matlab 实现共轭梯度法

2744557306

这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：

0 b7 [$ {  w) x. d1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
$ w; k2 g' V: _3 m0 a8 t2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
0 a! s% V/ P' V9 H2 h. {) x6 ^% O5 U& s9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];\" j$ Z9 P: Z; X# i
   
2. b=[2,-1,-1,2]';$ }$ x5 Q: `2 V) H( k+ w4 u
   
3. n=length(b);
   4 I  W5 x( }4 A4 R& R2 T
4. w=10;
   / u9 a8 t8 e1 p; n2 c, W* B
5. D=diag(diag(A));
     H\" j# V; x3 T& |; [: w$ D5 k9 n
6. CL=-triu(A,1);
   # n  @\" O4 e7 A9 N
7. CLZ=CL';/ K: }+ [) S% Q6 Y! J4 e
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   ( ?/ w\" Q2 [9 w9 o* c$ a8 M& f
9. M=L*L';
   4 X6 @( A; v0 h/ K0 A$ ?
10. C=inv(D)*CL;9 Z( p6 X. m% e
    
11. u=[2,3,4,5]';$ x# ^9 c0 {, j* h0 Y$ {; L
    
12. g=inv(L)*b;7 ~: q6 s/ W( F3 o* Y7 N
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    \" P: a7 q6 V3 p- V: P
14. v=L'*u;
      c8 c$ M/ _4 Y. u4 Q: x
15. rw=g-B*v;
    7 l# t2 d( ~/ ^
16. r=L*rw;6 l: O2 M8 r1 X
    
17. p=inv(M)*r;
    3 r8 m; s- X7 o
18. z=p;
    / A1 F' R/ ~4 O\" o6 b
19. q=A*p;7 G\" j0 x8 N8 Y- ~
    
20. for i=1:50
    + h: w\" W! v( O  H. ~; K8 I+ w
21.     af=r'*z/(p'*q);# w9 ^1 {; H0 X8 J
    
22.     u=u+af*p
    2 M' D; \- W: |5 R7 U/ w( S
23.     r1=r-af*q;$ r+ [9 |; H5 h\" n/ a! @; n6 x
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    ) e7 `0 @2 U' a1 {  R1 L+ O
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
      |8 `  r' R: V7 j
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);& \\" z4 p' ^5 \6 Y2 \
    
27.     p=z1+bt*p;
    0 q  {0 H2 s7 U2 H% _
28.     q=A*p;
    % W! H1 u* E7 J. r
29. end, H, ?% K3 b' k
    
30.   % Boundary condition.
    - ]# V# Q, S* [7 ?# J% A& B
31. % zw(:,1) = 0;
    ' n5 ^\" K$ P: D
32.   %zw(:,n) = 0;4 R$ {& M, {: b- X, b3 {1 j/ d+ g+ s! D
    
33.   %z(:,1) = 0;7 n- Y7 D. y+ d4 [' \& b# o
    
34.   %z(:,n) = 0;
    ; E$ f7 E4 ^- ^/ B, Y, [1 v
35.   %for i=2:103 H5 s. N6 g$ G- T' Q
    
36.    %   for j=2:10  V2 @) x5 ], ^
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

6 c2 f) ]8 \6 F* j9 g$ j5 a* [
: C- `5 i6 o! |" O4 Q! K