^( i* ?
15. rw=g-B*v;  {: }4 i/ P2 C* h
    
16. r=L*rw;
    ' ?% d+ |( J) g7 h$ d
17. p=inv(M)*r;' ]\" }% L  F: V( p7 }' |
    
18. z=p;: b% i0 r  c8 G0 S) V0 v' ^' i
    
19. q=A*p;
    % a/ l\" n. P; V- f! d! O6 T; ]
20. for i=1:50
    - v0 z9 x* r* n2 h! p
21.     af=r'*z/(p'*q);7 q* S\" ^# f) X6 J( D5 s9 U  d
    
22.     u=u+af*p\" h$ t; l, |1 A4 z4 {
    
23.     r1=r-af*q;; ^# C& q+ i) `' C2 L6 t% E
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);9 B9 m4 F+ o% N+ E6 v5 m6 [1 H
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    . Y% g6 X\" ?7 Z. ?
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);. {, m% ^4 u, ~0 H; [\" D' y2 _3 w! e
    
27.     p=z1+bt*p;  g3 @* ^4 U- t1 [5 p$ N$ \
    
28.     q=A*p;; X\" C% }1 J; k0 T; L- I
    
29. end+ c/ U* e4 E4 `( K! Z) f
    
30.   % Boundary condition.4 v2 U5 l1 Q4 ~% `! E
    
31. % zw(:,1) = 0;' o# u& U. J6 J' }* I* y
    
32.   %zw(:,n) = 0;2 p\" B& }* b( y/ g  `: I
    
33.   %z(:,1) = 0;2 c  F2 }8 m* n! @4 O& F
    
34.   %z(:,n) = 0;
      E: g; ]0 a9 j4 W, B. t* |6 ~
35.   %for i=2:104 E3 O' s/ j1 Z8 E# Q7 R\" ^) S
    
36.    %   for j=2:10
    9 V8 e6 C  W3 x0 j1 r2 I  N
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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