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二维波动方程的差分解法

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发表于 2023-12-31 18:06 |只看该作者 |正序浏览
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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:# F  {; C) i% t% V# ]  |
close all;
, ]" T  B0 b, A& ~1 kclear all;
1 H* I/ h0 V! F) t7 pa = 0; b = 2; c = 0; d = 1;* B9 W1 F( k( A! I5 G
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
1 U: I; C" V5 \3 s: VITMAX = 100;
! g. A* V4 h+ }f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');4 ^- M1 a, [4 y% M$ O1 `  _
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');: c* h9 V7 i  B
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
) V, w! N! F" X- G  k0 S* K6 wh = (b - a) / n;; H- I( m5 y9 h$ R
k = (d - c) / m;* i; B2 e7 ]) {" i3 a
x = linspace(a, b, n + 1);
' J5 h4 A- T$ k6 I1 yx = x(2:n);8 F" D) I3 {# `
y = linspace(c, d, m + 1);
- V9 e  t1 t+ P1 O4 F' g; zy = y(2:m);
) T* M  u* E1 j% wu = zeros(n - 1, m - 1);2 [! t5 C# ^/ K' H: k
lmd = h^2 / k^2;
( C/ D) ?; A$ K& l" U/ Emu = 2 * (1 + lmd);
: h. ?4 p) p  v  I) ]3 k  q, b8 M8 g/ v, ~! H
for k = 1:ITMAX; U4 F- L" S9 f
    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...6 \, ^# Q+ k# s+ v
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
8 v! B' E# q: ]3 b    u(1, m - 1) = z;
1 K$ B8 P7 {# t( p: Y4 n2 H" J2 N' Y% J% G7 j6 p
    for i = 2:n - 2
  O& a. P3 o! S) o" Q        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + .... o" Y& X7 u9 L  f( R6 A' `, H
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;8 u5 K0 A0 U1 Z' e  Y
        u(i, m - 1) = z;- G4 ]  s# h: @- z& s
    end. q. O2 x: p; v
8 h/ d6 {- R0 s( i) y* ^
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...* a; U% b: p2 c5 a
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
4 n- N) M! M, Z6 o$ e# R: @    u(n - 1, m - 1) = z;) ^/ ]: g7 h9 z( Z8 ~2 P% W
% m* r0 p, M$ c: Q9 d7 w
    for j = m - 2:-1:2
9 X* Z% Q2 ?. u/ S2 `( ]' n8 b        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
! ], h$ Q' o4 `) a% [3 L* ?$ ^" B            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;+ z6 j, u5 T9 I4 m. ?8 M
        u(1, j) = z;0 w: |2 E0 z( x3 E5 j

( @( j# ]6 D+ `+ B# `8 V: g        for i = 2:n - 2
$ ~: L% S0 h, z0 Z) T% B            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ..." g6 W8 b$ ~5 m" E  i
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;9 \2 I7 H  X$ Z2 F& Y9 j( g
            u(i, j) = z;
1 {: M% M) t; t7 x3 K" d- D        end
: N  R. T4 B, n" }6 v' o) m8 m/ P) l$ d, ~
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
. r$ F8 n6 O  H& b$ Z* z            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;: C8 x) K4 ]. y% w) r7 _' r  v
        u(n - 1, j) = z;
6 H* E7 d$ z  u) o* R- H; o3 q" x! u1 F; Q    end
$ K6 [$ _0 v+ ]+ t& y8 o1 J0 A* @5 `0 B* Z
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...' U! G  ^9 ?* u/ K
        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
- s0 X1 |. W5 K8 k    u(1, 1) = z;2 W4 w9 p# x( J; B  r

# u4 p6 o/ W3 X5 \) u, c! k    for i = 2:n - 2
' A% c  Q* A/ ?  w, \        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
) t; Y* c' j1 U0 _/ d            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
, Z4 g" R! f8 c, o        u(i, 1) = z;
* F0 r8 X% K. A    end
0 H) w+ P  q6 P- M/ w" E7 p# ]3 |& `4 ^8 Q9 u* |8 m
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...+ t; B- K, l, z  E- I5 c) a( V
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;% m9 C9 X& F( p' Q
    u(n - 1, 1) = z;5 }7 S/ l2 Y$ P9 J5 L) s

4 M/ F) M- j# R; N    x';+ l3 Z) n+ n) y( m) u
    y';
/ D8 b: x$ s) U+ e# ?7 W1 j$ O    u';5 ]! f% ?% |. A& u4 `4 ?1 s
end
7 l5 n8 E) F  A8 t' x8 P5 R$ t9 |# }1 m* ]: b/ x. b. [$ Q
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。6 t8 a6 _% V$ Y" `% z! o, Y

' m7 L: i; R# g, p9 D  X  m) v% U/ S+ H/ o* j
zan
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