高斯消元法解线性方程组

2744557306

这段代码是用于解线性方程组的高斯消元法（Gaussian elimination）。以下是代码的主要步骤：

1.初始化： 定义系数矩阵 a 和常数向量 b，以及一个排列矩阵 L，用于记录行的交换顺序。
: u! K) Z# f) b6 C2 N+ y% C
a=[1,-1,2,-1;2,-2,3,-3;1,1,1,0;1,-1,4,3]; % 系数矩阵 a
b=[-8,-20,-2,4]'; % 常数向量 b
L=[1,2,3,4]; % 排列矩阵 L
n=length(b);
1 r$ M# }" \- _3 W
8 x  l2 D; e- N# p/ S. ^2 v# ?
2.高斯消元： 通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，并相应地更新常数向量。这里使用了列主元素法，即每次选取绝对值最大的元素所在的行与当前行进行交换。
6 J0 u: n6 c" c: Z5 `  z& j: C
. {- k) K/ y4 e) |) Bfor k=1:n-1
    [p,q]=find(abs(a)==max(max(abs(a(k:n,k:n)))));
3 g+ K7 h: r3 r6 V, F
( h) R; M) Y: B# w1 }3 G7 \/ o    if(p~=k | q~=k)
      t=a(k,;
      a(k,=a(p,;
, e4 ]4 D+ J" k      a(p,=t;
1 h* b5 q! v7 _* o- o( q/ O2 e  O      r=a(:,k);
      a(:,k)=a(:,q);
      a(:,q)=r;
6 U4 {* t8 ?/ O4 a, h$ A0 J      t=L(k);
! U5 W! J9 X& r. i      L(k)=L(q);
      L(q)=t;
  D+ g' _& a  f/ q      u=b(k);
4 H3 e4 D) K3 u8 p9 ~$ C1 b      b(k)=b(p);
      b(p)=u;
. d. A4 C7 `, x' `$ R    end
    m(k+1:n,k)=a(k+1:n,k)./a(k,k);
    a(k+1:n,k:n)=a(k+1:n,k:n)-m(k+1:n,k)*a(k,k:n);
    b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k);
$ s- c: w/ V# H) Y. Q2 a8 Tend

! E, s! _% G- J* Z+ m; S" y
3.回代： 通过回代过程求解方程组。从最后一行开始，逐步计算未知数的值。
- J3 r% {0 F! ?) R5 v5 c2 [
9 q7 K( T' i; d# L* Jy(n)=b(n)/a(n,n);
$ ?" k2 R1 B0 J+ }( X% a% gfor i=n-1:-1:1
    sum=0;
    for j=i+1:n
! h( |6 l' x$ C" W2 X3 m        sum=sum+a(i,j)*y(j);
    end
    y(i)=(b(i)-sum)/a(i,i);
+ E! G/ q' w5 ?3 Qend
6 t# E* a* E  y8 u, c/ I* p: f
4 F. r0 P/ o& e0 }% P
- C( P  b; b' L+ L! P# _. Y6 f4.输出结果： 将解存储在 x 中，并输出结果。

0 R$ \$ v3 S; A0 ox(L(n))=y(n);
( C: d- m* G% p* Dx(L(1:n-1))=y(1:n-1);
. W- p9 B$ v  o: T. Q% v9 Hjie=x'
# R, ?) {) H7 A7 C
( x* c7 d$ F8 }* z( D1 G最后，解向量 jie 包含了线性方程组的解。请注意，这段代码在求解之前进行了列主元素的行交换，以提高数值稳定性。
) O& m$ ]: B( I6 u* Y% i