matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
6 }$ _; s5 c* m1 C8 A6 c以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
5 Q( b# s9 Q$ a- [. H4 J/ g4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
  P8 r8 I% p6 M6 [0 |) s4 N5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
% u" i( P/ R2 C$ s% Q/ m8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
* Z# h5 s# m' l) p9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
0 V, n+ `9 V0 |3 C/ d! s7 W5 l5 v$ ~10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   8 U+ D) F% H4 W# L( `% v' V: Z+ N
2. b=[2,-1,-1,2]';0 ]1 f# L/ _9 j1 N4 A9 O9 X
   
3. n=length(b);
   6 m# E$ J' v9 w. [7 T) H8 p% \4 n6 S
4. w=10;. {# P5 D7 b# F* V! j
   
5. D=diag(diag(A));
   ( m7 q0 m\" v& {/ {+ Z% D( Z3 a
6. CL=-triu(A,1);5 t6 B/ Z9 O' i+ y& p$ b
   
7. CLZ=CL';
   ! y+ Q5 ?* f7 i: z2 Y3 a) H
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));' c/ e0 x\" `/ |; x
   
9. M=L*L';. B& [; u' R4 T1 i\" d
   
10. C=inv(D)*CL;3 G+ s# m; y$ S2 f! k4 B( k
    
11. u=[2,3,4,5]';& {' H3 L& ]' b7 }\" m9 \3 V
    
12. g=inv(L)*b;
    - ?9 P; I\" X' ]7 }5 z
13. B=inv(L)*A*inv(L)';- |! m# @! r6 X( Y+ B& H9 a! h' K
    
14. v=L'*u;: X5 u/ U2 t5 D' L
    
15. rw=g-B*v;- ?) K8 |0 I- G7 i: ]
    
16. r=L*rw;
    * l- f4 s' [- T0 Z! Q: k
17. p=inv(M)*r;
    $ {! l. h  X# ]7 E' w; J9 q( l1 M
18. z=p;
    $ A. [. f7 v9 B! _1 A
19. q=A*p;* _; t4 S* f& m4 o8 f
    
20. for i=1:50\" g. L6 j8 M0 }  i7 Q' Z
    
21.     af=r'*z/(p'*q);
    1 U/ d# @) r9 r
22.     u=u+af*p
    5 R+ B; o0 ?. d& T# q$ g
23.     r1=r-af*q;7 a% ]7 B8 G7 E1 z/ b
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);4 b3 G' l* P  \  f
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;: h: A6 w  n8 q\" h2 n0 V  b: ^
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);\" d  a4 X+ o9 J: c
    
27.     p=z1+bt*p;0 t4 \% Y4 N3 a9 C/ z
    
28.     q=A*p;
    ' @( O& N0 f# a* R  ]# R
29. end% T3 Q0 }6 @1 M% ^; h! j
    
30.   % Boundary condition.
    0 Y  ?' V1 y* O1 N+ b. l
31. % zw(:,1) = 0;
    * H; L9 ^3 ?6 ^' ^% C( o\" ?
32.   %zw(:,n) = 0;
    * S\" Y. }\" c. M% u! T  z
33.   %z(:,1) = 0;\" y' ?; r\" E3 V9 J- k
    
34.   %z(:,n) = 0;& [$ v; M  h& B9 Z* c; b
    
35.   %for i=2:10& w\" D\" C# G' O9 T- X' E
    
36.    %   for j=2:10
    - P, [1 G& p) T) k; H# o4 A$ N7 Z7 e2 C
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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' l; ?# c8 K3 B! I: \+ v
1 N% @4 \( y+ @( I0 W( P