二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
close all;
( z6 c2 [8 v- c9 l9 w( Jclear all;
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
ITMAX = 100;
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
* q! ]' `7 }& G* F+ t' Q! n) Qh = (b - a) / n;
k = (d - c) / m;
x = linspace(a, b, n + 1);
3 U& s7 s" ^' \, yx = x(2:n);
y = linspace(c, d, m + 1);
* L2 Q5 x5 @3 `: o( B) ~y = y(2:m);
! z9 ?) d- P" [$ R2 J( Iu = zeros(n - 1, m - 1);
7 C( {3 Q' g6 ^  _3 x" Rlmd = h^2 / k^2;
mu = 2 * (1 + lmd);
0 J: c3 v& g7 E; `; B
for k = 1:ITMAX
2 V* l. y7 W! C" Z9 q* r2 P( o    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
2 S5 _3 B- K& ~4 N* R2 O$ q        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
1 l9 e1 v' R2 W) z3 t& j    u(1, m - 1) = z;
! |0 J  v0 U6 A  d
! C6 K  I7 q% \8 t/ h    for i = 2:n - 2
        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
        u(i, m - 1) = z;
5 t$ Z+ M+ d) V  [2 S    end

% H" t8 a% n* E$ H# r5 g7 c) h    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
5 \' R; N+ {( p+ V  {! G' Q( c        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
    u(n - 1, m - 1) = z;
) J% u0 y. Q; Z5 r7 o
    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
, _; z0 x/ r8 A2 Z( c            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
        u(1, j) = z;

5 ?( r% A7 s* i, [        for i = 2:n - 2
3 m7 D, U& E' h- H$ h% I8 Y$ J* S            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
0 Z( W% v1 j8 w; ^5 h" r            u(i, j) = z;
        end
. F, n! ?$ M7 c  S* w
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
0 y, y8 R, g* m        u(n - 1, j) = z;
    end

  Y  d. |) G/ b! p( e4 G6 Z' Z    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
7 ?$ D8 ]3 t) H1 a' U9 s        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
    u(1, 1) = z;
- d3 i5 Z: f! T+ j0 J, ~4 Z' X
" L) \- o0 r" V    for i = 2:n - 2
) s/ X$ r  K: E" Z+ h        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
1 o4 l$ {" T5 k; j. |        u(i, 1) = z;
    end
9 u- e% I7 V+ p/ T5 {# G+ }
% R" ?$ A6 F( X* M/ r) H& g    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
9 ]" y: \8 [1 d1 {' j2 |    u(n - 1, 1) = z;

: n" z4 K& A) v. Z, V: ^    x';
    y';
    u';
  z* G' s/ I6 W, ~/ ?& Lend

该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
$ }* N  I" ]( W: D3 K$ X