高斯消元法解线性方程组

2744557306

这段代码是用于解线性方程组的高斯消元法（Gaussian elimination）。以下是代码的主要步骤：
/ \1 o, i% \3 I; n( w  U! X9 r
2 R2 A. @% p: R' [5 C+ i1.初始化： 定义系数矩阵 a 和常数向量 b，以及一个排列矩阵 L，用于记录行的交换顺序。

4 K. k, v) E% K( y) L* }a=[1,-1,2,-1;2,-2,3,-3;1,1,1,0;1,-1,4,3]; % 系数矩阵 a
b=[-8,-20,-2,4]'; % 常数向量 b
L=[1,2,3,4]; % 排列矩阵 L
4 t  B( l3 a" b& n! K1 zn=length(b);


2.高斯消元： 通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，并相应地更新常数向量。这里使用了列主元素法，即每次选取绝对值最大的元素所在的行与当前行进行交换。

for k=1:n-1
    [p,q]=find(abs(a)==max(max(abs(a(k:n,k:n)))));
$ V- O" _: e- n4 M' a* _
    if(p~=k | q~=k)
      t=a(k,;
      a(k,=a(p,;
      a(p,=t;
      r=a(:,k);
      a(:,k)=a(:,q);
      a(:,q)=r;
      t=L(k);
5 c. b3 S& P9 T* g8 A4 _      L(k)=L(q);
      L(q)=t;
      u=b(k);
' J# C  q& k5 |      b(k)=b(p);
  P* v# j, a! B/ l. |9 z      b(p)=u;
    end
0 ?4 N7 B: U( V! _    m(k+1:n,k)=a(k+1:n,k)./a(k,k);
    a(k+1:n,k:n)=a(k+1:n,k:n)-m(k+1:n,k)*a(k,k:n);
    b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k);
6 s+ B5 _! K: ?, h  L* Eend

  X- ?4 }2 T- ]/ A% r5 G! }6 o. I
# E$ ^1 x; O0 V3.回代： 通过回代过程求解方程组。从最后一行开始，逐步计算未知数的值。
$ T8 P; C7 @" ~' r; v- ?
$ ?5 _: Q7 ~0 m- V0 q% _8 Oy(n)=b(n)/a(n,n);
for i=n-1:-1:1
! b/ {- R. r8 a    sum=0;
    for j=i+1:n
        sum=sum+a(i,j)*y(j);
/ ^! R- ^' u+ `: a& _3 a    end
    y(i)=(b(i)-sum)/a(i,i);
end
9 I1 l# P6 o9 b$ o/ G, s% _( E
* B7 e$ w2 p' e+ L9 ?0 [( p4 L
4.输出结果： 将解存储在 x 中，并输出结果。
9 H$ B4 C' G8 Y7 m
x(L(n))=y(n);
x(L(1:n-1))=y(1:n-1);
jie=x'

% m+ Y+ R# Z6 N0 n最后，解向量 jie 包含了线性方程组的解。请注意，这段代码在求解之前进行了列主元素的行交换，以提高数值稳定性。
0 i4 E, q4 f7 Z* Y( l9 j# ?: E