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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:
* |, Z2 B( [" c6 C1 M* tclose all;
/ b. n% X1 x% d% ^clear all;
$ M- D# h6 Q4 j; a7 [* v& _+ L9 ea = 0; b = 2; c = 0; d = 1;4 ~! m' d% g9 i7 l' w. s! P# P) F
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
$ B1 ?5 U3 `1 B; ^" ?1 B3 HITMAX = 100;
2 k0 k: V" ^0 Uf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
* L0 _4 i$ ]0 {& R: @ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
5 [% x. d+ Z; ?- `* j' ?( U4 Sgc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');- |% w" z0 u, d: d/ p4 d% B) F, ]4 w
h = (b - a) / n;: b$ Z) U7 {% v. A H: r
k = (d - c) / m;
, [& j9 {0 T0 ~9 d, r: Q7 _; Kx = linspace(a, b, n + 1);, ^$ u9 y! T0 [! e3 Y8 Y k
x = x(2:n);/ |3 }% S9 q1 e7 j3 S& E4 l
y = linspace(c, d, m + 1);) b1 q% k5 x8 {; @) Q# k$ R: {
y = y(2:m);
( x# }7 Z( V# i& N6 w9 G6 n5 cu = zeros(n - 1, m - 1);$ C: c- y/ i& X% q: A/ ]
lmd = h^2 / k^2;
! L0 M/ S; Z/ ]* e3 smu = 2 * (1 + lmd);
9 d+ B' L) \6 v% L% m/ _5 q) {
for k = 1:ITMAX+ ?# ^: v9 Z2 m* h) ]6 {0 R
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...1 B9 S2 r. }2 o8 A; A, }" W/ Z0 T
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;* Q" e& L2 [8 f
u(1, m - 1) = z;
6 p: Y1 n2 j, J) e# @
! z* @) f+ Q+ B4 K0 i for i = 2:n - 2& ~+ ?4 G7 [ q% O
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
4 {; r, F& q9 J u+ P9 f u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;/ q7 g) ]4 f. s7 D' }
u(i, m - 1) = z;7 c4 k7 B5 J8 O" r( n% z
end1 H# o R/ G" E$ O" @
4 p4 U7 P2 m# s! t z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...5 w+ j% L8 G: `$ ?: C% }+ I" i
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
" [( P5 G! F8 A% G% G6 g+ H. r, B& x u(n - 1, m - 1) = z;' A$ s* q. W' M1 o
9 E+ l2 g, V* d0 Z. {# f
for j = m - 2:-1:2
5 y# w: t" n; I/ ^ z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
t4 u$ }& n5 z lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
5 G4 @3 Z6 q i/ j7 ? u(1, j) = z;( D; p# q1 Q6 D4 |
3 B6 O% t6 n+ r4 M" j0 \ for i = 2:n - 2! k6 j* |* d$ H# F$ }
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
' Z4 z$ S% l3 W. t; U& t* P& P u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;6 \2 T' d- \7 Z+ b
u(i, j) = z;
- ~- L+ x& H+ V' y: X. Z end
: ]8 Q0 C, u' R+ z1 [
9 |* j8 T% i" \ z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...( j$ p+ |8 ~0 ?( ], c8 h7 I
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;% j+ o: Y8 i' {- N& @
u(n - 1, j) = z;
) p% M9 R; F% L$ R% S end
1 H; f8 M( y' u1 a/ O7 j: w* ~4 n; J2 d9 |* d* Q( i
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
6 g- S+ @- g# g& @: X( W( e9 _ lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;4 ^7 e4 n0 y7 ?5 H- Z9 U
u(1, 1) = z;1 `- Y1 {) o3 u: w9 X3 R* `0 R
7 f% q7 Y, Y4 x& g' W" P( g for i = 2:n - 2* i& Q- v7 p" O& w* Q4 Z7 F L% D) U
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...1 ~$ _4 c3 {+ l7 t& t! W
u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
7 b8 b! c( B! d7 g) g1 j u(i, 1) = z;
# P- e8 }5 `! W# `& T' V end
; j+ @" O. L5 s% j9 ?6 z
1 C% B% _# c c z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...( o; b/ y7 m7 ], ^/ v; b2 D* Z
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;0 u! H& }2 f1 X# }3 I
u(n - 1, 1) = z;+ w. H$ G* E9 q u0 i
' V& K- H& f$ e: s' g: ` x';
+ x# A; d& F' |$ q( E6 f: R& ^ y';
$ s/ |4 R* ]& t" C. \; L u';" k8 Q5 P8 e0 Q7 Z; X
end
1 {0 `( E% }/ i3 ?0 O1 ]+ n/ O$ s* q* m5 {; K3 C1 h
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。% Z0 i7 r' j/ h& B+ f# o( X
; C4 O/ }1 v, [0 H
" t5 E! t% w6 V3 ~# a/ k% Q |
zan
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