Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
" l3 i; J& u% e. ?
% G: j& Z* P5 M+ W1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
   3 g6 j+ \1 f$ W- C
2. % g# J0 ^* l: a+ Z$ I
   
3.    for i = 2:n; J' n$ V8 z( D2 ?\" ]
   
4. 
   6 R1 [# S& x0 p: ]( U3 t
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);- z8 f2 `( E& i2 m
   
6. ; P* b9 B4 C/ _# L. ~
   
7.    end* K\" [3 }- @# h
   
8. ) l0 e! B* Z; U
   
9. 
   ) }\" F8 x- j$ H9 n1 F0 l) k
10. 
    7 j& b\" o+ ?; Y
11.    for j = 2:n. N5 G6 ]# ^- U5 U; F( C
    
12. ( B9 R6 m9 A\" l% p. i* }
    
13.        sum1 = 0;2 H& u6 M2 \$ ]0 @5 p
    
14. 
    ) _0 O5 x5 K7 [$ c6 v
15.        for k = 1:j-1\" O; R, [7 s4 z; }2 h
    
16. % m  x' t* i  \3 w# w6 o
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    & ~  ]; j$ Z* A3 |
18. 4 t8 p2 E' i( A' f! A, Q1 H' p
    
19.        end3 _8 f& ~8 V) {+ v8 I1 d
    
20. 
    . e2 Q0 _7 q! E1 M! O- l
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);! c; C1 ^5 `$ d\" N# k
    
22. 
    - S* A9 W# t, g8 C: |4 A# O
23. ( N+ f9 Q) r0 ?- r5 Z5 b* ^
    
24. 
    6 N! U% C- |; W! U; N3 G
25.        for i = j+1:n2 O! v\" J) @! l2 q7 g
    
26. 
    3 o7 G) a5 W+ X3 g: G( w, R5 R; F
27.            sum2 = 0;
    1 C) Y: j7 y# l9 Y1 M4 e+ T
28. 
    , N3 ]$ i/ b. S/ k\" r( R3 {+ D7 U
29.            for k = 1:j-1
    4 e( r( P( {+ L9 Z
30. 
    % U  Q5 \$ z2 K. c  }5 E0 O, E
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    1 y\" M\" ?$ D- Q9 ]  N0 E- [\" [
32. 
    * ~2 G$ _* Q- B; ~
33.            end3 w. F6 M+ [$ u: V, X. N
    
34. 
    ) }9 X+ j; L) g  a
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    6 e' U$ l5 P4 K6 i  C- K
36. 
    8 W& A% W* d! u1 q8 A
37.        end
    / Z& s+ P6 O1 ]2 U) q
38. * m7 t  w9 [0 l
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
7 H8 o; @/ d$ ~  E/ X! `
2 e" Q7 }, m2 B& D# M3 a8 W  o3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);# C( W6 ]+ s1 D) G7 a; |
   
2. 
   \" H: N9 b- q+ k3 ?: A/ v( G
3.    for i = 2:n* r& D7 K' @. f- i8 Y\" N& A
   
4. % R5 O% P/ r# a\" ?1 d  }
   
5.        sum3 = 0;- J\" E+ ~( r0 n\" X; r! U  O
   
6. 
   - b& s! l- x; D% H
7.        for k = 1:i-13 W+ b\" p+ ]9 o% L% \; @1 G- p& R
   
8. . P0 ?; p0 K1 y* n  ^- \7 V
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);  T: Z+ K; ~! [) {
   
10. 
    0 w& M* R4 D# D, o' m0 v8 V- O
11.        end
    $ A% m3 I2 I; Q7 ?
12. 2 N/ c4 a9 s3 Y7 ?8 p! J7 L0 b2 a
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);, }2 C: ]8 a( ?! S
    
14. 
    ; x9 x+ ^$ A7 L6 i$ B1 B
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);! ~# j# P4 ^1 U& d
   
2. ' p: q! g8 T1 D! i3 B
   
3.    for i = n-1:-1:1
   5 A( D* C. S' n! P$ k\" f
4. 5 v' L% q; @$ q1 T1 n# P# u  J6 Y& G9 P
   
5.        sum4 = 0;
   1 Q\" H$ r, l1 r, s$ R- ?
6. 
   3 {& f4 x- _1 r* b6 p
7.        for k = i+1:n+ X% n8 I( H3 R: f8 U+ d
   
8. 
   % u% Q# L+ [/ |; X6 s1 p; e
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);5 G% C9 C$ V% k7 Z, ~( i5 ~$ d
   
10. ( w: Z; ?- h\" u6 f3 Z
    
11.        end
    * {6 y  _$ S2 J\" I
12. \" `4 {  p6 J' ^* m6 {2 M
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    3 q+ }4 S6 a# x7 A, o! x6 w\" h+ x
14. 
    : ?- ]8 `6 ~\" R1 i6 O5 e
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
0 Z; E& m- {! a% C. X
9 r! v2 @6 g# g9 i$ U1 Q5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));  ?0 p% q\" a* u. }' |
   
2. 
   $ w0 N/ i9 s2 L3 e
3.    for i = 2:n
   ! _. E: d4 A0 Y, ~% B
4. ( r( C: L$ C/ W$ r9 [/ b- X
   
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);1 I, A; X( n5 a0 R  L
   
6. 3 u+ k4 t' w* U5 W4 C
   
7.    end
   ; r$ ^/ W, r2 ?( I( a% ]- Y
8. 
   + ?( i) o9 ~; c
9. 
   . o; r\" k; _: D. h7 e' v; k9 J
10. 
    5 b* J) A2 g8 U- F+ L5 S8 z
11.    for j = 2:n\" B* _! V\" g0 V. T) i5 C# P* t
    
12. 8 j- k6 v/ B; i, F
    
13.        sum1 = 0;, A) o8 R4 p0 V9 D) K! H
    
14. 
    ) n7 H$ m7 I1 X, P3 @\" \
15.        for k = 1:j-15 N% X  o2 h- I6 z$ k8 Q
    
16. 2 y* c  y3 i. ^* b5 n\" p
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    5 _% |\" e3 a$ o! ?
18. 
    ) C: _' X. i\" E
19.        end
    - P) W/ C; C# V) A
20. 0 [2 w, U1 @. D
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);8 k. t( q& z& R0 B2 I0 Q
    
22. 4 I) w5 C0 Q/ P# e4 K: F% a4 N
    
23. 
    , K) R0 g3 C- O; q' H
24. 2 W8 T; b  C. Z& r3 @( X
    
25.        for i = j+1:n, A& V% u4 U2 {; k% \
    
26. + R+ P9 L  d$ U
    
27.            sum2 = 0;
    & {% `$ {7 F8 X1 |! N$ Z
28. - Y  n1 C% r6 [/ Y0 ]9 V1 y
    
29.            for k = 1:j-1\" w7 C6 h$ Y\" W2 _2 e) \0 p
    
30. - U. ?( x  O1 }
    
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);  \2 E5 P9 g# I4 W  Z1 b+ ?# `5 m- u
    
32. 
    ( ^! @1 t+ a: O* v4 P
33.            end! ?\" E: B. P7 y# ?! M- I
    
34. ) q: W  \- I, F, X. [4 |
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);% j% w: l\" i\" Y, {& a5 J8 x& |
    
36. 
    1 I. v- Y7 t; v  D, Z9 ?\" f/ W
37.        end
    2 Z; X6 c) ^/ k; w# R+ E
38. ' n' R2 l  x0 a$ H( h- |
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
3 \2 v/ M. I& ?( I. @1 H* I. [& Q0 c
, m7 N* p8 ?; }' F6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);4 L; L7 J6 l1 T
   
2. ' o# ^, B2 l# `
   
3.    for i = 2:n8 S, `6 C, G$ E; ?! }; Z/ w
   
4. 
   ( e$ V4 C2 w3 x
5.        sum3 = 0;
   ' ^% n+ U& O# J) f# Q* I0 I
6. . b! r8 u- r0 x\" S! ~1 y6 C  |
   
7.        for k = 1:i-1) b, v: A$ E# n- g
   
8. - D$ g6 F* A* b. D, @2 O2 H
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);2 ~2 G: \( A6 l/ ?& f
   
10. 
    ) y! R: @, _/ P' J  E6 O* W
11.        end* |% e) R. n! S0 r- U
    
12. : ~2 h4 S8 j7 I. m
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);. j* A# V3 e9 A, K6 H
    
14. ; q1 e5 q, M7 Z
    
15.    end

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在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
% s. U8 h5 H/ _  {, B
7 q1 d2 H# l7 j5 Y( K7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
   - \. J+ U) W; J# \' T/ c3 U4 z& b
2. 
   0 W( Q4 g\" S\" N
3.    for i = n-1:-1:1
   6 ~7 S7 Q: _2 N; j6 T
4. 5 E4 h. j3 X: _5 \1 ^
   
5.        sum4 = 0;; e3 u1 L, D: [# P
   
6. - J- `' `% u/ ^9 v' ~
   
7.        for k = i+1:n
     D: |2 ?2 s6 a+ r/ D$ a2 d+ J
8.   l5 q: Y2 ^5 i5 I. M
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   * N$ z& s: C\" {+ Y' f+ \
10. ; b# f' M. T$ G3 J3 M
    
11.        end
    ) u: ~6 S9 C8 J8 y3 [1 s! m
12. 
    * j# V3 o2 d: @* B$ s
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);; Q\" Y) T. d6 e$ P
    
14. 
    0 @6 W  |7 L  L7 C4 U2 d
15.    end
    $ \  r' z9 R- U- @) _\" r
16. % P, ~% L9 J. ~0 D4 h, M7 K# L
    

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。



% ?* ], i  S4 N9 p, O) W7 Q2 z