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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:! |& I0 _1 [3 y) C
close all;
; L' E& G* d1 n" U% [9 ~clear all;
s: |! j c# s$ Ja = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
e; s$ s& W# Q* _, hn = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
# Y2 B4 |) m5 X2 y* jITMAX = 100;7 `$ Y+ F# b% r, o/ c1 X/ b6 x" l
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');* }5 G5 y0 p. M( c3 k
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');8 Y. n+ H; Q: j
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');7 s$ v2 s* i- g2 ?
h = (b - a) / n;
3 o9 h% r+ r( B9 O5 Ak = (d - c) / m;
0 \6 x# g1 |, S5 |" yx = linspace(a, b, n + 1);
+ z* B7 T- Q" A& g$ @. A5 Sx = x(2:n);! y3 ^6 ~- x) P
y = linspace(c, d, m + 1);9 B$ D. i8 h \
y = y(2:m);1 n H h$ \8 v
u = zeros(n - 1, m - 1);
* o' g1 ~8 a( ~4 y9 Mlmd = h^2 / k^2;
& g: D3 a! u9 l) {mu = 2 * (1 + lmd);
1 d1 F( F0 P$ Q: X: m8 t( [! ~0 c! X+ H) G) N0 @3 j* X
for k = 1:ITMAX
k+ k/ d7 N9 V0 m: Y z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
: t m) b# \9 j# U lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
% W/ S9 y8 L+ f! \" |' y3 \' \! E& l' o u(1, m - 1) = z;/ \' y6 a9 w2 M+ s
6 l! S9 H4 g( w; f
for i = 2:n - 2" e# a; Y. U) @3 o+ k! n
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...( Z) f6 l$ p. i O) {, S
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
% H! a9 @, u3 F( w- t. T u(i, m - 1) = z;$ o# B9 I* L0 i5 a
end3 Y1 l8 S; j3 ?3 e! M6 k5 E
! x' v9 J- F T/ t2 d% G1 V) g8 Y z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...+ h C) a; `4 w
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
& n2 |, o; A7 ]% |$ q u(n - 1, m - 1) = z;4 F0 D" g1 b( e# f. B
) @/ g7 r( M. j* t* q5 M. ~
for j = m - 2:-1:2
3 ~$ m$ p, E1 ^+ N z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
$ g i8 o! C1 G" i) J v lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu; V+ h: p, R: p: e% d1 w+ A
u(1, j) = z;8 z# u; Q" I9 T$ U0 s: W" \
9 W7 U# T$ g+ i for i = 2:n - 2
, r2 u( t5 ]# x8 B6 r" ~: X/ d z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
) Q; Q$ F0 C6 T9 u. S! T, M" ? u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
( D% p( o' N, S* L/ a# n u(i, j) = z;% w5 K; G! f: L" }0 {
end$ ^( H0 o5 h5 _$ ]
: u7 I* {$ Q' w9 t* @
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
6 R0 ]+ M& n! G lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;5 f% h& V& ]8 y2 Q7 Q0 _* v
u(n - 1, j) = z;' b' c! m! o9 R. y. P7 R6 M
end
6 k( O; w9 ?. @8 b6 E7 q9 R0 y" `9 c- K9 w
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
$ T; ?* _! Y" q lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
( k# M7 v; H, S" f u(1, 1) = z;
1 S- [+ g. T1 F( T& k' R- L
0 f- F9 W# Z5 J$ q, {( [. E$ Y8 | for i = 2:n - 2
* i5 t( k9 J g- n6 O z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
$ Y; Y0 b& r5 d. @ u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;) x* D6 B! E4 s3 @4 Q
u(i, 1) = z;. s2 V$ P H1 d2 ^
end
$ k. K+ U# a1 u: [$ c' C+ {' H# \$ \ R5 w0 _% [6 G1 x0 E4 e
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + .../ h0 I5 B/ B9 O7 R
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
2 R5 K4 A8 r; n$ _2 t* b u(n - 1, 1) = z;
# T3 J2 B5 @! s0 H5 s$ c6 X1 x6 P0 u% Y5 z3 n' s
x';
$ Z1 n. ^( x0 b3 U y';
X2 U: {7 U: a K+ D/ A u';
# k$ \. a9 A, H: N' V+ Iend. J1 t; V, g! L. e' i
* w# F5 n% N( H, z) x
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
2 h3 y& f9 j3 p3 H) y. j3 C* q
7 X# Q) E0 c+ {+ ?# [: }9 `) H: L6 z# D4 q
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zan
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