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显示差分法解决热传导方程

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发表于 2023-12-31 16:51 |只看该作者 |正序浏览
|招呼Ta 关注Ta
这段代码使用了显式差分法来解决热传导方程,然后与精确解进行比较。让我来解释一下:, Y6 e4 d5 R$ A; M- y  Y" G
& H: h, o  B9 L
1.初始化:
; L/ s9 v" o" M2 z2 }6 k0 J/ h# M6 {9 ]1 r( A1 O
   a = 0;
# H) ^. u  d8 Z: t, }5 s7 [   b = 1;( m; u! x  J- n% _  r
   m = 10; % 空间划分0 g5 E' A* N+ c" V' W
   T = 0.5; % 最终时间
1 C. L* H$ c1 D/ |! b9 q* u# B   N = 1000; % 时间划分7 ~/ q. n( i" [; _! U
   af = 1; % 松弛因子
  o" q  T5 \$ d8 h% Y" ^$ e' ^8 {1 b   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
! P/ b4 f9 @! Y1 v# o   h = (b - a) / m;$ k3 X  s/ ^4 A- ?( J
   k = T / N;
7 T9 h$ e! f9 x. F6 M+ I1 i- X   lmd = af^2 * k / h^2; % 注意,lmd必须小于0.5,以保证差分法的稳定性
/ k$ h7 ^2 O; @4 N( j   x = linspace(a, b, m+1);
5 U) C% b% c7 C   u(1,1:N+1) = 0;. {, K% a' F/ O. h; o, |5 G, R
   u(m+1,1:N+1) = 0;2 V3 N9 S9 b& j+ w& g
& R6 J% H" R2 \. j% \3 j
在这一部分,初始化了问题的各个参数,包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。# i! f% l8 H5 o$ r

) t: c4 e, n9 F  S& q2.显式差分法求解:, S2 ?! j2 _( _& n1 H' M3 j7 O
0 G" e/ f: |) }, T1 A
   for i = 2:m6 X, s  n$ ]) i1 G9 }* \1 h! ~: E
       u(i,1) = f(a + (i-1) * h);) c5 T% u* O" s% H7 R
   end
2 v4 F6 Y) s* v. A( I- ?; {! v3 Q8 ?
   for j = 1:N; f* E; [, h  d$ p% G1 Z6 v2 Y* m% a
       for i = 2:m
$ {! x0 C5 s; [           u(i,j+1) = (1 - 2 * lmd) * u(i,j) + lmd * (u(i+1,j) + u(i-1,j));
+ G. C$ {; J) G0 k: G$ i4 j; [       end( o5 J% h8 u) T& S  P
   end
# }; g5 Z, w# G9 f% B6 z0 S2 y( @4 l! t
这一部分使用了显式差分法来更新温度分布 u。在每个时间步长 k 中,根据已知的时间层(j)来计算下一个时间层(j+1)的温度分布。1 k7 e- h, L/ r; |5 ~

0 O3 `0 ^$ d) z4 g1 Q) b+ R& P* A3.计算精确解和误差:
# l3 K3 A, h3 {. }: x% u% t4 {) G& L8 p  F) Q& A. j) o5 f
   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);9 w( O# h0 D$ Y# \+ T
   error = abs(u(:,N+1) - true');
5 r4 Y& h+ X9 x+ W( \   re = [x', u(:,N+1), true', error];7 o. l7 A% N# @: ]" ~/ E

( P/ s$ S% |! p这里计算了精确解 true,并计算了数值解 u 与精确解之间的误差。
/ n3 }# }9 k9 q4 ]% g- ]( F7 P9 m( ~) Q
4.输出结果:
9 u, v6 M, @5 F4 s0 {2 G* [
5 ]0 }' x6 [" n7 w9 R# u   re- g% ]2 O; \! B8 F; B8 W0 z2 D: _

" l. f: ~% `& _4 n0 [" d! R最后,输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
' V8 ^/ [7 q3 v- x- t需要注意的是,在使用显式差分法时,为了稳定性,需要确保所选取的时间步长 k 和空间步长 h 满足某些稳定性条件,其中 lmd 必须小于 0.5。. }2 J7 s& Z* d% G$ V$ L) B
- G2 x% w2 X  R& x, q  J
. m3 R% y2 b4 W* T' h. Y% [6 c

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