matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
  s, `% N$ x( E( O1 X" Q5 u
9 s3 p" M9 H: j1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
, j/ u, U$ z5 g) X3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
2 f& t. M- V  H! Y  t$ ^9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
+ X  S0 I( S% C$ ?9 n11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];7 f- ?1 M$ k8 d
   
2. b=[2,-1,-1,2]';8 t# ^' c9 Y. T; Y
   
3. n=length(b);
   # R# O/ `, |3 r
4. w=10;# m% m3 }0 D. X8 l* j; \( j+ \: F% K
   
5. D=diag(diag(A));4 K2 e! \$ V/ c$ d) F. J
   
6. CL=-triu(A,1);
   ( Q1 T3 _# Z- X7 z
7. CLZ=CL';
   ! l, b+ a. e% E. Y; L. U
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   3 Y! H( Z$ ]2 l; I5 V6 O
9. M=L*L';5 `# Z. [% B+ D- p& r
   
10. C=inv(D)*CL;' s' d0 ]2 c9 \\" s7 v
    
11. u=[2,3,4,5]';
    ( H/ t\" Y9 s) i! o9 S
12. g=inv(L)*b;
    0 B0 M) _! H. s+ w, z$ _
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ( }9 j! ^\" {6 `4 M' c
14. v=L'*u;# I/ a4 v' B+ s( P
    
15. rw=g-B*v;
    ! Y/ E\" R! v3 c) Z. b
16. r=L*rw;& K( i1 n9 ~2 [
    
17. p=inv(M)*r;0 E* H0 w5 K' i, {: {4 {2 p2 \9 v4 L
    
18. z=p;
      v& k\" |- Z% u/ e$ x0 n
19. q=A*p;8 s) g9 g. v6 B8 q' y4 k
    
20. for i=1:50$ J* r  a\" o4 [\" M0 g
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    % U! h- p+ M+ }
22.     u=u+af*p1 r+ i& c* s5 V+ O' Y1 l8 J' `% G& O
    
23.     r1=r-af*q;/ g6 N0 ^/ ]\" q/ A
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    ! s- i( ^! D: A, s
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ! w2 [' P3 T1 w8 U% m
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);1 a6 F5 X- N( E. b/ H
    
27.     p=z1+bt*p;% r  R# a3 X! F1 o* G/ L
    
28.     q=A*p;
    2 `1 q$ K- I* r3 ?6 [  B
29. end
    , d3 o$ c* V5 @0 W$ T
30.   % Boundary condition.
    : v! h6 t  K; m1 b) V
31. % zw(:,1) = 0;2 B0 e) _' d8 n
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    - L2 K4 A- z8 F5 f' y1 _
33.   %z(:,1) = 0;2 o' \5 F& ]) p9 E' y3 s
    
34.   %z(:,n) = 0;& V2 c6 ?# W! z' v1 d
    
35.   %for i=2:10
      y, ~( W- t+ ~$ s3 w( u1 _! E- k
36.    %   for j=2:10( ^) Q& T% M$ J6 o, h
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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# l! }) {- }0 s6 p