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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:0 D: W, t1 ^2 j5 |- g2 C8 l
close all;
/ h6 @1 C p9 l H0 jclear all;
0 r1 x: k( l# ^, j, ha = 0; b = 2; c = 0; d = 1;# u7 ^/ e# [' Z1 v; Q4 X! w/ I
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
5 n* ~5 ^& O9 {. D" `$ a3 v X8 uITMAX = 100;/ u9 S, s, q" h
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
! F3 |0 E. S7 B1 R# _$ R8 {ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
; T; W2 q$ F# Y8 M7 `3 ygc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
* L- m+ P; h/ Z1 H! ah = (b - a) / n;( T: H$ S9 i# b0 V! ~0 J0 b
k = (d - c) / m;% S/ h a! }0 F' j" b; ?
x = linspace(a, b, n + 1);" R0 X M0 n! A; _
x = x(2:n);! k1 m6 I! V! f5 o
y = linspace(c, d, m + 1);
4 K3 H+ k4 @: b0 u0 x/ E& ]y = y(2:m);% G0 o- P5 T5 u3 {* Z2 J l
u = zeros(n - 1, m - 1);- N' p" w/ Q8 K u( r0 Z+ ]" u
lmd = h^2 / k^2;0 R) x' y# N6 B3 J* A% R3 m
mu = 2 * (1 + lmd);
: P8 P( m9 B& z; j
: A9 F* N3 `% P( [# J5 qfor k = 1:ITMAX
% ~- s }; Q/ `% } v! h* @1 Y z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
5 m1 p4 n( O- J lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
, @2 S0 v1 Z* X0 D' b u(1, m - 1) = z;
- |6 M. w2 c# d3 B: W4 U/ x7 `1 W1 `. [
for i = 2:n - 2
9 p4 U) ?, U: q z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
8 m) K2 j, x5 Y* Z& `: N3 ? u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
( e" g( |* D0 d/ O* g0 _; f) y u(i, m - 1) = z;
' T( X0 }; E+ x% c end
' }, o8 _; D" N9 Q6 m4 c0 w X% E; A% O# C( T1 r
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...: Q0 L1 ?/ @+ a! I1 x
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;$ z |8 @6 c, `- S
u(n - 1, m - 1) = z;
3 v$ A( Q* K, v/ K; c$ _8 V* N, d1 s
for j = m - 2:-1:2* n- D: p; n0 S* U9 _* N1 B
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...1 A c) Q# F: [8 H. c, |
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;& J8 \& _; O# _$ |! B
u(1, j) = z;* e/ z8 t: O. N6 z6 A2 |
- Y7 ^( D8 B7 O
for i = 2:n - 28 P. r% w, ?# `. {3 X. h
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ..." z' B& ^; _$ h0 G- r6 B( d
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
4 L5 j9 D5 ~- H7 W8 P- o% V5 p u(i, j) = z;/ }: t$ d$ }" l- f
end
7 c; l+ n0 U% P1 y/ B% L! \. U. Z
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
% z3 N/ W6 \8 v5 U3 Z lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
7 ~9 b8 |0 L1 _ A0 L$ Y u(n - 1, j) = z;$ y5 N5 b' n M; R+ A4 I
end
* u. T3 |$ O9 R/ ]6 P( E4 e! V& E: {5 @
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...6 q2 ]% f0 _$ v
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
$ D% e7 f: e$ I: {. ]) q u(1, 1) = z;5 U1 s2 e' }) w5 x z8 ?
+ {1 H k' U! e5 ~ for i = 2:n - 23 U- w! m- A! D9 M4 j9 a [
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
. e$ r3 ?8 ?5 R* O( G( w! r6 ^: M u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;/ u/ ?9 B. J8 h+ k( ?$ V9 c
u(i, 1) = z;
: A8 O1 D; q2 {4 n end
+ C! r: q& ~+ Q. R8 [) ?- v. |( Z6 e# J; K
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
4 ]- a2 \: s' C' n, k u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;4 U/ f) C! y( V p) e9 i0 f( r
u(n - 1, 1) = z;
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y';
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end
7 D4 c0 w# u( m7 E# @: @$ u" o# R4 V/ B; J
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
}2 Y( t! X' l* b+ d2 ?. M @( p2 H. `6 f
# ^( ] \9 y3 a. w" V# K
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