Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...

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这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：
: d0 ^6 x; {9 g6 I
) e* J* |2 T1 L, G3 h8 }# e& A1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));$ q) A# Y- ]7 b, m0 E
   
2. + b' A. q7 f% P2 m% q
   
3.    for i = 2:n
   # M\" C% ^& U) G9 D/ y
4. 
   6 b, z0 r; \5 c3 E
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);\" h) m; t$ i: h* ~\" Q( c6 }
   
6. ; `. w4 G* d) j
   
7.    end# @6 Z& w# f) R# P) J
   
8. 8 ^$ o& s8 W$ E* y# Z: w
   
9. 2 i7 i+ p/ B6 J! @. S
   
10. 
    ( y$ U: D% U' x0 L9 U
11.    for j = 2:n2 u4 Z$ y# y+ V  ?! G9 L' f
    
12. % s0 P- ?4 s$ \6 \9 e
    
13.        sum1 = 0;. q9 U! a, Q6 t3 G: a' V
    
14. 
    % O  `8 ~' V1 X
15.        for k = 1:j-1
    8 W. m7 R4 x& U- a4 \' X8 w/ O. n
16. ' j& o; b4 f; d6 o0 n
    
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    . W! J, h; J! N5 A3 N
18. 
    8 U( {% n) E) U
19.        end
    8 P* ?1 x! x# b+ }5 l2 t6 Q\" |7 K
20. ( Y/ t5 Q# h% E( s4 B: H
    
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);' q8 u3 p2 M\" ^6 [* \. r* \
    
22. 
    # p# @# G8 v/ e4 V5 \0 `4 [
23. \" s% J0 w& Z1 I& K. b
    
24. % @0 t4 K4 `8 |$ c. p8 X. R; C0 m/ h- e
    
25.        for i = j+1:n
    7 f\" V5 d7 A/ j3 R! M. L+ R
26. 4 [4 X) d& o1 p  z) L& J; }$ p% c, \
    
27.            sum2 = 0;7 B6 w3 J0 r, `  t& X: V
    
28. : e! c- K. I, d) Q0 n' ]: Y
    
29.            for k = 1:j-1
    ( P5 f8 W3 u# |5 _
30. 
    % }# @9 a/ j1 a9 W  r9 E$ y, l
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    : x0 F\" T7 ?! X* I/ x8 q5 P: A3 x4 c
32. 
    * ?; a( a* l. Q8 L% g$ `
33.            end
    5 Q9 f# y% b5 s
34. 
    ; T4 E6 ^2 \) O% k; ^
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);/ F6 F, V; ]/ S- _) w, c% W
    
36.   Y# q$ n\" e1 H% X\" B
    
37.        end
    8 h9 `8 ^\" V% R
38. 0 e& M  J. m. j9 S! C, Z
    
39.    end

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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。

3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。

1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
   ; C! r2 w+ G# N9 \- A' o
2. 
   5 G0 E\" I: {7 V. T
3.    for i = 2:n
   6 e! M( u, j5 ~$ B\" ?
4. ; f) Z( U  h+ S7 A2 @1 J
   
5.        sum3 = 0;
   . Z& W4 J) U; {\" [6 n
6. , ?6 I4 `9 ]4 d* ~. z
   
7.        for k = 1:i-1# U! K\" J6 k- M& {2 p$ Y* v
   
8. % Z$ a\" j2 U7 F' Q
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
   / t. k9 D* c7 y7 i& q8 k% @\" b4 A
10. 4 V6 t/ ~) S\" ~, y/ N; H
    
11.        end
    , K1 x4 U+ O* F2 G2 v+ r
12. - q0 x- {; ?- n( [- z# |6 R4 s
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    * _$ y6 |  Q+ v
14. 
    5 O4 m0 ~. m. K6 S5 ~& `8 n/ }/ C) T
15.    end

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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);% a+ F\" L$ a% n1 j% p
   
2. 8 O* \\" d! D5 m* \. ?/ z, H
   
3.    for i = n-1:-1:1
   8 q\" o* O  k9 |. l/ L# q
4. 
   . k: o2 }( m% \
5.        sum4 = 0;+ R8 O# n1 W( p\" Q* |* @- T& c
   
6. 
   / _; j, y' w2 H; C\" y
7.        for k = i+1:n
   . X. J6 q0 a; f' j9 ?\" E
8. 1 Z$ b6 C7 ]+ U% ?
   
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);- H\" ~2 k; U. I5 `1 Z# X
   
10. 
    + G\" ]# M  U) |+ l5 l
11.        end
    3 i& B  _- _) ~
12. 5 ~1 R% e* r; Y' ^4 m1 `\" G
    
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);# ]( N8 H# M/ _+ }\" j5 D9 y# D
    
14. 6 Z4 v8 S. P6 K
    
15.    end

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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：

( |" R: a; h0 W5 N5.Cholesky 分解：

1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));+ ?. o5 ^' h2 l\" B2 E. E
   
2. $ U+ Z/ T5 P5 C6 H) a
   
3.    for i = 2:n! e& w4 t' n9 J7 ~8 X9 ~. z- c
   
4. 
   7 \, Y+ a8 v% U, x
5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);# L. k3 v7 P+ ~
   
6. 
   % I' O/ }\" [: e- B/ a
7.    end
   3 W) u9 j. Q4 D/ z1 E
8. \" v0 I6 P4 G) x7 Q7 H9 n/ L! p: c. K
   
9. 
   3 }! \# q% v$ m* b& c8 V
10. 
    $ G$ q. i5 L- v/ Q; o2 d
11.    for j = 2:n/ b. Y5 d5 W\" {4 D) ]
    
12. 
    0 L4 ?% u  q: Q2 n0 E
13.        sum1 = 0;
    , S8 H8 K( j- I
14. ( ~# ^0 u; `. x3 V
    
15.        for k = 1:j-1) a0 ?1 E7 _* g
    
16. 
    . o1 \' k2 I5 G- z, n  r
17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);7 G: @7 R$ h/ ]. W
    
18. 8 J0 w. U' U\" L) Y+ @; R- W
    
19.        end
    - x' s( {2 R, [) O% E# H2 X
20. 
    $ z0 S0 \/ d( m- h
21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);5 P/ k* N% `. ]* L8 |# ^: R
    
22. 
    7 Y' w) v: u0 m+ Z& p
23. 
      _8 u5 t3 o) [* A2 f, a# r, i
24. ) ~; i: v8 f' D) x2 Y( u9 q' r- l
    
25.        for i = j+1:n) n1 q$ M* i# t8 H9 ]0 X* R\" O4 M
    
26. 5 E+ y! a' D. l' e( {7 M
    
27.            sum2 = 0;. f$ U# s. v5 z* l1 V7 Z- t5 q
    
28. $ h) C\" |# M6 f! Y9 ~
    
29.            for k = 1:j-1. x4 X& E0 F. n5 o1 `
    
30. 
    - h+ I3 m, K( N
31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    3 l' z' e0 {% h7 Y; F- O' D9 D6 H
32. 0 R- `' ?/ N\" Y6 W) L5 H/ R
    
33.            end+ h1 V# s# G+ L
    
34. . v# c5 x& J1 b- Y% Z+ m% x3 g
    
35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);( d! Y4 }8 }7 ]% u# C1 @
    
36. 
    1 W+ c\" z0 j) d- O; h
37.        end
    8 R  [( J; w& v# N
38. . U- m8 [* c& H1 @( F/ ]9 [1 p, k
    
39.    end

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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。

6.前代法：

1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
   ; J7 E\" \: m; |8 f% c' H
2.   p( d* J4 b+ ^% V
   
3.    for i = 2:n9 F0 e, @, N3 p
   
4. 
   7 e3 O$ U. Z. Q7 h2 N
5.        sum3 = 0;
   ( w, P& {* {2 l; |- C* p
6. 1 h+ w7 I9 ~  H/ K, o% p
   
7.        for k = 1:i-1# N8 p5 D+ Z0 G  V) p
   
8. - E& {6 i( x4 \: v( h\" e, y1 S4 F
   
9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);& ]% L% `! k- j/ ~. V0 L2 H+ G* ?
   
10. 
    1 b\" U9 V\" u0 y, ^. }) u
11.        end# c) }* ]6 A9 k8 m3 i+ W\" x
    
12. - Z$ U9 `: j\" A# Y+ _\" u% |
    
13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);! w/ }$ N( \9 a, N+ w
    
14. 
    / P+ P# ?  w( c3 k  o# a& }
15.    end

复制代码

在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
+ g- i4 \& U3 X  b
7.回代法：

1.    x(n) = y(n) / l(n, n);% p/ {5 ^6 ]# w/ }: W
   
2. . `, `/ C3 @( V\" \  q* y
   
3.    for i = n-1:-1:1  `5 E+ ?  n, f1 B% r/ g0 v
   
4. 
   % k8 @, o! G9 L+ T
5.        sum4 = 0;
   3 X  L7 [4 ]. f, T
6. 
   1 v0 G\" i* i: s' m
7.        for k = i+1:n1 x5 A% h# V! n( h\" N. J, b\" d
   
8. 
   5 N2 ?1 o7 z7 Z. J: T! @
9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
   ; t2 D7 o3 U$ m( H2 I
10. 
    7 g# i1 D& L7 C
11.        end
    9 J3 M7 o: V3 f5 U, D
12. 
    ; E8 S0 \' q* C5 @
13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    6 J4 I2 l- C8 M9 w% W
14. ( b3 q1 W: Z0 V) D
    
15.    end
    0 Y+ J  Q' h' [+ ]2 U* k# L3 H# @
16. 3 X2 n, E. M5 t; p2 [
    

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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
, W8 d* [0 t5 Q4 @总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
: _" `5 P  a" I5 x

5 x# Q0 N) h8 t
$ Z6 `1 }; ^2 m& O! ^! O: D: k4 g, j) s