显示差分法解决热传导方程

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发表于 2023-12-31 16:51 |只看该作者 |倒序浏览

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这段代码使用了显式差分法来解决热传导方程，然后与精确解进行比较。让我来解释一下：

1.初始化：

a = 0;
b = 1;
m = 10; % 空间划分
T = 0.5; % 最终时间
N = 1000; % 时间划分
af = 1; % 松弛因子
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
h = (b - a) / m;
k = T / N;
lmd = af^2 * k / h^2; % 注意，lmd必须小于0.5，以保证差分法的稳定性
x = linspace(a, b, m+1);
u(1,1:N+1) = 0;
u(m+1,1:N+1) = 0;

在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。

2.显式差分法求解：

for i = 2:m
   u(i,1) = f(a + (i-1) * h);
end

for j = 1:N
   for i = 2:m
         u(i,j+1) = (1 - 2 * lmd) * u(i,j) + lmd * (u(i+1,j) + u(i-1,j));
   end
end

这一部分使用了显式差分法来更新温度分布 u。在每个时间步长 k 中，根据已知的时间层（j）来计算下一个时间层（j+1）的温度分布。

3.计算精确解和误差：

true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
error = abs(u(:,N+1) - true');
re = [x', u(:,N+1), true', error];

这里计算了精确解 true，并计算了数值解 u 与精确解之间的误差。

4.输出结果：

re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
需要注意的是，在使用显式差分法时，为了稳定性，需要确保所选取的时间步长 k 和空间步长 h 满足某些稳定性条件，其中 lmd 必须小于 0.5。